18 Séries de Fourier

18
Séries de Fourier
18.1
Séries entières et séries de Fourier
Nous allons dans un premier temps introduire la notion de série de Fourier en partant des
développements en séries entières.
Le théorème relatif aux projections orthogonales d’un espace préhilbertien sur un sous-espace
de dimension
finie nous donnera une autre présentation de cette notion de série de Fourier.
P
n
Si
αn z est une série entière de rayon de convergence R > 0 éventuellement infini, on
peut définir, en notant f la somme de cette série entière, pour tout réel r ∈ ]0, R[ la fonction
ϕr par :
+∞
¡ ix ¢ X
∀x ∈ R, ϕr (x) = f re =
αn rn einx
n=0
La fonction f étant continue sur le disque ouvert D (0, R) = {z ∈ C | |z| < R} , on en déduit
que, pour r fixé dans ]0, R[ , la fonction ϕr est continue sur tout R.
P
n inx
Remarque 18.1 Avec
e | = |αn | rn pour tout réel x et
|αn | rn < +∞, on déduit que
P |αnnr inx
la série de fonctions
αn r e est normalement convergente sur R, ce qui permet de retrouver
la continuité de ϕr avec celle des fonctions x 7→ einx pour tout entier naturel n.
Remarque 18.2 Si p est un entier naturel non nul, on sait que la série dérivée :
X
n (n − 1) · · · (n − p + 1) αn z n−p
P
P p
a même rayon de convergence que
αn z n , donc la série
n |αn | rn est convergente pour tout
réel r ∈ ]0, R[ (puisque np |αn | rn ∼ rp n (n − 1) · · · (n − p + 1) |αn | rn−p ) et avec |(in)p αn rn einx | =
+∞
P
p
n
n |αn | r pour tout entier naturel n et tout réel x, on déduit que la série de fonctions (in)p αn rn einx
est normalement convergente sur R. Comme les fonctions x 7→ einx sont de classe C ∞ sur R
pour tout entier naturel n, on en déduit que la fonction ϕr est aussi de classe C ∞ sur R.
De la 2π-périodicité des fonctions x 7→ einx , on déduit que la fonction ϕr est périodique de
période 2π, c’est-à-dire que :
∀x ∈ R, ϕr (x + 2π) = ϕr (x) .
En utilisant les formules d’Euler :
∀n ∈ N, einx = cos (nx) + i sin (nx)
409
410
Séries de Fourier
on peut écrire que :
+∞
X
ϕr (t) =
=
+∞
X
αn rn cos (nx) + i
n=0
n=0
+∞
X
+∞
X
αn rn cos (nx) + i
n=0
αn rn sin (nx)
αn rn sin (nx)
n=1
P
P
chacune des séries de fonctions
αrn cos (nx) et
αn rn sin (nx) étant normalement convergente sur R (le terme général est majoré par |αn | rn ).
Un tel développement est appelé développement en série de Fourier de la fonction ϕr .
Nous allons étudier un peu plus loin, de façon plus générale, cette notion de série de Fourier.
Les coefficients αn peuvent s’exprimer à l’aide de formules intégrales comme suit.
Théorème 18.1 (Cauchy) Avec les notations qui précèdent, on a :
Z 2π
1
n
∀n ≥ 0, αn r =
ϕr (t) e−int dt
2π 0
Démonstration. Avec la convergence normale sur R de la série de fonctions
peut écrire pour tout entier n ≥ 0 :
Z
2π
−int
ϕr (t) e
dt =
0
+∞
X
Z
αk r
Z
½
2π
e
i(k−n)t
0
1
f (0) = α0 =
2π
n
0 si k 6= n
2π si k = n
dt =
On a en particulier :
ei(k−n)t dt
0
k=0
= 2παn r
puisque :
2π
k
Z
2π
ϕr (t) dt
0
Remarque 18.3 Pour n ≥ 1, on a :
Z
2π
int
ϕr (t) e dt =
0
+∞
X
Z
αk r
2π
k
ei(k+n)t dt = 0
0
k=0
et :
Z
2π
0
Z
2π
0
Z
¢
¡
1 2π
ϕr (t) cos (nt) dt =
ϕr (t) eint + e−int dt
2 0
Z
1 2π
=
ϕr (t) e−int dt = παn rn
2 0
1
ϕr (t) sin (nt) dt =
2i
Z
1
=−
2i
2π
¡
¢
ϕr (t) eint − e−int dt
0
Z
2π
0
ϕr (t) e−int dt = iπαn rn
P
αn rn eint , on
Séries entières et séries de Fourier
411
Soit, pour n ≥ 1 :
1
αn r =
2π
Z
2π
n
et :
ϕr (t) e
−int
0
1
iαn r =
π
Z
1
dt =
π
Z
2π
ϕr (t) cos (nt) dt
0
2π
n
ϕr (t) sin (nt) dt
0
Les coefficients
Z
1 2π
an = αn r =
ϕr (t) cos (nt) dt (n ≥ 0)
π 0
Z
1 2π
n
ϕr (t) sin (nt) dt (n ≥ 1)
bn = iαn r =
π 0
n
sont les coefficients de Fourier trigonométriques de ϕr et les coefficients :
Z 2π
1
n
cn = αn r =
ϕr (t) e−int dt (n ∈ Z)
2π 0
sont les coefficients de Fourier exponentiels de ϕr .
Nous utiliserons par la suite les coefficients trigonométriques un peu plus commodes pour
les fonctions à valeurs réelles paires ou impaires.
Exercice 18.1 Montrer que les seules fonctions développables en série entière et bornées sur
C sont les fonctions constantes (théorème de Liouville).
Solution 18.1 On a f (z) =
+∞
P
αn z n pour tout z ∈ C et il existe un réel M > 0 tel que
n=0
|f (z)| ≤ M pour tout z ∈ C.
En utilisation les notations qui précèdent, on a pour tout réel r > 0 et tout entier n ≥ 1 :
¯Z
¯
Z 2π
¯ ¡ it ¢¯
¯
1 ¯¯ 2π
1
−int ¯
¯f re ¯ dt ≤ M → 0
|αn | =
ϕ
(t)
e
dt
≤
r
¯
¯
2πrn 0
2πrn 0
rn r→+∞
donc αn = 0 pour tout n ≥ 1 et f = α0 .
P
Exercice 18.2 Soit f (z) =
αn z n une fonction développable en série entière sur C. Que
n≥0
peut–on dire de f s’il existe une fonction polynomiale P telle que |f (z)| ≤ |P (z)| pour tout
z ∈ C?
Solution 18.2 Soit P (z) =
p
P
pj z j un polynôme de degré p qui majore f. En utilisant les
j=0
notations qui précèdent, on a pour tout réel r > 0 et tout entier n ≥ p + 1 :
¯
¯Z
Z 2π
¯
¯ ¡ it ¢¯
1
1 ¯¯ 2π
−int ¯
¯f re ¯ dt
≤
ϕ
(t)
e
dt
|αn | =
r
¯
¯
2πrn 0
2πrn 0
Z 2π
p
X
¯ ¡ it ¢¯
1
1
¯P re ¯ dt ≤
≤
|pj | rj → 0
r→+∞
2πrn 0
rn j=0
donc αn = 0 pour tout n ≥ p + 1 et f est une fonction polynomiale. Dans le cas où le polynôme
majorant est constant, on retrouve le théorème de Liouville de l’exercice précédent.
412
Séries de Fourier
L’utilisation du produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes permet de donner la version particulière qui suit du théorème de Parseval que nous retrouverons
plus loin.
Théorème 18.2 (Parseval) Soit f (z) =
Démonstration. Les séries
αn z n une fonction développable en série entière
n=0
sur D (0, R) avec 0 < R ≤ +∞.
Pour tout réel r ∈ ]0, R[ , on a :
1
2π
+∞
P
Z
2π
+∞
X
¯ ¡ it ¢¯2
¯f re ¯ dt =
|αn |2 r2n
0
+∞
P
n=0
n=0
αn rn eint et
+∞
P
n=0
αn rn e−int étant absolument convergentes pour
tout réel t ∈ [0, 2π] , leur produit de Cauchy est aussi une série absolument convergente et on
a:
+∞ X
n
X
¯ ¡ it ¢¯2
¡ ¢
¯f re ¯ = f reit f (reit ) =
αk rk eikt αn−k rn−k e−i(n−k)t
=
Avec :
+∞
X
à n
X
n=0
k=0
n=0 k=0
!
αk αn−k e−i(n−2k)t
rn
¯
¯
!
à n
n
¯
¯X
X
¯
¯
|αk | |αn−k | rn
αk αn−k e−i(n−2k)t ¯ rn ≤
¯
¯
¯
k=0
k=0
pour tout t ∈ [0, 2π] et :
à n
+∞
X
X
n=0
!
|αk | |αn−k | rn =
+∞ X
n
X
|αk | rk |αn−k | rn−k
n=0
! Ã +∞
!
à +∞k=0
X
X
|αn | rn
|αn | rn < +∞
=
k=0
n=0
n=0
(encore un produit de Cauchy de séries absolument convergentes), on déduit que la série de
2
fonctions de somme |f (reit )| est normalement convergente sur [0, 2π] et on peut écrire que :
à n
!
Z 2π
Z 2π
+∞
X
X
¯ ¡ it ¢¯2
−i(n−2k)t
¯f re ¯ dt =
αk αn−k
e
dt rn
0
n=0
k=0
+∞
X
0
|αp |2 r2p
= 2π
p=0
puisque :
Z
2π
0

