Fonction rationnelle

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Nom :
1.3
Groupe :
Date :
Manuel de l’élève, volume 1, p. 47
FONCTION RATIONNELLE
a1x b1
Une fonction dont la règle est de la forme f(x) a x b , où le numérateur et le dénominateur
2
2
sont non nuls et a2 0, est appelée une fonction rationnelle. Une telle règle peut aussi s’exprimer
sous la forme f(x) a
b(x h)
k, où a 0, b 0 et x h. Pour passer de la première forme
d’écriture à la seconde, il suffit d’effectuer une division.
Ex. : Il est possible d’écrire la règle de la fonction f(x) 3x 5
x1
sous la forme f(x) a
b(x h)
k
en effectuant (3x 5) (x 1).
3x 5
(3x 3)
8
x1
3
La règle de cette fonction peut donc aussi s’écrire f(x) 8
x1
3.
En effectuant une division, il est possible de transformer une règle de la forme f(x) et de l’écrire sous la forme canonique f(x) a
xh
Ex. : f(x) k.
7
2(x 10)
a
b(x h)
5
7
2
x 10
5
3,5
x 10
5
Dans la représentation graphique d’une fonction rationnelle dont la règle s’écrit f(x) • la courbe, nommée hyperbole, est formée
de deux branches symétriques ;
• les droites d’équations x h et y k constituent
respectivement l’asymptote verticale et l’asymptote
horizontale de la courbe ;
k
a
xh
k:
Une droite de laquelle une courbe
se rapproche de plus en plus sans
jamais y toucher s’appelle
une asymptote.
• le point d’intersection des deux asymptotes
correspond au centre de l’hyperbole et ses
coordonnées sont (h, k).
© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Vision 1 ■ Ressources supplémentaires • Savoirs TS • Vol. 1
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Nom :
1.3
Groupe :
Date :
Manuel de l’élève, volume 1, p. 48
Ex. :
Règle
f(x) – 10
x3
7
Table de valeurs
x
y
–7
8
–2
9
3
Indéfinie
5
2
8
5
13
6
Représentation graphique
y
Asymptote : x 3
24
16
Centre : (3, 7)
Asymptote : y 7
8
-16
0
-8
8
16
24
x
-8
Branches
de l’hyperbole
-16
RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION RATIONNELLE
a
xh
Il est possible de déterminer la règle d’une fonction rationnelle, qui s’écrit f(x) k,
de la façon suivante.
1. Trouver les coordonnées du centre de
l’hyperbole et celles d’un point de la courbe.
y
Ex. :
10
8
y5
(3,5, 6)
6
4
2
-2
x2
0
2
4
6
x
Les coordonnées du centre de
l’hyperbole sont (2, 5) et la courbe
passe par le point (3,5, 6).
2. Substituer les coordonnées du centre de
l’hyperbole à h et à k ainsi que les coordonnées
d’un point de la courbe à x et à f(x) dans la
règle f(x) a
xh
6
a
3,5 2
6
a
3,5 2
a
5
1,5
a
1,5
5
k.
3. Résoudre l’équation formée afin de déterminer
la valeur du paramètre a.
6
1
5
a 1,5
4. Écrire la règle de la fonction obtenue.
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f(x) 1,5
x2
5
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Nom :
1.3
Groupe :
Date :
Manuel de l’élève, volume 1, p. 49
RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION RATIONNELLE À UNE VARIABLE
La résolution d’équations rationnelles s’effectue en tenant compte des règles habituelles
de transformation des équations.
Ex. :
1)
Résoudre : 4 3
2x 1
4
3
2x 1
5
3
2x 1
1
2)
Déterminer le zéro de la fonction : f(x) –4
3x 7
1 (où x 0,5)
2 0 où x –4
3x 7
5(2x 1) 3
10x 5 3
10x 8
x 0,8
7
3
–4
3x 7
2
–2
– 2(3x 7)
2 3x 7
9 3x
x3
–4
RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION RATIONNELLE À UNE VARIABLE
Il est possible de résoudre une inéquation rationnelle à une variable de la façon suivante.
Ex. : Résoudre :
1. Substituer un symbole
d’égalité au symbole
d’inégalité de l’inéquation.
6
4x
5
L’équation associée à l’inéquation
6
4x
2. Résoudre l’équation
en tenant compte
des restrictions.
3. Représenter les valeurs
critiques sur une droite
numérique par des points
pleins ou vides selon le cas.
4. Déduire l’ensemble-solution
de l’inéquation.
6
4x
5 est
6
4x
5.
5 (où x 4)
6 5(4 x)
6 20 5x
5x 14
x 2,8
Puisque x 4.
2,8
4
x
Sur la droite numérique, les nombres inférieurs ou égaux
à 2,8 et supérieurs à 4 vérifient l’inéquation. L’ensemblesolution est :
x 2,8 et x 4
2,8
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4
x
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