Qu`est-ce qu`une fonction rationnelle?

TS - Lycée Desfontaines
Qu’est-ce qu’une fonction rationnelle ?
Définition :
On appelle fonction rationnelle toute fonction R qui peut s’écrire sous la forme :
P (x)
R : x 7−→
où P et Q sont des polynômes, Q n’étant pas le polynôme nul.
Q(x)
L’ensemble de définition de R est {x ∈ / Q(x) 6= 0} = \ {valeur(s) interdite(s)}
R
R
Exemples :
x2 + 2x + 5
x+1
f est une fonction rationnelle dont l’ensemble de définition est : Df = {x ∈
• Soit f la fonction définie par f (x) =
R / x − 1 6= 0} = R \ {1}.
−5x3 + 2x − 7
3x2 + 4x − 15
g est une fonction rationnelle dont l’ensemble de définition est : Dg = {x ∈
/ 3x2 + 4x − 15 6= 0}.
Posons alors Q(x) = 3x2 + 4x − 15.
Son discriminant est ∆ = 42 − 4 × 3 × (−15) = 196 = 142 > 0 donc Q admet deux racines réelles :
−4 − 14
−4 + 14
5
x1 =
= −3 et x2 =
= .
6
6
3
5
5
D’où Dg = {x ∈
/ x 6= −3 et x 6= } = \ {−3; }.
3
3
• Soit g la fonction définie par g(x) =
R
R
R
−7x4 + 2x3 − 1
x2 + 4x + 5
h est une fonction rationnelle dont l’ensemble de définition est : Dh = {x ∈
/ x2 + 4x + 5 6= 0}.
Posons alors Q(x) = x2 + 4x + 5.
Son discriminant est ∆ = 42 − 4 × 1 × 5 < 0 donc Q n’admet pas de racine réelle.
D’où Dh =
• Soit h la fonction définie par g(x) =
R
R
C.Gontard-C.David-H.Meillaud
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Méthodes