 0 si n = 2p + 1
−i(n−2k)t
0 si n = 2p et k 6= p
e
dt =

2π si n = 2p et k = p
L’espace préhilbertien D de Dirichlet
Exercice 18.3 Soit f (z) =
+∞
P
n=0
413
αn z n une fonction développable en série entière sur D (0, R)
avec 0 < R ≤ +∞. Montrer que si |f | admet un maximum local en 0, elle est alors constante
(principe du maximum).
Solution 18.3 Si |f | admet un maximum local en 0, il existe alors un réel r0 ∈ ]0, R[ tel que
|f (0)| = sup |f (z)| . On a alors, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
|z|≤r0
¯
¯Z
Z 2π
¯ ¡ it ¢¯
1
1 ¯¯ 2π ¡ it ¢ ¯¯
¯f r0 e ¯ · 1dt
≤
|f (0)| =
f
r
e
dt
0
¯ 2π
2π ¯ 0
0
µZ 2π
µZ 2π
¶ 12 µZ 2π ¶ 12
¶ 21
¯ ¡ it ¢¯2
¯ ¡ it ¢¯2
1
1
¯f r0 e ¯ dt
¯f r0 e ¯ dt
≤
=√
dt
2π
2π
0
0
0
µZ 2π
¶ 12
1
≤√
= |f (0)|
|f (0)|2 dt
2π
0
1
donc |α0 | = |f (0)| = √
2π
µZ
2π
2
|f (r0 eit )| dt
¶ 12
, soit :
0
1
|α0 | =
2π
Z
2π
2
0
+∞
X
¯ ¡ it ¢¯2
¯f r0 e ¯ dt =
|αn |2 r02n
n=0
et αn pour tout n ≥ 1, ce qui signifie que f est constante.
18.2
L’espace préhilbertien D de Dirichlet
Pour ce paragraphe, les fonctions considérées sont définies sur R et à valeurs réelles.
Définition 18.1 On dit qu’une fonction 2π-périodique, f : R → R, est continue par morceaux
s’il existe une subdivision de [0, 2π] :
0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π
avec p ∈ N∗ , telle que f soit continue sur chaque intervalle ]ak , ak+1 [ (0 ≤ k ≤ n − 1) et admette
une limite à droite et à gauche en chaque point de discontinuité (s’il en existe).
Si f : R → R, est continue par morceaux, on notera en tout point de discontinuité a de f
(s’il en existe) :
¡ ¢
¡ ¢
lim f (x)
f a− = x→a
lim f (x) et f a+ = x→a
x<a
x>a
Si f : R → R, 2π-périodique est continue par morceaux, en utilisant les notations de la
définition qui précède, on vérifie facilement que f se prolonge en fonction continue sur chaque
intervalle [ak , ak+1 ] . Et réciproquement, si pour une telle subdivision de [0, 2π] , la fonction
f se prolonge en fonction continue sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] , elle est alors continue par
morceaux.
On rappelle qu’une fonction continue par morceaux sur R est Riemann-intégrable sur tout
segment [a, b] .
414
Séries de Fourier
On désigne par D l’espace des fonctions f : R → R qui sont 2π-périodiques, continues par
morceaux et telles qu’en tout point de discontinuité a de f, on ait :
f (a) =
f (a− ) + f (a+ )
.
2
On dit que D est l’espace des fonctions de Dirichlet.
Il est facile de vérifier que D est un R-espace vectoriel.
On peut remarquer qu’une fonction de D est bornée avec :
sup |f (t)| = sup |f (t)|
t∈R
t∈[−π,π]
du fait de la 2π-périodicité.
Remarque 18.4 On peut aussi travailler avec des fonctions périodiques
µ
¶ de période T > 0. Si f
T
est une telle fonction, alors la fonction g définie par g (x) = f
x est périodique de période
2π
2π. La limitation à la période 2π n’est donc pas vraiment restrictive.
Exemple 18.1 Soient [a, a + 2π] un intervalle de longueur 2π et f une fonction continue de
[a, a + 2π] dans R telle que f (a) = f (a + 2π) . Montrer qu’il existe une unique fonction fe :
R → R continue et 2π-périodique qui coïncide avec f sur [a, a + 2π] .
Solution 18.4 En utilisant la partition :
[
[a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[
R=
k∈Z
on définit la fonction fe par :
∀k ∈ Z, ∀x ∈ [a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , fe(x) = f (x − 2kπ)
on a fe(x) = f (x) , pour tout x ∈ [a, a + 2π[ , fe(a + 2π) = f (a) = f (a + 2π) et pour tout
k ∈ Z, tout x ∈ [a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , on a :
fe(x + 2π) = f (x + 2π − 2 (k + 1) π) = f (x − 2kπ) = fe(x)
Donc fe coïncide avec f sur [a, a + 2π] et est 2π-périodique.
La fonction fe[est comme f continue sur ]a, a + 2π[ et par 2π-périodicité, on déduit qu’elle est
continue sur
]a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ . En effet, pour x, x0 dans l’ouvert ]a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ ,
on a :
k∈Z
fe(x) = f (x − 2kπ) → f (x0 − 2kπ) = fe(x0 ) .
x→x0
Enfin pour tout k ∈ Z et h ∈ ]0, π[ , on a a − h ∈ ]a − 2π, a[ , a + h ∈ ]a, a + 2π[ et :
fe(a + 2kπ − h) = fe(a − h) = f (a − h + 2π)
→ f (a + 2π) = f (a)
h→0
fe(a + 2kπ + h) = fe(a + h) = f (a + h)
→ f (a) = f (a)
h→0
L’espace préhilbertien D de Dirichlet
donc :
lim
x→a+2kπ
415
fe(x) = f (a) = fe(a) = fe(a + 2kπ)
et fe est continue en a + 2kπ.
L’unicité de fe provient du fait qu’une fonction 2π-périodique est uniquement déterminée par
ses valeurs sur un intervalle de longueur 2π.
Le lemme qui suit, de démonstration élémentaire, nous sera très utile.
Lemme 18.1 Pour toute fonction f ∈ D et tout réel a, on a :
Z a+2π
Z 2π
f (t) dt =
f (t) dt
a
0
Démonstration. En utilisant la relation de Chasles pour l’intégrale de Riemann, on a :
Z a+2π
Z 0
Z 2π
Z a+2π
f (t) dt =
f (t) dt +
f (t) dt +
f (t) dt
a
a
0
2π
et le changement de variable t = 2π + u dans la troisième intégrale nous donne, compte tenu
de la 2π-périodicité de f :
Z a+2π
Z a
Z a
Z 0
f (t) dt =
f (2π + u) du =
f (u) du = −
f (u) du
2π
0
0
a
ce qui donne le résultat annoncé.
En particulier on a, pour toute fonction f ∈ D, en prenant a = −π :
Z π
Z 2π
f (t) dt =
f (t) dt
−π
0
Ce résultat est intéressant dans le cas particulier où la fonction f est paire ou impaire.
Il sera aussi commode de noter que :
Z
Z
a+π
Z
(a−π)+2π
f (t) dt =
f (t) dt =
a−π
a−π
Z
2π
π
f (t) dt =
0
f (t) dt.
−π
Théorème 18.3 L’application :
Z
2π
(f, g) 7→ hf | gi =
f (t) g (t) dt
0
définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel D.
Démonstration. Des propriétés de l’intégrale de Riemann sur un segment, on déduit que
l’application h· | ·i est bilinéaire, symétrique et positive.
Si hf | f i = 0, en notant 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π les éventuels points de discontinuité
de f, on a :
Z 2π
p−1 Z ak+1
X
2
0=
(f (t)) dt =
(f (t))2 dt
0
k=0
ak
416
Séries de Fourier
Z
ak+1
donc
(f (t))2 dt = 0 pour tout k et f est nulle sur ]ak , ak+1 [ puisque f 2 est continue
ak
positive. On a alors :
¡ ¢
¡ ¢
f a−
lim f (x) = 0 et f a+
lim f (x) = 0
k = x→a
k = x→a
k
k
x<ak
x>ak
¡ ¢
¡ +¢
f a−
k + f ak
et f (ak ) =
= 0. La fonction f est donc nulle sur [0, 2π] et sur R par 2π2
périodicité.
L’application h· | ·i est donc définie et c’est un produit scalaire sur D.
Définition 18.2 Soit k un entier naturel.
On dit qu’une fonction 2π-périodique, f : R → R, est de classe C k par morceaux s’il existe une
subdivision de [0, 2π] :
0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π
avec p ∈ N∗ , telle que la restriction de f à chaque intervalle ]ai , ai+1 [ se prolonge par continuité
en une fonction de classe C k sur [ai , ai+1 ] (0 ≤ i ≤ n − 1) .
Avec les notations de la définition qui précède, si f : R → R, est 2π-périodique et de classe
C par morceaux, elle est alors de classe C 1 sur [0, 2π] \ {a0 , a1 , · · · , ap } et en chacun des points
ak , la fonction f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche non nécessairement égales.
On notera respectivement :
¡ −¢
¡ +¢
f
(x)
−
f
a
f
(x)
−
f
ak
k
fg0 (ak ) = x→a
lim
et fd0 (ak ) = x→a
lim
k
k
x − ak
x − ak
x<ak
x>ak
1
la dérivée à gauche et à droite en ak .
Le théorème des accroissements finis nous dit que :
¡ ¢
¡ +¢
0
0
0
fg0 (ak ) = x→a
lim f 0 (x) = f 0 a−
et
f
(a
)
=
lim
f
(x)
=
f
ak
k
d
k
x→a
k
k
x<ak
x>ak
La fonction f 0 sera considérée comme un élément de D en posant, pour chaque ak :
¡ ¢
¡ +¢
0
f 0 a−
k + f ak
0
f (ak ) =
2
Par dérivée d’une fonction f : R → R, qui est 2π-périodique et de classe C 1 par morceaux
nous entendrons ce prolongement.
De manière plus générale, pour k ≥ 1, si f est de classe C k par morceaux, elle est alors
de classe C k sur [0, 2π] éventuellement privé d’un nombre fini de points {a0 , a1 , · · · , ap } et sa
dérivée est une fonction de classe C k−1 par morceaux.
18.3
Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur
D
Pour tout entier naturel n, on note Pn l’ensemble des polynômes trigonométriques de degré
inférieur ou égal à n, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions de R dans R la forme :
P : x 7→ a0 +
n
X
k=1
(ak cos (kx) + bk sin (kx))
Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D
417
où les coefficients ak et bk sont des réels.
On vérifie facilement que Pn est un sous-espace vectoriel de D de dimension 2n + 1 engendré
par la famille {ck | 0 ≤ k ≤ n} ∪ {sk | 1 ≤ k ≤ n} , où on a noté :
ck : x 7→ cos (kx) pour k ≥ 0 et sk : x 7→ sin (kx) pour k ≥ 1
En effet, cette famille est génératrice, formée de fonctions non nulles et orthogonale pour le
produit scalaire défini
[ sur D, elle est donc libre (voir le cours d’algèbre).
Pn l’espace de tous les polynômes trigonométriques.
On note P =
n∈N
C’est un sous-espace vectoriel de D de base orthogonale :
{ck | k ∈ N} ∪ {sk | k ∈ N∗ }
Avec :
Z
2π
2
kc0 k =
dt = 2π
0
et pour n ≥ 1 :
Z
Z
2π
2
kcn k =
2π
2
2
cos (nt) dt = ksn k =
0
sin2 (nt) dt = π
0
(voir le cours d’algèbre) on déduit que la famille de fonctions :
¾
½
¾ ½
1
1
1
∗
∗
B = √ c0 ∪ √ cn , √ sm | (n, m) ∈ N × N
π
π
2π
est une base orthonormée de P et pour tout n ≥ 0 :
½
¾ ½
¾
1
1
1
Bn = √ c0 ∪ √ ck , √ sk | 1 ≤ k ≤ n
π
π
2π
est une base orthonormée de Pn .
Exercice 18.4 Montrer que pour tout entier naturel n les fonctions :
t 7→ (cos (t))n et t 7→ (sin (t))n
sont des polynômes trigonométriques.
Solution 18.5 Pour n = 0 et n = 1, c’est évident. En supposant le résultat acquis pour n ≥ 1,
on a :
(cos (t))n+1 = (cos (t))n cos (t)
Ã
!
m
X
= a0 +
(ak cos (kt) + bk sin (kt)) cos (t)
k=1
= a0 cos (t) +
m
X
(ak cos (kt) cos (t) + bk sin (kt) cos (t))
k=1
avec :
cos (kt) cos (t) =
cos ((k + 1) t) + cos ((k − 1) t)
∈P
2
418
Séries de Fourier
et :
sin (kt) cos (t) =
sin ((k + 1) t) + sin ((k − 1) t)
∈P
2
pour k ≥ 1, ce qui entraîne (cos (t))n+1 ∈ P.
On procède de même pour (sin (t))n .
On peut aussi utiliser les exponentielles complexes et la formule du binôme pour écrire :
n
n
(eit + e−it )
1 X k ikt −i(n−k)t
(cos (t)) =
= n
C e e
2n
2 k=0 n
n
=
et :
Ã
n
(cos (t)) = <
n
1 X k i(2k−n)t
C e
2n k=0 n
n
1 X k i(2k−n)t
C e
2n k=0 n
!
=
n
X
Ck
n
k=0
2n
cos ((2k − n) t) ∈ Pn
On rappelle que pour toute fonction f ∈ D, la projection orthogonale de f sur Pn , pour
n ≥ 0 fixé, est le polynôme trigonométrique Sn (f ) défini par :
½
Sn (f ) ∈ Pn
f − Sn (f ) ∈ Pn⊥
Son expression dans la base orthonormée Bn est donnée par :
¿
À
À
À
n ¿
n ¿
X
X
c0
ck
s
c0
ck
sk
√ +
√ +
√k
Sn (f ) = f | √
f|√
f|√
π
π k=1
π
π
2π
2π k=1
n
n
1X
1
1X
hf | ck i ck +
hf | sk i sk
=
hf | c0 i c0 +
2π
π k=1
π k=1
Soit, pour tout réel x :
Sn (f ) (x) =
n
n
X
a0 (f ) X
ak (f ) cos (kx) +
bk (f ) sin (kx)
+
2
k=1
k=1
où on a noté, pour tout entier naturel k :
Z
Z
1 2π
1 2π
ak (f ) =
f (t) cos (kt) dt et bk (f ) =
f (t) sin (kt) dt
π 0
π 0
(18.1)
Définition 18.3 Avec les notations qui précèdent, on dit les réels ak (f ) pour k ∈ N et bk (f )
pour k ∈ N∗ , sont les coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction f et la série de
fonctions :
a0 (f ) X
+
(an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx))
2
est la série de Fourier de la fonction f.
Remarque 18.5 Les applications an et bn sont des formes linéaires sur D.
De manière plus générale, on donne la définition suivante.
Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D
419
Définition 18.4 On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la forme :
X
(an cos (nx) + bn sin (nx))
où (an )n∈N et (bn )n∈N sont des suites réelles ou complexes.
Remarque 18.6 Dans le cas où f est un polynôme trigonométrique, on a Sn (f ) = f pour n
assez grand et la série de Fourier de f converge vers f en tout point x ∈ R.
Remarque 18.7 De manière plus générale, on peut définir les coefficients de Fourier trigonométriques d’une fonction f : R → C qui est 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout
segment par les formules (18.1) .
Le résultat qui suit est élémentaire, mais utile pour le calcul des coefficients de Fourier des
fonctions paires ou impaires.
Lemme 18.2 Si f ∈ D est paire, on a alors bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ et :
Z
2 π
f (t) cos (nt) dt
∀n ∈ N, an (f ) =
π 0
Si f ∈ D est impaire, on a alors an (f ) = 0 pour tout n ∈ N et :
Z
2 π
∗
f (t) sin (nt) dt
∀n ∈ N , bn (f ) =
π 0
Démonstration. Résulte immédiatement du lemme 18.1 et du fait que la fonction t 7→
f (t) cos (nt) est paire [resp. impaire] et la fonction t 7→ f (t) sin (nt) est impaire [resp. paire]
pour f paire [resp. impaire].
Nous verrons plus loin que la réciproque du résultat précédent est vraie, c’est-à-dire que si
f ∈ D est telle que bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ [resp. an (f ) = 0 pour tout n ∈ N] alors f est
paire [resp. impaire] (exercice 18.9).
Il sera parfois commode d’utiliser les coefficients de Fourier exponentiels de f ∈ D (ou plus
généralement de f : R → C, 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment) définis
pour n ∈ Z par :
Z 2π
1
f (t) e−int dt
cn (f ) =
2π 0
On a alors c0 (f ) =
a0 (f )
:
2

an (f ) − ibn (f )


cn (f ) =


2




an (f ) + ibn (f )
c−n (f ) =
∀n ∈ N∗ ,
2




an (f ) = c−n (f ) + cn (f )




