Classe de seconde 12 Jeudi 19 avril 2012 Devoir surveillé de

Classe de seconde 12
Jeudi 19 avril 2012
Devoir surveillé de mathématiques n°8
Exercice 1 (14 points)
2𝑥
On appelle 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥−1.
1. Quelle est la valeur interdite ? Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0.
2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (on donnera les valeurs exactes)
𝑥
−3
−2
−1
0
0,5
1,5
2
3
4
𝑓(𝑥)
3.
4.
5.
6.
7.
5
2
Montrer que 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥−1.
En déduire le tableau de variations de 𝑓 (expliquer)
Tracer la courbe de 𝑓
Résoudre par l’algèbre l’inéquation 𝑓(𝑥) ≥ 0.
Représenter sur le même graphique la fonction 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 . En déduire
la résolution graphique de l’inéquation 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥).
𝑥(𝑥+1)(𝑥−2)
8. Montrer que 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) =
. En déduire la résolution algébrique de
𝑥−1
l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).
9. Comment peut-on trouver les réels inférieurs à leur image par 𝑓 ?
10. Soit 𝑎 un réel. Quand a-t-il un antécédent par la fonction 𝑓 ? Montrer que cet
𝑎
antécédent s’obtient par la formule 𝑎−2.
Exercice 2 (6 points)
Les questions sont indépendantes. Les réponses devront être justifiées
1. Parmi les fonctions suivantes, dire lesquelles sont des fonctions homographiques :
𝑥+1
2𝑥+
1
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1, 𝑔(𝑥) = 𝑥−3, ℎ(𝑥) = 1 − 𝑥+2, 𝑘(𝑥) = 𝑥 + 𝑥.
1
1
2. Sachant que 3 ≤ 𝑥 < 5, donner le meilleur encadrement de 𝑥
1
3. Résoudre l’inéquation 𝑥 ≤ 2
Exercice 1
2𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥−1
1. Le dénominateur ne doit pas s’annuler, la valeur interdite est donc 1.
Une fraction est nulle si son numérateur est nul, 2𝑥 = 0 équivaut à 𝒙 = 𝟎.
2.
𝑥
−3
−2
−1
0
0,5
1,5
2
3
4
4
8
𝑓(𝑥)
1,5
1
0
−2
6
4
3
⁄3
⁄3
𝟐
3. On part de la forme proposée : 𝟐 + 𝒙−𝟏 =
𝟐(𝒙−𝟏)
(𝒙−𝟏)
𝟐
+ 𝒙−𝟏 =
𝟐𝒙−𝟐+𝟐
𝒙−𝟏
1
5
2,5
𝟐𝒙
= 𝒙−𝟏 = 𝒇(𝒙)
4. Le tableau de variations est analogue à celui de la fonction 𝑥, mais la valeur interdite
𝟐
est 1, et il y a un décalage de 2 vers le haut. Comme le numérateur 𝑥−1 est positif, la
fonction est décroissante comme
𝑥
𝑓(𝑥)
1
𝑥
−∞
2
1
+∞
+∞
||
−∞
2
5.
6. On résout cette inéquation par un tableau de signes :
𝑥
−∞
0
1
+∞
2𝑥
−
0
+
||
+
𝑥−1
−
|
−
||
+
𝑓(𝑥)
+
0
−
||
+
Les solutions de l’inéquation 𝑓(𝑥) ≥ 0 sont donc ] − ∞ ; 𝟎[ ∪ ]𝟏 ; +∞[
7. Pour résoudre graphiquement l’inéquation 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), on regarde quand la courbe
de 𝑓 est au dessus de celle de 𝑔. Les solutions sont ] − 𝟏 ; 𝟎[ ∪ ]𝟏 ; 𝟐[
8. 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −
𝑥(𝑥+1)(𝑥−2)
𝑥−1
=
2𝑥
𝑥−1
=
𝑥(𝑥 2 −2𝑥+𝑥−2)
𝑥−1
𝑥 2 (𝑥−1)−2𝑥
𝑥−1
=
=
𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥
𝑥 3 −2𝑥 2 +𝑥 2 −2𝑥
𝑥−1
résultat. On a donc bien 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) =
. D’autre part, en développant
𝑥−1
𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥
=
𝑥−1
𝑥(𝑥+1)(𝑥−2)
𝑥−1
, on retrouve le même
.
𝑥(𝑥+1)(𝑥−2)
L’équation 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) se traduit par 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0 donc
= 0. Les
𝑥−1
solutions sont donc −𝟏 ; 𝟎 ; 𝟐.
9. Pour trouver les réels inférieurs à leur image par 𝑓, il faut résoudre l’inéquation 𝑥 ≤
𝑓(𝑥). Pour cela on trace la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 (c’est une fonction linéaire) et on
regarde les points où la droite est en dessous de la courbe de 𝑓. On trouve comme
solution ] − ∞ ; 𝟎] ∪]𝟏 ; 𝟑]
10. D’après le tableau de variations (ou la courbe), tous les réels sauf 2 ont un
antécédent par 𝑓 (car la courbe passe par toutes les ordonnées, de −∞ à +∞, en
sautant l’ordonnée 2. Pour trouver l’antécédent de 𝑎, on doit résoudre l’équation
2𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑎, qui s’écrit 𝑥−1 = 𝑎, soit 2𝑥 = 𝑎(𝑥 − 1) ou encore 2𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑎. On isole
−𝑎
𝑎
les 𝑥 pour obtenir 2𝑥 − 𝑎𝑥 = −𝑎, donc 𝑥(2 − 𝑎) = −𝑎 et 𝑥 = 2−𝑎 = 𝑎−2.
Exercice 2
𝑥+1
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 n’est pas homographique car il y a 𝑥 2 au dénominateur
2𝑥+
𝑔(𝑥) = 𝑥−3 est homographique
1
ℎ(𝑥) = 1 − 𝑥+2 =
1
𝑘(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 =
2.
1
3
𝑥+2−1
𝑥+2
𝑥 2 +1
𝟏
𝑥
𝑥+1
= 𝑥+2 est homographique
n’est pas homographique car il y a 𝑥 2 au numérateur
𝟏
≤ 𝑥 < 5 donc < ≤ 𝟑 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[.
𝟓
𝒙
1
3. Pour résoudre l’inéquation 𝑥 ≤ 2 on prend les points de la courbe de la fonction
inverse situés en dessous de l’ordonnée 2.
𝟏
Les solutions sont donc ] − ∞ ; 𝟎[∪ [𝟐 ; +∞[