bn (f ) = i (cn (f ) − c−n (f ))
420
Séries de Fourier
et :
Sn (f ) (x) =
n
n
X
a0 (f ) X
+
ak (f ) cos (kx) +
bk (f ) sin (kx)
2
k=1
k=1
= c0 (f ) +
n
X
(c−k (f ) + ck (f )) cos (kx) + i
n
X
k=1
= c0 (f ) +
n
X
k=1
ck (f ) eikx +
k=1
=
n
X
(ck (f ) − c−k (f )) sin (kx)
n
X
c−k (f ) e−ikx
k=1
ck (f ) eikx
k=−n
Remarque 18.8 Pour toute fonction f : R → C qui est 2π-périodique et Riemann-intégrable
sur tout segment, les suites (an (f ))n≥0 , (bn (f ))n≥1 et (cn (f ))n≥0 sont bornées. En effet, la
fonction |f | est Riemann-intégrable sur [0, 2π] et on a pour tout n ∈ Z :
¯Z
¯
Z 2π
¯
1 ¯¯ 2π
1
−int ¯
|cn (f )| =
f (t) e
dt¯ ≤
|f (t)| dt
2π ¯ 0
2π 0
ce qui donne pour tout n ∈ N :
1
|an (f )| ≤ |c−n (f )| + |cn (f )| ≤
π
Z
2π
|f (t)| dt
0
et pareil pour bn (f ) .
Exercice 18.5 Soit f ∈ D et g ∈ D définie par g (x) = f (x + a) où a est un réel fixé. Exprimer
les coefficients de Fourier de g en fonction de ceux de f.
Solution 18.6 Pour n ∈ Z, on a :
Z 2π
Z 2π
1
1
−int
cn (g) =
g (t) e
dt =
f (t + a) e−int dt
2π 0
2π 0
Z a+2π
Z 2π
1
−in(x−a)
ina 1
=
f (x) e
dt = e
f (x) e−inx dt
2π a
2π 0
ina
= e cn (f )
Il en résulte que :
an (g) = c−n (g) + cn (g) = e−ina c−n (f ) + eina cn (f )
an (f ) − ibn (f )
an (f ) + ibn (f )
+ eina
= e−ina
2
2
ina
−ina
ina
−ina
e +e
e −e
=
an (f ) +
bn (f )
2
2i
= cos (na) an (f ) + sin (na) bn (f )
et :
¡
¢
bn (g) = i (cn (g) − c−n (g)) = i eina cn (f ) − e−ina c−n (f )
µ
¶
−ina an (f ) + ibn (f )
ina an (f ) − ibn (f )
−e
=i e
2
2
ina
−ina
ina
−ina
e −e
e +e
bn (f ) −
an (f )
=
2
2i
= cos (na) bn (f ) − sin (na) an (f )
Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D
421
Ce qui peut aussi se vérifier avec :
Z
Z
1 2π
1 2π
an (g) =
f (t + a) cos (nt) dt =
f (x) cos (n (x − a)) dt
π 0
π 0
µ
¶
Z 2π
Z 2π
1
=
cos (na)
f (x) cos (nx) dt + sin (na)
f (x) sin (nx) dt
π
0
0
= cos (na) an (f ) + sin (na) bn (f )
et :
Z
Z
1 2π
1 2π
bn (g) =
f (t + a) sin (nt) dt =
f (x) sin (n (x − a)) dt
π 0
π 0
µ
¶
Z 2π
Z 2π
1
=
cos (na)
f (x) sin (nx) dt − sin (na)
f (x) cos (nx) dt
π
0
0
= cos (na) bn (f ) − sin (na) an (f )
Exercice 18.6 Soit f ∈ D continue et de classe C 1 par morceaux. Montrer que :
∀n ∈ Z∗ , cn (f ) =
∀n ∈ N∗ , an (f ) = −
cn (f 0 )
in
bn (f 0 )
an (f 0 )
et bn (f ) =
n
n
Solution 18.7 Si f ∈ D est de classe C 1 par morceaux, il existe alors une subdivision de
[0, 2π] :
0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π
telle que la restriction de f à chaque intervalle ]ak , ak+1 [ se prolonge par continuité en fonction
de classe C 1 sur [ak , ak+1 ] et on a, pour tout n ∈ Z∗ :
1
cn (f ) =
2π
Z
2π
f (t) e
0
−int
p−1 Z
1 X ak+1
f (t) e−int dt
dt =
2π k=0 ak
et comme f est de classe C 1 sur [ak , ak+1 ] , une intégration par parties donne :
·
¸a
Z ak+1
Z
f (t) e−int k+1
i ak+1 0
−int
f (t) e
dt = i
−
f (t) e−int dt
n
n ak
ak
ak
¡ − ¢ −ina
¡ ¢
Z
k+1 − f a+ e−inak
f aa+1 e
i ak+1 0
k
f (t) e−int dt
−
=i
n
n ak
¡ +¢
¡ ¢
Si on suppose de plus que f est continue sur R, on a alors f a−
k = f ak = f (ak ) pour tout
k compris entre 0 et p et :
p−1
p−1 Z ak+1
¢ iX
i X¡
−inak+1
−inak
2πcn (f ) =
f 0 (t) e−int dt
f (ak+1 ) e
− f (ak ) e
−
n k=0
n k=0 ak
Z
p−1 Z
i X ak+1 0
1 2π 0
−int
=−
f (t) e
dt =
f (t) e−int dt
n k=0 ak
in 0
422
Séries de Fourier
cn (f 0 )
puisque f est 2π-périodique et cn (f ) =
.
in
Il en résulte que :

cn (f 0 ) − c−n (f 0 )
bn (f 0 )


=−
 an (f ) = c−n (f ) + cn (f ) =
in
n
0
0
0

c
(f
)
+
c
(f
)
a
n
n (f )

 bn (f ) = i (cn (f ) − c−n (f )) = −n
=
n
n
Remarque 18.9 Avec les notations et hypothèses de l’exercice précédent, on a :
Z 2π
1
0
f 0 (t) dt = 0
c0 (f ) =
2π 0
puisque f est 2π-périodique. Donc la relation cn (f 0 ) = incn (f ) est valable pour tout n ∈ Z.
18.4
L’inégalité de Bessel
On rappelle que la projection orthogonale Sn (f ) de f ∈ D sur Pn est aussi la meilleure
approximation de f (pour la distance induite par le produit scalaire que nous avons défini sur
D) par un polynôme trigonométrique de degré au plus égal à n, c’est à dire que :
kf − Sn (f )k = inf kf − P k
P ∈Pn
Du théorème de Pythagore, on déduit que :
kf k2 = k(f − Sn (f )) + Sn (f )k2 = kf − Sn (f )k2 + kSn (f )k2
ce qui donne l’inégalité de Bessel :
kSn (f )k2 ≤ kf k2
et en tenant compte de :
¿
2
kSn (f )k =
c0
f|√
2π
À2
+
n ¿
X
k=1
n
X
ck
f|√
π
À2
+
n ¿
X
k=1
n
X
sk
f|√
π
1
1
1
hf | c0 i2 +
hf | cki2 +
hf | ski2
2π
π k=1
π k=1
Ã
!
n
2
X
¡
¢
a0 (f )
=π
+
a2k (f ) + b2k (f )
2
k=1
=
cela s’écrit :
n
¢ 1
a20 (f ) X ¡ 2
+
ak (f ) + b2k (f ) ≤
2
π
k=1
Z
2π
f 2 (t) dt
0
On en déduit alors le résultat suivant.
Théorème 18.4 (Bessel) Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique
a20 (f ) P 2
+ (an (f ) + b2n (f )) est convergente et on a :
2
Z
+∞
¢ 1 2π 2
a20 (f ) X ¡ 2
2
+
f (t) dt
an (f ) + bn (f ) ≤
2
π
0
n=1
À2
L’inégalité de Bessel
423
Nous verrons un peu plus loin qu’on a en fait l’égalité (théorème de Parseval).
Avec :
µ
¶2
|an (f )| + |bn (f )|
|an (f )|2 + |bn (f )|2
2
|c±n (f )| ≤
≤
2
2
P
on déduit que les séries
|c±n (f )|2 sont convergentes.
Remarque 18.10 Du théorème de Bessel, on déduit que la suite (kf − Sn (f )k)n∈N est convergente avec :
lim kf − Sn (f )k2 = kf k2 − lim kSn (f )k2
n→+∞
!
Ã
+∞
2
X
¢
¡
a
(f
)
0
= kf k2 − π
+
a2n (f ) + b2n (f )
2
n=1
n→+∞
Avec le théorème de Parseval, nous verrons que cette limite est nulle, ce qui signifie que la suite
(Sn (f ))n∈N est convergente dans l’espace normé (D, k·k) , mais cela ne signifie pas qu’il y a
convergence simple de la série de Fourier.
Remarque 18.11 On peut aussi remarquer que la suite (kf − Sn (f )k)n∈N est décroissante
minorée par 0, donc convergente. En effet, pour n ≥ 1, on a Sn (f ) ∈ Pn+1 et considérant que
Sn+1 (f ) est la meilleure approximation de f dans Pn+1 , on a :
kf − Sn+1 (f )k ≤ kf − Sn (f )k
De l’inégalité de Bessel, on déduit le résultat suivant.
Corollaire 18.1 (Riemann-Lebesgue) Pour toute fonction f ∈ D, on a :
lim an (f ) = lim bn (f ) = 0
n→+∞
n→+∞
et :
lim cn (f ) = 0
|n|→+∞
Démonstration. Les séries
vers 0 et avec :
P
a2n (f ) et
P
|c±n (f )| ≤
on déduit que
b2n (f ) étant convergentes, leur terme général tend
|an (f )| + |bn (f )|
2
lim cn (f ) = 0.
|n|→+∞
P sin (nx)
√
est convergente sur R, mais
n
qu’elle ne peut être la série de Fourier d’une fonction f ∈ D.
Exercice 18.7 Montrer que la série trigonométrique
Solution 18.8 Le théorème d’Abel nous assure la convergence de la série trigonométrique pour
tout x ∈ R \ 2πZ (théorème 6.25) et pour x ∈ 2πZ cette série est nulle.
Si cette série est la série de Fourier d’une fonction f ∈ D, cela signifie que an (f ) = 0 pour
1
tout n ≥ 0, bn (f ) = √ pour tout n ≥ 1 et le théorème de Bessel nous dit que la série
n
P
P
1
(bn (f ))2 =
est convergente, ce qui n’est pas.
n
¶
µ
1
par n’importe quelle suite réelle (un )n∈N qui tend
On peut en fait remplacer la suite √
n n≥1
P 2
vers 0 en décroissant et telle que
un = +∞.
424
Séries de Fourier
Exercice 18.8 Soit f ∈ D continue et de classe C 1 par morceaux. Montrer que :
µ ¶
µ ¶
1
1
an (f ) = o
et bn (f ) = o
n
n
Solution 18.9 Si f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, sa dérivée se prolonge en
une fonction de D. Le résultat se déduit alors de l’exercice 18.6 et du théorème de RiemannLebesgue.
De manière plus générale, on a le résultat suivant.
Théorème 18.5 Si f ∈ D est de classe C p et de classe C p+1 par morceaux avec p ≥ 0, on a
alors :
µ
¶
µ
¶
1
1
an (f ) = o
et bn (f ) = o
np+1
np+1
Démonstration. Avec l’exercice 18.6, on a vu que cn (f 0 ) = incn (f ) pour f ∈ D continue
et de classe C 1 par morceaux et n ∈ Z.
Par récurrence, on en déduit que pour f ∈ D de classe C p et de classe C p+1 par morceaux,
on a :
¡
¢
∀n ∈ Z, cn f (k) = (in)k cn (f )
pour tout k ∈ {0, · · · , p + 1} . On en déduit que :
¯ p+1
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯n an (f )¯ ≤ ¯np+1 cn (f )¯ + ¯np+1 c−n (f )¯
¯ ¡
¢¯ ¯
¡
¢¯
≤ ¯cn f (p+1) ¯ + ¯c−n f (p+1) ¯ → 0
n→+∞
µ
et pareil pour bn (f ) . On a donc an (f ) = o
1
np+1
¶
µ
et bn (f ) = o
1
np+1
¶
.
Lemme 18.3 Si f ∈ D est dePclasse C p et de
classe C p+1 par morceaux avec p ≥ 0, alors pour
P
tout k ∈ {0, · · · , p} les séries
nk an (f ) et
nk bn (f ) sont absolument convergentes.
Démonstration. Pour tout k ∈ {0, · · · , p} et n ≥ 1, on :
¯ 1¯
¡
¢¯
1 ¯¯ k+1
n c±n (f )¯ = ¯c±n f (k+1) ¯
nµ
n
¶
¯
¡ (k+1) ¢¯2
1 1
¯
¯
+ c±n f
≤
2 n2
P k
ce
qui
entraîne
la
convergence
de
la
série
n |c±n (f )| (inégalité de Bessel) et celles des séries
P k
P k
n |an (f )| et
n |bn (f )| .
nk |c±n (f )| =
18.5
Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D
Nous allons tout d’abord montrer qu’une fonction f ∈ D est uniquement déterminée par ses
coefficients de Fourier, ce qui compte tenu de la linéarité des coefficients de Fourier revient à
montrer le résultat suivant.
Théorème 18.6 Une fonction f ∈ D est telle que an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N (ce qui
équivaut à cn (f ) = 0 pour tout n ∈ Z) si, et seulement si, elle est identiquement nulle.
Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D
425
Démonstration. Soit f non identiquement nulle dans D ayant tout ses coefficients de
Fourier nuls.
Z
2π
Dans ce cas, on a
f (t) P (t) dt = 0 pour tout polynôme trigonométrique P.
0
Supposons qu’il existe un réel a tel que f (a) 6= 0 et tel que f soit continue en a. Quitte à
changer f en −f, on peut supposer que f (a) > 0 (avec la linéarité des coefficients de Fourier,
on a cn (−f ) = −cn (f ) = 0 pour tout n ∈ Z).
i πh
Avec la continuité de f en a, on peut trouver un réel δ ∈ 0,
tel que :
2
∀t ∈ [a − δ, a + δ] , |f (t) − f (a)| <
f (a)
2
ce qui entraîne :
f (a)
2
On désigne par P le polynôme trigonométrique défini par :
∀t ∈ [a − δ, a + δ] , f (t) >
P (t) = 1 + cos (t − a) − cos (δ)
i π πh
Pour t ∈ [a − δ, a + δ] , on a t − a ∈ [−δ, δ] ⊂ − ,
, ce qui donne en tenant compte de la
2 2
h πi
:
parité de cos et sa décroissance sur 0,
2
0 ≤ cos (δ) ≤ cos (t − a) ≤ 1
soit :
∀t ∈ [a − δ, a + δ] , P (t) ≥ 1
Toujours avec les propriétés de la fonction cos, on a :
·
¸
µ ¶
δ
δ
δ
∀t ∈ a − , a +
, cos (t − a) ≥ cos
2
2
2
et :
·
¸
µ ¶
δ
δ
δ
∀t ∈ a − , a +
, P (t) ≥ 1 + cos
− cos (δ) = 1 + ε
2
2
2
µ ¶
i πh
δ
avec ε = cos
− cos (δ) > 0 (stricte décroissance de cos sur 0, )
2
2
Enfin pour δ ≤ |t − a| ≤ π, on a :
−1 ≤ cos (t − a) ≤ cos (δ)
puisque cos est décroissante sur [0, π] et paire, ce qui donne :
P (t) = 1 + cos (t − a) − cos (δ) ≤ 1.
On définit alors la suite (P )n∈N polynômes trigonométriques par :
Pn (t) = (P (t))2n
et on écrit que :
Z
Z
2π
0 = In =
a+π
f (t) Pn (t) dt =
0
f (t) Pn (t) dt = Jn + Kn + Ln
a−π
426
Séries de Fourier
avec :
Z
Jn =
a+ 2δ
a− 2δ
f (t) Pn (t) dt ≥ δ
f (a)
(1 + ε)2n
2
→ +∞
n→+∞
Z
Kn =
δ
≤|t−a|≤δ
2
f (t) Pn (t) dt ≥ 0
f (a)
> 0 pour |t − a| ≤ δ et Pn (t) ≥ 0 pour tout t et :
2
Z
Z
|Ln | ≤
|f (t)| Pn (t) dt ≤
|f (t)| dt ≤ 2π sup |f (t)| = M
car f (t) >
δ≤|t−a|≤π
t∈R
δ≤|t−a|≤π
ce qui donne :
Jn + Kn + Ln ≥ Jn − M
→ +∞
n→+∞
et est en contradiction avec In = 0.
On a donc ainsi montré que f est nulle en tout point de continuité.
En un point de discontinuité a ∈ [0, 2π] (s’il en existe, il n’y en a alors qu’un nombre fini),
on a :
¡ ¢
¡ ¢
f a− = x→a
lim f (x) = 0, f a+ = x→a
lim f (x) = 0
x<a
et :
f (a) =
x>a
f (a− ) + f (a+ )
= 0.
2
Théorème 18.7 Si f, g dans D sont telles que an (f ) = an (g) pour tout n ∈ N et bn (f ) =
bn (g) pour tout n ∈ N∗ (ce qui équivaut à cn (f ) = cn (g) pour tout n ∈ Z) on a alors f = g.
Démonstration. Avec la linéarité des applications cn , on a cn (f − g) = 0 pour tout n ∈ Z
et f − g = 0.
Exercice 18.9 Montrer que si f ∈ D est telle que bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ [resp. an (f ) = 0
pour tout n ∈ N] alors f est paire [resp. impaire].
Solution 18.10 Les fonctions g, h définies sur R par :
g (x) =
f (x) + f (−x)
f (x) − f (−x)
et h (x) =
2
2
sont respectivement paire et impaire et on a f = g + h avec g et h dans D.
Si bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ , on a alors an (f ) = an (g) + an (h) = an (g) (an (h) = 0 puisque
h est impaire) pour tout n ≥ 0 et bn (f ) = bn (g) = 0 pour tout n ≥ 1 (bn (g) = 0 puisque g est
paire), donc f = g est paire.
Du théorème précédent, nous allons déduire un premier théorème de convergence de la série
de Fourier.
P
P
Théorème 18.8 Si f ∈ D est telle que les séries
an (f ) et
bn (f ) sont absolument convergentes, alors sa série de Fourier converge normalement (donc uniformément) sur R vers f et
la fonction f est continue sur R
Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D
Démonstration. Si les séries
P
an (f ) et
P
427
bn (f ) sont absolument convergentes, avec
|an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx)| ≤ |an (f )| + |bn (f )|
pour tout n ≥ 1, on déduit alors que la série de Fourier de f est normalement convergente,
donc uniformément convergente, sur R et sa somme g (x) est une fonction continue sur R.
Avec la convergence uniforme sur [0, 2π] des séries :
X
a0 (f )
cos (mt) +
(an (f ) cos (nt) cos (mt) + bn (f ) sin (nt)) cos (mt)
2
pour tout m ≥ 0 et l’orthogonalité de {ck | k ∈ N}∪{sk | k ∈ N∗ } , on déduit que les coefficients
de Fourier de g sont donnés par :
Z 2π
πa0 (g) =
g (t) dt
0
!
Z 2π
Z 2π ÃX
+∞
a0 (f )
=
dt +
(an (f ) cos (nt) + bn (f ) sin (nt)) dt
2
0
0
n=1
¶
Z 2π
Z 2π
+∞ µ
X
= πa0 (f ) +
an (f )
cos (nt) dt + bn (f )
sin (nt) dt
0
n=1
0
= πa0 (f )
et, pour m ≥ 1 :
Z
2π
g (t) cos (mt) dt
πam (g) =
Z
0
2π
a0 (f )
cos (mt) dt
2
0
Z 2π
Z
+∞ µ
X
+
an (f )
cos (nt) cos (mt) dt + bn (f )
=
n=1
0
Z
2π
= am (f )
2π
¶
sin (nt) cos (mt) dt
0
cos2 (mt) dt = πam (f )
0
Z
2π
πbm (g) = bm (f )
sin2 (mt) dt = πbm (f )
0
Il en résulte que f = g puisque ces deux fonctions sont dans D avec les mêmes coefficients
de Fourier.
Exercice 18.10 Étudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique, paire valant x (π − x)
sur [0, π] .
+∞
+∞
P 1
P (−1)n+1
En déduire les valeurs des sommes
et
.
2
n2
n=1 n
n=1
Solution 18.11 On a bn (f ) = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et :
Z
2 π
π2
a0 (f ) =
t (π − t) dt =
π 0
3
428
Séries de Fourier
2
an (f ) =
π
Z
π
t (π − t) cos (nt) dt

 0 si n = 2p + 1
2
n
1
= − 2 (1 + (−1) ) =
 − 2 si n = 2p
n
p
0
pour n ≥ 1.
P
4
Avec |an (f )| ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série
an (f ) est absolument convergente
n
et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc, pour tout réel x :
+∞
+∞
a0 (f ) X
π 2 X cos (2nx)
f (x) =
+
an (f ) cos (nx) =
−
2
6
n2
n=1
n=1
ce qui équivaut à :
+∞
π 2 X cos (2nx)
∀x ∈ [0, π] , x (π − x) =
−
6
n2
n=1
Les évaluations en x = 0 et x =
π
respectivement nous donnent :
2
+∞
+∞
X
X
1
π2
(−1)n+1
π2 π2
π2
=
et
=
−
= .
n2
6
n2
4
6
12
n=1
n=1
Exercice 18.11 Étudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique, valant |x| sur [−π, π] .
+∞
X
1
En déduire la valeur de la somme
2.
(2n
+
1)
n=0
Solution 18.12 On a bn (f ) = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et :
Z
2 π
tdt = π
a0 (f ) =
π 0
Z
2 π
2
an (f ) =
t cos (nt) dt =
((−1)n − 1)
π 0
πn2

 0 si n = 2p
4
=
si n = 2p + 1
 −
π (2p + 1)2
pour n ≥ 1.
P
4
Avec |an (f )| ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série
an (f ) est absolument convergente
n
et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc :
∀x ∈ [0, π] , x =
+∞
π
4 X cos ((2n + 1) x)
−
2 π n=0
(2n + 1)2
L’évaluation en x = 0 nous donne :
+∞
X
n=0
1
π2
=
8
(2n + 1)2
Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D
429
En utilisant le lemme 18.3, on en déduit le résultat suivant qui est un cas particulier du
théorème de Dirichlet.
Corollaire 18.2 Si f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, alors sa série de Fourier
converge normalement (donc uniformément) sur R vers f.
P
P
Démonstration. Le lemme 18.3 nous dit que les séries an (f ) et bn (f ) sont absolument
convergentes, ce qui donne le résultat.
Exercice 18.12 Soit f (x) = |sin (x)| .
1. Etudier sa série de Fourier.
+∞
+∞
P
P (−1)n
1
2. Calculer
et
.
2
2
n=1 4n − 1
n=1 4n − 1
3. Développer f sous la forme f (x) =
+∞
P
λn sin2 (nx) .
n=0
Solution 18.13
1. La fonction f étant 2π-périodique continue et de classe C 1 par morceaux, est développable
en série de Fourier, la convergence étant uniforme sur R tout entier. Ces coefficients de
Fourier trigonométriques sont donnés par bn = 0 puisque la fonction f est paire et pour
n ∈ N \ {1} :
Z
Z
2 π
1 π
an =
sin (t) cos (nt) dt =
(sin ((1 + n) t) + sin ((1 − n) t)) dt
π 0
π 0

2 (−1)n+1 − 1  0 si n = 2p + 1
1
4
=
=
si n = 2p
 −
π n2 − 1
π 4p2 − 1
et pour n = 1 :
On a donc :
1
a1 =
π
Z
π
sin (2t) dt = 0
0
+∞
4 X cos (2nx)
2
∀x ∈ R, |sin (x)| = −
.
π π n=1 4n2 − 1
2. En prenant respectivement x = 0 et x =
+∞
X
n=1
π
, on a :
2
1
1
= .
−1
2
4n2
Ce qui peut se montrer de manière élémentaire avec :
n
X
k=1
n
X
1
1
=
2
4k − 1 k=1 (2k − 1) (2k + 1)
¶
n µ
1X
1
1
=
−
2 k=1 2k − 1 2k + 1
à n
!
n+1
X
X
1
1
1
−
=
2 k=1 2k − 1 j=2 2j − 1
µ
¶
1
1
1
=
1−
→
2
2n + 1 n→+∞ 2
430
Séries de Fourier
et :
µ
¶
+∞
X
(−1)n
π 2
1 π
=
−1 = −
2
4n − 1
4 π
2 4
n=1
3. On a :
4
|sin (x)| =
π
Ã
+∞
1 X cos (2nx)
−
2 n=1 4n2 − 1
!
+∞
+∞
4 X 1 − cos (2nx)
8 X sin2 (nx)
=
=
π n=1
4n2 − 1
π n=1 4n2 − 1
Exercice 18.13 À tout réel a ∈ ]0, π[ on associe la fonction fa , 2π-périodique et impaire telle
que :
½
x (π − a) si 0 ≤ x ≤ a
∀x ∈ [0, π] , fa (x) =
a (π − x) si a ≤ x ≤ π
1. Étudier la série de Fourier de fa .
2. En déduire les valeurs des sommes :
+∞
X
sin (nx) sin (na)
n2
n=1
,
+∞
X
sin2 (nx)
n=1
n2
et
+∞
X
cos (2nx)
n=1
n2
pour x, a dans ]0, π[ .
Solution 18.14
1. La fonction fa étant 2π-périodique continue et de classe C 1 par morceaux, est développable
en série de Fourier, la convergence étant uniforme sur R tout entier. Ces coefficients de
Fourier trigonométriques sont donnés par an = 0 puisque la fonction f est impaire et
pour n ≥ 1 :
¶
µ
Z a
Z π
2
(π − t) sin (nt) dt
bn =
t sin (nt) dt + a
(π − a)
π
0
a
µ
µ·
¸a
¶¶
Z
2
cos (nt)
1 a
=
(π − a) −t
+
cos (nt) dt
π
n
n 0
0
¶¶
µ µ·
¸π
Z
2
cos (nt)
1 π
+
a − (π − t)
−
cos (nt) dt
π
n
n a
a
¶¶
µ
µ
2
1
cos (na)
=
+ 2 sin (na)
(π − a) −a
π
n
n
¶¶
µ µ
1
2
cos (na)
+ 2 sin (na)
+
a (π − a)
π
n
n
2
= 2 sin (na)
n
2. Ce qui donne, pour tout réel x ∈ ]0, π[ :
2
+∞
X
sin (nx) sin (na)
n=1
n2
½
= fa (x) =
x (π − a) si 0 ≤ x ≤ a
a (π − x) si a ≤ x ≤ π
Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D
431
(pour x = 0 ou x = π tout est nul) et x = a ∈ ]0, π[ donne :
+∞
X
sin2 (nx)
n2
n=1
=
x (π − x)
2
En écrivant que cos (2nx) = 1 − 2 sin2 (nx) , on en déduit que :
+∞
X
cos (2nx)
n2
n=1
+∞
+∞
X
X
1
sin2 (nx)
=
−2
n2
n2
n=1
n=1
=
Prenant x =
π2
− x (π − x)
6
π
, on retrouve :
2
+∞
X
(−1)n
n=1
n2
=
π2 π2
π2
−
=− .
6
4
12
Exercice 18.14 Soient a ∈ ]−1, 1[ \ {0} , f définie sur R par :
f (x) =
1
1 − 2a cos (x) + a2
et (un )n≥0 la suite définie par :
Z
π
f (x) cos (nx) dx
un =
0
Z
π
1. Calculer u0 =
f (x) dx.
Z
0
2. Calculer u1 =
π
f (x) cos (x) dx.
0
3. Établir une relation de récurrence entre un+1 , un et un−1 pour n ≥ 1.
1 + a2
2
x + 1.
4. Calculer les racines du polynôme P (x) = x −
a
5. Expliciter un .
6. En déduire le développement de f en série de Fourier.
7. Exprimer, pour tout réel x :
1
1
+
−1
1 − ae−ix 1 − aeix
en fonction de f (x) .
8. Retrouver le développement de Fourier de f en utilisant des développements en série
entière.
Solution 18.15 Comme 0 < |a| < 1, on a :
1 − 2a cos (x) + a2 = (a − cos (x))2 + sin2 (x) > 0
pour tout réel x et la fonction f est bien définie sur R.
432
Séries de Fourier
³x´
1. En effectuant le changement de variable u = tan
, pour x ∈ ]0, π[ , on a du =
2
1
(1 + u2 ) dx :
2
³ ´
2
2 x
¡ ¢ −1
cos (x) = 2 cos
−1=
2
1 + tan2 x2
¡ ¢
1 − tan2 x2
1 − u2
¡
¢
=
=
1 + u2
1 + tan2 x2
et :
Z
Z
π
+∞
1
2du
2
1−u
1 + u2
0
0
2
1 − 2a
+
a
1 + u2
Z +∞
2
=
du
2
1 − 2a + a + (1 + 2a + a2 ) u2
0
Z +∞
2
=
du
2
(1 − a) + (1 + a)2 u2
0
Z +∞
du
2
=
µ
¶2
2
(1 − a) 0
1+a
1+
u2
1−a
u0 =
f (x) dx =
1+a
u donne :
1−a
Z
1 − a +∞ dx
2
u0 =
(1 − a)2 1 + a 0 1 + x2
2 π
π
=
=
.
2
1−a 2
1 − a2
puis le changement de variable x =
2. En écrivant que :
¡
¢
1 − 2a cos (x) + a2 f (x) = 1
on déduit que :
f (x) cos (x) =
(1 + a2 ) f (x) − 1
2a
et :
Z
Z
1 + a2 π
π
u1 =
f (x) cos (x) dx =
f (x) dx −
2a 0
2a
0
2
2
π
1+a
π
1+a
π
u0 −
=
−
=
2
2a
2a ¶ 2a 1 − a
2a
µ
π 1 + a2
πa
=
−1 =
.
2a 1 − a2
1 − a2
π
3. Avec :
cos ((n + 1) x) + cos ((n − 1) x) = 2 cos (x) cos (nx)
Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D
433
on déduit que :
Z
π
un+1 + un−1 = 2
f (x) cos (x) cos (nx) dx
Z
0
π
(1 + a2 ) f (x) − 1
cos (nx) dx
2a
0
Z
Z
1 + a2 π
1 π
=
f (x) cos (nx) dx −
cos (nx) dx
a
a 0
0
1 + a2
=
un .
a
=2
4. On a :
¡
¢
aP (x) = ax2 − 1 + a2 x + a = (ax − 1) (x − a)
et le polynôme P a deux racines réelles, à savoir a et
5. On en déduit que un = λan +
1
.
a
µ
, les réels λ, µ étant déterminés par :
an

π
 λ + µ = u0 =
1 − a2
µ
 λa + = u1 = πa = a (λ + µ)
a
1 − a2
ce qui donne µ = 0 (a2 6= 1) et λ =
π
. On a donc :
1 − a2
∀n ∈ N, un =
π
an
1 − a2
2
2
un =
an pour
2
π
1
−
a
tout n ≥ 0. Comme f est C ∞ , sa série de Fourier converge normalement vers f et pour
tout réel x, on a :
Ã
!
+∞
X
1
1
=
1+2
an cos (nx) .
1 − 2a cos (x) + a2
1 − a2
n=1
6. La fonction f étant impaire, on a bn = 0 pour tout n ≥ 1 et an =
7. On a :
1
1
2 (1 − a cos (x))
2 − 2a cos (x)
+
=
=
−ix
ix
−ix
ix
1 − ae
1 − ae
(1 − ae ) (1 − ae )
|eix − a|2
2 − 2a cos (x)
=
1 − 2a cos (x) + a2
et :
1
1
2 − 2a cos (x)
+
−1=
−1
−ix
ix
1 − ae
1 − ae
1 − 2a cos (x) + a2
¢
¡
1 − a2
= 1 − a2 f (x)
=
2
1 − 2a cos (x) + a
434
Séries de Fourier
8. On en déduit que :
¡
+∞
+∞
X
X
¢
1 − a2 f (x) =
an e−inx +
an einx − 1
n=0
=1+
n=0
+∞
X
¡
¢
an einx + e−inx
n=1
+∞
X
=1+2
Exercice 18.15 Soit f (z) =
P
an cos (nx)
n=1
αn z n une série entière de rayon de convergence R ∈ ]0, +∞]
n≥0
telle que f (z) 6= 0 pour tout z ∈ D (0, R) . Pour tout r ∈ ]0, R[ , on désigne par ϕr la fonction
1
définie sur R par ϕr (t) =
.
f (reit )
1. Montrer que ϕr est développable en série de Fourier. On note cn (r) ses coefficients de
Fourier exponentiels.
cn (r)
2. Montrer que la fonction hn définie sur ]0, R[ par hn (r) =
est dérivable et calculer
rn
sa dérivée.
3. Montrer que cn (r) = 0 pour tout r dans ]0, R[ et tout n < 0.
1
4. En déduire que est développable en série entière de rayon de convergence R.
f
Solution 18.16
1. La fonction ϕr est 2π-périodique et indéfiniment dérivable, sa série de Fourier est alors
normalement convergente vers ϕr sur R tout entier.
2. Pour tout r ∈ ]0, R[ et tout n ∈ Z, on a :
Z 2π −int
Z 2π it 0
e
e f (reit ) −int
1
1
0
dt, cn (r) = −
e
dt
cn (r) =
2π 0 f (reit )
2π 0
f 2 (reit )
−int
(la fonction (t, r) 7−→ fe(reit ) est indéfiniment dérivable sur [0, 2π] × ]0, R[ et on intègre
sur un intervalle fermé borné). On a alors :
Z 2π it
1
re f (reit ) + nf (reit ) −int
0
∀r ∈ ]0, R[ , ∀n ∈ Z, hn (r) = −
e
dt.
2πrn+1 0
f 2 (reit )
En remarquant que :
∂
reit f 0 (reit ) + nf (reit ) −int
e
=i
2
it
f (re )
∂t
µ
e−int
f (reit )
¶
,
le résultat précédent donne, en tenant compte de la périodicité :
µ −int ¶
Z 2π
i
∂
e
0
∀r ∈ ]0, R[ , ∀n ∈ Z, hn (r) = −
dt = 0.
n+1
2πr
∂t f (reit )
0
On déduit donc que, pour tout n ∈ Z, la fonction hn est constante sur ]0, R[ . En notant
encore hn cette constante on a alors :
∀r ∈ ]0, R[ , ∀n ∈ Z, cn (r) = hn rn .
De la continuité de chaque fonction r −
7 → cn (r) sur [0, R[ , on déduit que hn = 0 pour
tout n < 0. Et toujours par continuité, on a cn (r) = hn rn pour n ∈ N et r ∈ [0, R[ .
Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques
435
3. De ce qui précède, on déduit que pour tout r ∈ [0, R[ et tout t ∈ R, on a :
+∞
X
1
=
hn rn eint ,
f (reit ) n=0
c’est-à-dire
+∞
P
1
=
hn z n pour tout z ∈ C tel que |z| < R. C’est-à-dire que la fonction
f (z) n=0
1
est développable en série entière avec un rayon de convergence R0 ≥ R . En appliquant
f
µ ¶−1
1
1
le raisonnement précédent à la fonction , on déduit que f =
a un rayon de
f
f
1
convergence R ≥ R0 . En définitive f et ont même rayon de convergence.
f
18.6
Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques
Les lemmes techniques qui suivent nous seront utiles.
Lemme 18.4 Pour tout entier naturel n, la fonction t 7→ (1 + cos (t))n est un polynôme trigonométrique.
Plus précisément, on a :
!
Ã
n
X
1
n−k
n
(1 + cos (t))n = n C2n
C2n
cos (kt) .
+2
2
k=1
Démonstration. On a déjà vu avec l’exercice 18.4 que les fonctions cosk (t) sont des polynômes trigonométriques pour tout entier naturel k. Il en résulte que (1 + cos (t))n est un
polynôme trigonométrique.
En posant, pour t réel, z = eit , on a :
µ 2
¶n
z + 2z + 1
(1 + z)2n
n
=
Pn (t) = (1 + cos (t)) =
2z
2n z n
et avec la formule du binôme de Newton :
Ã
!
n−1
2n
X
X
1
n
k −(n−k)
k k−n
Pn (t) = n C2n
+
C2n
z
+
C2n
z
,
2
k=0
k=n+1
soit en posant j = n − k dans la première somme et j = k − n dans la deuxième :
Ã
!
n
n
X
X
1
n−j
n+j
n
C2n z −j +
C2n z j
+
Pn (t) = n C2n
2
j=1
j=+1
n+j
n−j
et avec C2n
= C2n
, on a :
1
Pn (t) = n
2
Ã
n
C2n
+
n
X
j=1
¡
n−j
C2n
zj + z
¢
−j
!
,
436
Séries de Fourier
c’est-à-dire :
1
Pn (t) = n
2
Ã
n
C2n
+2
n
X
!
n−j
C2n
cos (jt) .
j=1
On peut aussi écrire que :
µ ¶
t
Pn (t) = (1 + cos (t)) = 2 cos
2
´
³ t
2n
t
2n
ei 2 + e−i 2
1 X k ik t −i(2n−k) t
2
=
= 2n
C e 2e
22n
2n k=0 2n
n
=
n
2n
2n
2n
1 X k i(2k−2n) t
1 X k i(k−n)t
2 =
C
e
C e
2n k=0 2n
2n k=0 2n
et :
Ã
!
2n
2n
1 X k i(k−n)t
1 X k
Pn (t) = <
C e
= n
C cos ((k − n) t)
2n k=0 2n
2 k=0 2n
Ã
!
n
X
1
n−j
n
+2
C2n
cos (jt) ∈ Pn
= n C2n
2
j=1
Exercice 18.16 Montrer que pour tout entier naturel n, on a :
Z π
π
n
(1 + cos (t))n dt = n−1 C2n
.
2
−π
Solution 18.17 Résulte immédiatement du lemme précédent.
Remarque 18.12 On a aussi :
Z π
Z
n
n
(1 + cos (t)) dt = 2
µ ¶
t
cos
dt
2
−π
µ ¶
Z π
t
n+1
2n
dt
=2
cos
2
0
Z π
2
n+2
=2
cos2n (x) dx
−π
π
2n
0
et on reconnaît l’intégrale de Wallis :
Z
π
2
0
cos2n (x) dx =
n
C2n
π
22n 2
Lemme 18.5 Pour tout entier naturel n, on a :
¶n
Z πµ
4
1 + cos (t)
dt ≥
In =
2
n+1
−π
Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques
437
Démonstration. On a :
¶n
¶n
Z πµ
Z πµ
1 + cos (t)
1 + cos (t)
dt = 2
dt
2
2
−π
0
¶n
Z πµ
1 + cos (t)
≥2
sin (t) dt = 2Jn
2
0
et le changement de variable x = cos (t) nous donne :
Z
1
Jn =
−1
µ
1+x
2
¶n
"
2
dx =
n+1
µ
1+x
2
¶n+1 #1
=
−1
2
.
n+1
i πh
:
Lemme 18.6 En notant, pour tout réel δ ∈ 0,
2
µ
¶n
Z
1 + cos (t)
In (δ) =
dt
2
δ≤|t|≤π
on a :
In (δ)
=0
n→+∞ In
lim
Démonstration. Par parité, on a :
¶n
¶n
µ
Z
Z πµ
1 + cos (t)
1 + cos (t)
In (δ) =
dt = 2
dt.
2
2
δ≤|t|≤π
δ
Avec la décroissance de la fonction cos sur [0, π] et la positivité de la fonction 1 + cos, il vient :
µ
¶n
µ
¶n
1 + cos (δ)
1 + cos (δ)
0 < In (δ) ≤ 2 (π − δ)
≤π
2
2
soit en notant λ =
1 + cos (δ)
∈ ]0, 1[ :
2
0<
In (δ)
π
π
≤ λn ≤ (n + 1) λn
In
In
4
→ 0
n→+∞
À toute fonction f ∈ D, on associe la suite de fonctions (Pn (f ))n∈N définie par :
¶n
Z µ
1 π 1 + cos (t)
Pn (f ) (x) =
f (x − t) dt
In −π
2
¶n
Z πµ
1 + cos (t)
où In =
dt.
2
−π
On peut remarquer que pour f = 1, on a Pn (f ) = 1.
Lemme 18.7 Pour toute fonction f ∈ D et tout entier naturel n, la fonction Pn (f ) est un
polynôme trigonométrique.
438
Séries de Fourier
Démonstration. La fonction f étant fixée, on note Pn pour Pn (f ) .
Le changement de variable u = x − t nous donne :
¶n
Z x+π µ
1 + cos (x − u)
In Pn (x) =
f (u) du
2
x−π
ce qui s’écrit aussi, compte tenu de la 2π-périodicité de la fonction intégrée :
¶n
Z πµ
1 + cos (x − u)
In Pn (x) =
f (u) du
2
−π
Il en résulte que :
1
In Pn (x) = n
4
Ã
Z
n
C2n
π
f (u) du + 2
−π
n
X
k=1
Z
n−k
C2n
!
π
f (u) cos (k (x − u)) dt
−π
et en écrivant que :
cos (k (x − u)) = cos (kx) cos (ku) + sin (kx) sin (ku)
Z π
f (u) cos (k (x − u)) dt est un polynôme trigonoméon constate que chaque fonction x 7→
trique, ce qui donne le résultat.
−π
Lemme 18.8 Toute fonction continue f ∈ D est uniformément continue sur R.
Démonstration. Toute fonction continue f ∈ D est uniformément continue sur le compact
J = [−π − 1, π + 1] . Donc pour tout ε > 0, on peut trouver un réel η ∈ ]0, 1[ tel que :
(t, x) ∈ J 2 , |t − x| ≤ η =⇒ |f (t) − f (x)| ≤ ε.
Pour x ∈ [−π, π] et t ∈ R tels que |t − x| ≤ η on a nécessairement t ∈ [−π − 1, π + 1] (η ∈ ]0, 1[
et faire un dessin), donc |f (t) − f (x)| ≤ ε.
Pourµ(t, x) ∈¶R2 tels que |t − x| ≤ η, il existe un entier n ∈ Z tel que x − 2nπ ∈ [−π, π]
x+π
(n = E
) et on a |(t − 2nπ) − (x − 2nπ)| ≤ η, ce qui entraîne :
2π
|f (t) − f (x)| = |f (t − 2nπ) − f (x − 2nπ)| ≤ ε.
On a donc ainsi prouvé que f est uniformément continue sur R.
Théorème 18.9 Pour toute fonction continue f ∈ D, la suite de polynômes trigonométriques
(Pn (f ))n∈N converge uniformément vers f.
Démonstration.
Z π µLa fonction¶fn étant fixée, on note Pn pour Pn (f ) .
1 + cos (t)
dt, on a pour tout réel x :
Comme In =
2
−π
¶n
Z µ
1 π 1 + cos (t)
Pn (x) − f (x) =
(f (x − t) − f (x)) dt
In −π
2
Comme
i π h f est uniformément continue sur R, pour tout réel ε > 0, on peut trouver un réel
δ ∈ 0,
tel que :
2
¡
¢
(u, v) ∈ R2 et |u − v| ≤ δ ⇒ (|f (u) − f (v)| ≤ ε)
Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques
439
On a alors pour tout réel x et tout réel t ∈ [−δ, δ] :
|f (x − t) − f (x)| < ε
et :
¶n
Z µ
1 δ 1 + cos (t)
|Pn (x) − f (x)| ≤
|f (x − t) − f (x)| dt
In −δ
2
µ
¶n
Z
1
1 + cos (t)
+
|f (x − t) − f (x)| dt
In δ≤|t|≤π
2
In (δ)
≤ ε + 2M
In
où on a posé M = sup |f (x)| .
x∈R
In (δ)
= 0, on déduit qu’il existe un entier nε tel que :
n→+∞ In
Puis avec lim
∀n ≥ nε , 0 <
In (δ)
≤ε
In
ce qui donne :
∀n ≥ nε , ∀x ∈ R, |Pn (x) − f (x)| ≤ (1 + 2M ) ε
On a donc ainsi prouvé la convergence uniforme sur R de (Pn )n∈N vers f.
Le résultat précédent nous dit que toute fonction continue f ∈ D peut être approchée uniformément par une suite de polynômes trigonométriques, ce qui se traduit en disant que l’espace
P des polynômes trigonométriques est dense dans l’espace D ∩ C 0 des fonctions continues et
2π-périodiques muni de la norme f 7→ kf k∞ = sup |f (x)| (norme de la convergence uniforme).
x∈R
Ce résultat ne peut être vrai sur D car il existe des fonctions non continues dans D.
Mais nous allons en déduire que P est dense dans l’espace D muni de sa structure hilbertienne, ce qui permettra de montrer le théorème de Parseval et de retrouver l’unicité des
coefficients de Fourier d’une fonction f ∈ D.
Lemme 18.9 Pour toute fonction f ∈ D, il existe une suite (fn )n≥n0 de fonctions continues
dans D telle que lim kfn − f k = 0 (ce qui signifie que (fn )n≥n0 converge vers f dans (D, k·k) .
n→+∞
Démonstration. Si f est continue, le résultat est alors évident.
En supposant f non continue, on se donne un point de continuité a de f et on note :
a0 = a < a1 < · · · < ap < ap+1 = a + 2π
les points de discontinuité de f sur [a, a + 2π] .
On désigne par n0 ≥ 1 un entier tel que :
1
≤ 2 min (ak+1 − ak )
0≤k≤p
n0
et pour tout entier n ≥ n0 , par fn la fonction continue et 2π-périodique définie par :
¸
p ·
[
1
1
∀x ∈ [a, a + 2π] \
, fn (x) = f (x)
ak − , a k +
n
n
k=1
440
Séries de Fourier
·
¸
1
1
f est affine sur ak − , ak +
pour 1 ≤ k ≤ p
n
n
1
≤ 2 min (ak+1 − ak ) nous assure que ces intervalles sont disjoints).
0≤k≤p
n0
·
¸
1
1
On peut préciser l’expression de fn sur chaque intervalle ak − , ak +
, c’est :
n
n
¶ µ
¶ µ
µµ
¶ µ
¶¶
n
1
1
1
1
fn (x) =
x − (ak − ) f ak +
+ (ak + ) − x f ak −
.
2
n
n
n
n
¸
·
1
1
:
En notant kf k∞ = sup |f (x)| , on a pour tout k compris entre 1 et p et tout x ∈ ak − , ak +
n
n
x∈R
µµ
¶ µ
¶¶
n
1
1
|fn (x)| ≤
x − (ak − ) + (ak + ) − x
kf k∞ = kf k∞
2
n
n
(la condition
Les fonctions considérées étant continues par morceaux et 2π-périodiques, on a pour tout
n ≥ n0 :
Z a+2π
2
kfn − f k =
|fn (x) − f (x)|2 dx
a
=
p Z
X
k=1
1
ak + n
1
ak − n
|fn (x) − f (x)|2 dx ≤ 4pkf k2∞
2
n
→ 0
n→+∞
Théorème 18.10 Pour toute fonction f ∈ D, la suite de polynômes trigonométriques (Sn (f ))n∈N
converge vers f dans (D, k·k) .
Démonstration. Pour ε > 0 donné, on peut trouver une fonction continue g ∈ D telle
que kf − gk < ε et avec la convergence uniforme de la suite de polynômes trigonométriques
(Pn (g))n∈N vers g, on déduit qu’il existe un polynôme trigonométrique P = Pn0 (g) tel que
kP − gk∞ < ε, ce qui entraîne :
Z 2π
2
kP − gk =
|P (x) − g (x)|2 dx ≤ 2π kP − gk2∞ < 2πε2
0
et :
kP − f k ≤ kP − gk + kg − f k <
³√
´
2π + 1 ε
En notant nε le degré de P, on a P ∈ Pn pour tout n ≥ nε et :
³√
´
kSn (f ) − f k ≤ kP − f k <
2π + 1 ε
ce qui prouve que lim kSn (f ) − f k = 0, soit que lim Sn (f ) = f dans (D, k·k) .
n→+∞
n→+∞
Ce résultat est en fait équivalent au théorème de Parseval qui suit.
Théorème 18.11 (Parseval) Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique
a20 (f ) P 2
+ (an (f ) + b2n (f )) est convergente et on a :
2
Z
+∞
¢ 1 2π 2
a20 (f ) X ¡ 2
2
+
f (t) dt
an (f ) + bn (f ) =
2
π
0
n=1
Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques
441
Démonstration. Résulte de :
kf − Sn (f )k2 = kf k2 − kSn (f )k2
Z
2π
2
f 2 (t) dt et :
avec kf k =
0
Ã
kSn (f )k2 = π
n
¢
a20 (f ) X ¡ 2
+
ak (f ) + b2k (f )
2
k=1
!
Corollaire 18.3 Une fonction f ∈ D est telle que an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N si, et
seulement si, elle est identiquement nulle.
Démonstration.
Les égalités an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N sont équivalentes à
Z 2π
kf k2 =
f 2 (t) dt, soit à f = 0.
0
Exercice 18.17 Étudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique valant x2 sur [−π, π] .
+∞
+∞
P 1 +∞
P (−1)n+1
P 1
En déduire les valeurs des sommes
,
et
.
2
4
n2
n=1 n
n=1
n=1 n
Solution 18.18 On a bn (f ) = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et :
Z
π2
2 π 2
t dt = 2
a0 (f ) =
π 0
3
Z π
2
(−1)n
∀n ≥ 1, an (f ) =
t2 cos (nt) dt = 4 2
π 0
n
P
4
Avec |an (f )| ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série
an (f ) est absolument convergente
n
et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc, pour tout réel x :
+∞
+∞
X
a0 (f ) X
π2
(−1)n
f (x) =
+
an (f ) cos (nx) =
+4
cos (nx)
2
3
n2
n=1
n=1
ce qui équivaut à :
+∞
X
(−1)n
π2
+4
cos (nx)
∀x ∈ [0, π] , x =
3
n2
n=1
2
Les évaluations en x = 0 et x = π respectivement nous donnent :
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n2
=
+∞
X
π2
1
π2
et
=
12
n2
6
n=1
La formule de Parseval nous donne :
Z
+∞
X
π4
1
2 π 4
π4
2 + 16
=
t
dt
=
2
9
n4
π 0
5
n=1
et :
+∞
X
π4
1
=
.
4
n
90
n=1
442
Séries de Fourier
Exercice 18.18 Soit f la fonction paire et 2π-périodique, telle que f (x) = sh (x) sur [0, π] .
1. Tracer le graphe de f.
2. Calculer les coefficients de Fourier de f.
3. Étudier la série de Fourier de f.
4. En déduire les valeurs des sommes :
S=
+∞
X
n=1
+∞
X (−1)n
1
et T =
.
n2 + 1
n2 + 1
n=1
5. Que déduire du théorème de Parseval ?
Solution 18.19
1. Le lecteur est invité à dessiner.
2. On a bn (f ) = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et pour tout n ≥ 0 :
µZ π
¶
Z
2 π
2
int
an (f ) =
sh (t) cos (nt) dt = <
sh (t) e dt
π 0
π
0
¶
µZ π
¡ t
¢ int
1
−t
= <
e − e e dt
π
0
avec, pour ε ∈ {−1, 1} :
Z π
(−1)n eεπ − 1
((−1)n eεπ − 1) (ε − in)
In (ε) =
e(ε+in)t dt =
=
ε + in
n2 + 1
0
ce qui donne :
((−1)n eπ − 1) + ((−1)n e−π − 1)
π (n2 + 1)
n
π
(−1)n ch (π) − 1
(−1) (e + e−π ) − 2
=
=
2
π (n2 + 1)
π (n2 + 1)
an (f ) =
P
λ
Avec |an (f )| ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série
an (f ) est absolument
n
convergente et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc, pour
tout réel x :
+∞
a0 (f ) X
f (x) =
+
an (f ) cos (nx)
2
n=1
+∞
ch (π) − 1 2 X (−1)n ch (π) − 1
+
cos (nx)
=
π
π n=1
n2 + 1
ce qui équivaut à :
+∞
ch (π) − 1 2 X (−1)n ch (π) − 1
+
cos (nx)
∀x ∈ [0, π] , sh (x) =
π
π n=1
n2 + 1
Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques
443
3. Les évaluations en x = 0 et x = π, nous donne :
+∞
X
(−1)n ch (π) − 1
n2
n=1
et :
+1
+∞
X
(−1)n ch (π) − 1
n2
n=1
+1
=
(−1)n =
1 − ch (π)
2
π sh (π) − ch (π) + 1
2
soit le système linéaire :
(
−S + ch (π) T =
ch (π) S − T =
de solution :
S=
+∞
X
n=1
et :
1−ch(π)
2
π sh(π)−ch(π)+1
2
1
1
=
2
n +1
2
µ
¶
π
−1
th (π)
µ
¶
+∞
X
(−1)n
π
1
T =
=
−1
n2 + 1
2 sh (π)
n=1
4. Le théorème de Parseval nous donne :
Z
+∞
2
(ch (π) − 1)2
2 π 2
4 X ((−1)n ch (π) − 1)
2
=
+ 2
sh (t) dt
π2
π n=1
π 0
(n2 + 1)2
=
sh (2π)
−1
2π
soit :
+∞
2
X
((−1)n ch (π) − 1)
n=1
(n2 + 1)2
π2
=
4
Ã
sh (2π)
(ch (π) − 1)2
−1−2
2π
π2
!
π
π 2 (ch (π) − 1)2
= sh (2π) −
−
8
4
2
Exercice 18.19 Soit f ∈ D continue et de classe C 1 par morceaux de R dans R.
1. Montrer que :
+∞
X
p
a2n (f ) + b2n (f ) ≤
n=1
r sZ 2π
π
|f 0 (t)|2 dt.
6
0
2. Montrer que pour tous réels a, b, t, on a :
|a cos (t) + b sin (t)| ≤
3. Montrer que :
Solution 18.20
√
a2 + b2
¯
¯ s Z 2π
Z 2π
¯
¯
1
π
sup ¯¯f (x) −
f (t) dt¯¯ ≤
|f 0 (t)|2 dt.
2π
6
x∈R
0
0
444
Séries de Fourier
1. Dans le cas où f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, on a :
∀n ∈ N∗ , an (f ) = −
bn (f 0 )
1
et bn (f ) = an (f 0 )
n
n
(exercice 18.6) et l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans l’espace des suites réelles de carré
sommable nous dit que :
+∞
X
p
a2n
(f ) +
n=1
ce qui donne, compte tenu de
fonction f 0 ∈ D :
+∞
X
p
n=1
b2n
+∞
X
1p 2 0
(f ) =
an (f ) + b2n (f 0 )
n
n=1
v
v
u +∞ u +∞
uX 1 uX
t
≤t
a2n (f 0 ) + b2n (f 0 )
2
n
n=1
n=1
1
π2
=
et de l’égalité de Parseval appliquée à la
2
6
n=1 n
+∞
P
s
π
a2n (f ) + b2n (f ) ≤ √
6
1
π
Z
2π
0
r sZ 2π
π
|f 0 (t)|2 dt =
|f 0 (t)|2 dt.
6
0
(on rappelle que a0 (f 0 ) = 0).
2. Si a2 + b2 = 0, c’est évident, sinon il existe un réel θ tel que :
a
b
= cos (θ) et √
= sin (θ)
2
2
+b
a + b2
³
´2 ³
´2
(puisque √a2a+b2 + √a2b+b2 = 1) et :
√
√
a2
a
b
cos (t) + √
sin (t) = cos (θ) cos (t) + sin (θ) sin (t)
a 2 + b2
a 2 + b2
= cos (θ − t) ∈ [−1, 1]
On peut aussi écrire que :
eit + e−it
eit − e−it
+b
2
2i
a − ib it a + ib −it
=
e +
e
2
2
a cos (t) + b sin (t) = a
et :
¯
¯ ¯
¯
¯ a − ib ¯ ¯ a + ib ¯
¯
¯
¯
¯
+
|a cos (t) + b sin (t)| ≤ ¯
2 ¯ ¯ 2 ¯
√
≤ |a + ib| = a2 + b2
Le théorème de Dirichlet
445
3. Comme f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, sa série de Fourier converge
normalement vers f sur R et on a pour tout réel x :
¯
¯ ¯¯ +∞
¯
¯
X
¯
¯
a
(f
)
¯
¯f (x) − 0
¯ = ¯¯
(a
(f
)
cos
(nx)
+
b
(f
)
sin
(nx))
¯
n
n
¯
¯
2 ¯ ¯
≤
n=1
+∞
X
|an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx)|
n=1
≤
s
+∞
X
p
a2n
(f ) +
b2n
(f ) ≤
n=1
π
6
Z
2π
|f 0 (t)|2 dt
0
c’est-à-dire que :
¯
¯ s Z 2π
Z 2π
¯
¯
1
π
sup ¯¯f (x) −
f (t) dt¯¯ ≤
|f 0 (t)|2 dt
2π 0
6 0
x∈R
18.7
Le théorème de Dirichlet
Dans un premier temps nous allons donner une expression intégrale des sommes partielles
d’une série de Fourier.
Lemme 18.10 Pour tout entier naturel p strictement positif, la fonction θp définie sur R \ Zπ
par :
sin (px)
x 7→
sin (x)
se prolonge en une fonction continue et périodique de période 2π sur R.
Démonstration. L’ensemble R \ Zπ est stable par la translation x 7→ x + 2π et la fonction
θp est continue et périodique sur R \ Zπ comme quotient de deux fonctions continues et périodiques, le dénominateur ne s’annulant jamais sur R \ Zπ. Pour k entier relatif et x = kπ + t
avec t voisin de 0 on a :
θp (x) = (−1)(p−1)k
sin (pt)
v (−1)(p−1)k p.
sin (t) t→0
On peut donc prolonger la fonction θp par continuité en tout point kπ avec k ∈ Z en posant
θp (kπ) = (−1)(p−1)k p. La fonction obtenue est bien continue et 2π-périodique sur R.
Pour la suite, on note encore θp le prolongement à R de la fonction θp .
Pour tout entier naturel n, on désigne par Dn la fonction définie sur R par :
n
Dn (x) =
1 X
+
cos (kx)
2 k=1
Ces fonctions Dn sont appelées noyaux de Dirichlet.
Lemme 18.11 Pour tout entier naturel n et tout réel x on a :
³x´
1
Dn (x) = θ2n+1
.
2
2
446
Séries de Fourier
Démonstration. Pour tout entier naturel k et pour tout réel x on a :
µ µµ
¶ ¶
µµ
¶ ¶¶
³x´
1
1
1
sin
cos (kx) =
sin
k+
x − sin
k−
x
,
2
2
2
2
ce qui nous donne :
³x´
1
sin
Dn (x) =
2
2
Ã
sin
1
= sin
2
µ
³x´
2
+
n µ
X
k=1
2n + 1
x
2
¶
µ
sin
¶
µ
¶¶!
2k + 1
2k − 1
x − sin
x
2
2
³x´
1
et Dn (x) = θ2n+1
.
2
2
Théorème 18.12 Pour toute fonction f ∈ D, tout réel x et tout entier n, on a :
µ
¶
Z π
1
x−t
Sn (f ) (x) =
dt
f (t) θ2n+1
2π −π
2
µ ¶
Z π
1
t
=
f (x − t) θ2n+1
dt
2π −π
2
µ ¶
Z π
t
1
(f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1
=
dt
2π 0
2
Démonstration. On a :
Sn (f ) (x) =
=
=
=
=
n
n
X
a0 (f ) X
bk (f ) sin (kx)
ak (f ) cos (kx) +
+
2
k=1
k=1
Z 2π
Z 2π
n
X
1
1
(cos (kt) cos (kx) + sin (kt) sin (kx)) dt
f (t) dt +
f (t)
2π 0
π 0
k=1
Z 2π
Z 2π
n
X
1
1
f (t) dt +
f (t)
cos (k (x − t)) dt
2π 0
π 0
k=1
Ã
!
Z
n
1 2π
1 X
f (t)
+
cos (k (x − t)) dt
π 0
2 k=1
µ
¶
Z
Z π
1 2π
1
x−t
dt
f (t) Dn (x − t) dt =
f (t) θ2n+1
π 0
2π −π
2
et le changement de variable u = x − t, nous donne :
Z x+π
³u´
1
Sn (f ) (x) =
f (x − u) θ2n+1
du
2π x−π
2
la fonction :
¡
¢
sin (2n + 1) u2
¡ ¢
u 7→ θ2n+1
=
2
sin u2
³u´
et on a :
étant 2π-périodique, il en est de même de u 7→ f (x − u) θ2n+1
2
Z π
³u´
1
Sn (f ) (x) =
f (x − u) θ2n+1
du
2π −π
2
³u´
Le théorème de Dirichlet
447
En exploitant la parité de u 7→ θ2n+1
Z
0
f (x − u) θ2n+1
1
Sn (f ) (x) =
2π
Z
π
0
2
³u´
−π
et :
³u´
2
, le changement de variable u = −t nous donne :
Z
π
du =
0
µ ¶
t
dt
f (x + t) θ2n+1
2
µ ¶
t
dt.
(f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1
2
En remarquant que Sn (1) = 1 pour tout n ≥ 0, on déduit que :
µ ¶
Z
t
1 π
θ2n+1
dt = 1.
π 0
2
En fait cette égalité peut aussi se démontrer directement avec :
!
µ ¶
Z π
Z π
Z πÃ
n
t
1 X
θ2n+1
dt = 2
Dn (t) dt = 2
+
cos (kt) dt = π.
2
2 k=1
0
0
0
Pour toute fonction f ∈ D et tout réel x, on rappelle qu’on a noté :
¡ ¢
¡ ¢
f x− = lim f (t) et f x+ = lim f (t)
t→x
t<x
t→x
t>x
les limites à gauche et à droite en x. Si la fonction f est continue en x, on a f (x− ) = f (x+ ) =
f (x) .
Lemme 18.12 Soient f ∈ D de classe C 1 par morceaux, x un réel fixé et ϕx la fonction définie
sur ]0, π] par :
f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ )
¡ ¢
.
ϕx (t) =
sin 2t
La fonction ϕx se prolonge par continuité en 0 et est de classe C 1 par morceaux sur ]0, π] .
Démonstration. Comme f ∈ D est de classe C 1 par morceaux, on a :
lim+
t→0
f (x − t) − f (x− )
f (x + t) − f (x+ )
= fg0 (x) et lim+
= fd0 (x)
t→0
t
t
u
= 1, on déduit que :
u→0 sin (u)
et comme lim
f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ ) 2t
¡ ¢
lim ϕx (t) = 2 lim+
t→0+
t→0
t
sin 2t
¡
¢
= 2 fg0 (x) + fd0 (x)
et ϕx se prolonge par continuité en 0.
µ ¶
t
Comme f est de classe C par morceaux sur R, et t 7→ sin
de classe C ∞ sur R, ne
2
s’annulant pas sur ]0, π] , on déduit que ϕx est de classe C 1 par morceaux sur ]0, π] .
1
448
Séries de Fourier
Remarque 18.13 La fonction ϕx n’est pas 2π-périodique car :
ϕx (t + 2π) =
f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ )
¡
¢
= −ϕx (t) .
sin 2t + π
Nous aurons besoin de la version suivante du théorème de Riemann-Lebesgue.
Lemme 18.13 Si ϕ : [0, π] → R est une fonction continue en 0 et de classe C 1 par morceaux
sur ]0, π] , on a alors :
Z π
lim
ϕ (t) sin (λt) dt = 0.
λ→+∞
0
Démonstration. Avec :
Z π
Z π
Z π
ϕ (t) sin (λt) dt =
(ϕ (t) − ϕ (0)) sin (λt) dt + ϕ (0)
sin (λt) dt
0
0
0
Z π
1 − cos (λπ)
=
(ϕ (t) − ϕ (0)) sin (λt) dt + ϕ (0)
λ
0
1 − cos (λπ)
= 0, on se ramène au cas où ϕ (0) = 0.
λ→+∞
λ
Comme ϕ est continue en 0, pour ε > 0 donné, on peut trouver δ ∈ ]0, π[ tel que |ϕ (t)| < ε
pour tout t ∈ [0, δ] et on a :
¯Z π
¯ Z δ
¯Z π
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯≤
¯
¯
ϕ
(t)
sin
(λt)
dt
|ϕ
(t)|
dt
+
ϕ
(t)
sin
(λt)
dt
¯
¯
¯
¯
0
0
δ
¯Z π
¯
¯
¯
≤ πε + ¯¯
ϕ (t) sin (λt) dt¯¯
et lim
δ
Comme ϕ est de classe C 1 par morceaux sur [δ, π] , il existe une subdivision a0 = δ < a1 < · · · <
ap = π telle que ϕ se prolonge par continuité en une fonction de classe C 1 sur chaque intervalle
[ak , ak+1 ] pour k compris entre 0 et p − 1 et on écrit que :
¯Z
¯
¯
¯
π
δ
¯ X
¯Z
¯ p−1 ¯
¯
ϕ (t) sin (λt) dt¯¯ ≤
¯
k=0
ak+1
ak
¯
¯
ϕ (t) sin (λt) dt¯¯
Une intégration par parties sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] nous donne pour λ > 0 :
·
¸a
Z ak+1
Z ak+1
cos (λt)
cos (λt) k+1
ϕ0 (t)
ϕ (t) sin (λt) dt = −ϕ (t)
+
dt
λ
λ
ak
ak
ak
et :
¯
¯ 2
π
ϕ (t) sin (λt) dt¯¯ ≤ sup |ϕ (t)| +
sup |ϕ0 (t)|
λ [0,π]
λ [ak ,ak+1 ]
ak
Mk
≤
→ 0
λ λ→+∞
¯R π
¯
¯R π
¯
Il existe donc un réel λε tel que ¯ δ ϕ (t) sin (λt) dt¯ < ε pour λ > λε et on a ¯ 0 ϕ (t) sin (λt) dt¯ ≤
(π + 1) ε pour tout λ > λε .
Z
¯Z
¯
¯
¯
ak+1
π
On a donc ainsi prouvé que lim
λ→+∞
ϕ (t) sin (λt) dt = 0.
0
Le théorème de Dirichlet
449
Théorème 18.13 (Dirichlet) Si f ∈ D est de classe C 1 par morceaux sur R, sa série de
Fourier converge alors simplement vers f sur R, c’est-à-dire que pour tout réel x, on a :
f (x) =
avec f (x) =
+∞
+∞
X
a0 (f ) X
+
an (f ) cos (nx) +
bn (f ) sin (nx)
2
n=1
n=1
f (x− ) + f (x+ )
dans le cas où x est un point de discontinuité de f.
2
Démonstration. Les lemmes qui précèdent nous disent que, pour tout réel x et tout entier
naturel n, on a :
µ ¶
µ ¶
Z π
Z
1
1 π
t
t
Sn (f ) (x) − f (x) =
dt − f (x)
dt
(f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1
θ2n+1
2π 0
2
π 0
2
µ ¶
Z π
1
t
=
(f (x − t) + f (x + t) − 2f (x)) θ2n+1
dt
2π 0
2
µ
¶
Z π
1
f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ )
2n + 1
¡ ¢
=
sin
t dt
2π 0
2
sin 2t
µ
¶
Z π
2n + 1
1
=
ϕx (t) sin
t dt
2π 0
2
et le lemme de Riemann-Lebesgue nous permet de conclure à :
lim (Sn (f ) (x) − f (x)) = 0.
n→+∞
Exercice
³ x ´ 18.20 Étudier la série de Fourier de la fonction f, 2π–périodique telle que f (x) =
sin
sur [−π, π] .
2
Solution 18.21 On a an (f ) = 0 pour tout n ≥ 0 puisque f est paire et pour tout n ≥ 1 :
µ ¶
Z
t
2 π
bn (f ) =
sin
sin (nt) dt
π 0
2
µZ π
µµ
¶ ¶
µµ
¶ ¶¶
1
1
2
cos
− n t − cos
+n t
dt
=
π
2
2
0
8 (−1)n−1 n
=
π 4n2 − 1
Comme f est continue par morceaux et C 1 par morceaux, les points de discontinuité étant les
(2k + 1) π ou k décrit Z, on a, pour x ∈ ]−π, π] :
³x´
(
+∞
n−1
X
8
(−1)
n
si x ∈ ]−π, π[
sin
sin (nx) =
2
2
π n=1 4n − 1
0 si x = π
450
18.8
Séries de Fourier
Séries de Fourier et équations aux dérivées partielles
On se contente ici d’étudier quelques exemples.
On s’intéresse tout d’abord à l’équation des ondes.
Le problème est de déterminer une fonction u : [0, π] × R → R de classe C 2 telle que :

2
∂2u

2∂ u

(x,
t)
−
c
(x, t) = 0
∀
(x,
t)
∈
[0,
π]
×
R,


∂t2
∂x2
∂u
(18.2)
∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x) ,
(x, 0) = g (x)



∂t

∀t ∈ R, u (0, t) = u (π, t) = 0
où c > 0, f et g sont des fonctions données, les hypothèses sur ces fonctions seront précisées en
cours d’étude.
Lemme 18.14 Soit f : [0, π] → R une fonction continue telle que f (0) = f (π) = 0. Si on
prolonge cette fonction en une fonction fe : R → R qui est 2π-périodique et impaire, alors fe est
continue sur R.
Démonstration. En utilisant l’exercice 18.1, il nous suffit de vérifier la continuité de fe sur
[−π, π] , ce qui est clair par imparité sur [−π, π] \ {0} et en 0, cela se déduit de :
lim fe(x) = lim+ f (x) = f (0) = 0
x→0+
et :
x→0
lim fe(x) = − lim− fe(−x) = − lim+ f (t) = f (0) = 0.
x→0−
x→0
t→0
On suppose que la fonction f est de classe C 1 sur [0, π] avec f (0) = f (π) = 0 et on la
prolonge en une fonction impaire et 2π-périodique sur R qu’on note encore f. Cette fonction f
est continue, de classe C 1 par morceaux sur R et le théorème de Dirichlet (plus précisément le
corollaire 18.2) nous dit que sa série de Fourier converge normalement vers f sur R.
Compte tenu du fait que les an (f ) sont tous nuls (f est impaire), on a :
∀x ∈ R, f (x) =
+∞
X
bn (f ) sin (nx)
n=1
On suppose maintenant que f : [0, π] → R est de classe C 3 avec f (0) = f (π) = 0, f 00 (0) =
f (π) = 0 et on la prolonge en une fonction impaire et 2π-périodique sur R qu’on note encore
f.
00
Lemme 18.15 Avec nos hypothèses, le prolongement f est de classe C 2 sur R.
Démonstration. On vient de voir que :
∀x ∈ R, f (x) =
+∞
X
n=1
la convergence étant normale sur R.
bn (f ) sin (nx)
Séries de Fourier et équations aux dérivées partielles
451
Pour tout entier n ≥ 1, on a :
·
¸π
Z π
Z
π
1 π 0
cos (nt)
bn (f ) =
f (t) sin (nt) dt = −f (t)
+
f (t) cos (nt) dt
2
n
n 0
0
0
¶
µ·
¸π
Z
1
sin (nt)
1 π 00
0
=
f (t)
−
f (t) sin (nt) dt
n
n
n 0
0
µ·
¸π
¶
Z
1
cos (nt)
1 π 000
00
=− 2
−f (t)
+
f (t) cos (nt) dt
n
n
n 0
0
Z π
1
=− 3
f 000 (t) cos (nt) dt
n 0
1
soit bn (f ) = − 3 an (g) , où g : R → R est 2π-périodique, paire coïncidant avec f 000 sur [0, π] .
n
Cette fonction g est dans D et avec :
µ
¶
¯ 2
¯
¯n bn (f )¯ = 1 |an (g)| ≤ 1 1 + |an (g)|2
n
2 n2
on déduit que les séries dérivées :
+∞
X
nbn (f ) cos (nx) et −
n=1
+∞
X
n2 bn (f ) sin (nx)
n=1
sont uniformément convergentes sur R puisque :
¶
¯
³ ´¯ ¯
³ ´¯ 1 µ 1
¯
¯ ¯ 2
¯
2
e
e
+ |an (g)|
¯nbn f ¯ ≤ ¯n bn f ¯ ≤
2 n2
P 1
P
< +∞ et |an (g)|2 < +∞ (théorème de Bessel). Les fonctions x 7→ sin (nx) , étant
2
n
indéfiniment dérivables, on en déduit que f est de classe C 2 sur R.
avec
Théorème 18.14 Avec nos hypothèses, les fonctions u1 et u2 définies par :
½
u1 (x, t) = f (x − ct)
∀ (x, t) ∈ [0, π] × R,
u1 (x, t) = f (x + ct)
sont solutions de l’équation des ondes :
2
∂ 2u
2∂ u
(x,
t)
−
c
(x, t) = 0
∂t2
∂x2
avec la condition initiale :
∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x)
et la fonction u3 =
1
(u1 + u2 ) est solution du problème :
2

2
∂2u

2∂ u

(x,
t)
−
c
(x, t) = 0
∀
(x,
t)
∈
[0,
π]
×
R,


∂t2
∂x2
∂u
(x, 0) = 0
∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x) ,



∂t

∀t ∈ R, u (0, t) = u (π, t) = 0
452
Séries de Fourier
Démonstration. Le lemme précédent nous dit que la fonction f est de classe C 2 sur R. Il
en est donc de même des fonctions u1 et u2 et pour k = 1, 2, on a :
2
∂ 2 uk
2 00
2 ∂ uk
(x, t) = c f (x − ct) = c
(x, t)
∂t
∂x2
uk (x, 0) = f (x)
avec :
∂u1
∂u2
(x, 0) = −cf 0 (x) = −
(x, 0)
∂t
∂t
u1 (0, t) = f (−ct) = −f (ct) = −u2 (0, t)
u1 (π, t) = f (π − ct) = f (−π − ct) = −f (π + ct) = −u2 (π, t)
1
∂ 2u
∂ 2u
Il en résulte que la fonction u3 = (u1 + u2 ) vérifie
(x, t) = c2 2 (x, t) , u (x, 0) = f (x) ,
2
∂t
∂x
∂u
(x, 0) = 0 et u (0, t) = u (π, t) = 0.
∂t
On suppose que la fonction g est de classe C 3 sur [0, π] avec g (0) = g (π) = 0, g 00 (0) =
g 00 (π) = 0.
On prolonge g en une fonction impaire et 2π-périodique sur R qu’on note encore g. Cette
fonction g est de classe C 2 sur R.
Z
π
G (x) dx = 0. Elle est définie
On désigne par G la primitive de g sur R telle que
0
Z π
Z x
G (x) dx = 0, qui s’écrit
g (t) dt + λ pour x ∈ [0, π] et la condition
par G (x) =
0
0
¶
Z π µZ x
g (t) dt dx + πλ = 0, détermine λ de manière unique. De plus G est de classe C 3
0
sur R.
0
Théorème 18.15 Avec nos hypothèses, les fonctions v1 et v2 définies par :
½
v1 (x, t) = G (x − ct)
∀ (x, t) ∈ [0, π] × R,
v2 (x, t) = G (x + ct)
sont solutions de l’équation des ondes :
2
∂ 2u
2∂ u
(x,
t)
−
c
(x, t) = 0
∂t2
∂x2
avec la condition initiale :
∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x)
et la fonction v3 =
1
(v2 − v1 ) est solution du problème :
2c

2
∂2u

2∂ u

(x,
t)
−
c
(x, t) = 0
∀
(x,
t)
∈
[0,
π]
×
R,


∂t
∂x2
∂u
∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = 0,
(x, 0) = g (x)



∂t

∀t ∈ R, u (0, t) = u (π, t) = 0
Séries de Fourier et équations aux dérivées partielles
453
Démonstration. La fonction G étant de classe C 3 sur [0, π] il en est de même de vk , pour
k = 1, 2 et :
2
∂ 2 vk
2 00
2 0
2 ∂ uk
(x, t) = c G (x − ct) = c g (x − ct) = c
(x, t)
∂t
∂x2
vk (x, 0) = G (x)
avec :
∂v1
∂v2
(x, 0) = −cG0 (x) = −cg (x) = −
(x, 0)
∂t
∂t
v1 (0, t) = G (−ct) = G (ct) = v2 (0, t)
v1 (π, t) = G (π − ct) = G (−π − ct) = G (π + ct) = v2 (π, t)
Théorème 18.16 Si les fonctions f et g sont de classe C 3 sur [0, π] avec f (0) = f (π) = 0,
f 00 (0) = f 00 (π) = 0, g (0) = g (π) = 0 et g 00 (0) = g 00 (π) = 0, alors une solution du problème
(18.2) est donnée par :
¶
+∞ µ
X
bn (g)
u (x, t) =
bn (f ) cos (nct) +
sin (nct) sin (nx)
n
n=1
Démonstration. Le théorèmeZ de Dirichlet nous dit que G est développable en série de
2 π
bn (g)
Fourier sur R et avec a0 (G) =
G (x) dx = 0, an (G) =
pour tout n ≥ 0, on déduit
π 0
n
que, pour tout réel x, on a :
+∞
X
bn (g)
G (x) = −
cos (nx)
n
n=1
la convergence étant uniforme.
En utilisant les théorèmes 18.14 et 18.15, on voit que la fonction u = u3 + v3 est solution de
(18.2) et elle s’écrit :
u (x, t) =
1
1
(f (x + ct) + f (x − ct)) + (G (x + ct) − G (x − ct))
2
2c
avec :
f (x + ct) + f (x − ct) =
+∞
X
bn (f ) (sin (nx + nct) + sin (nx − nct))
n=1
+∞
X
=2
bn (f ) sin (nx) cos (nct)
n=1
et :
G (x + ct) − G (x − ct) =
+∞
X
bn (g)
n=1
+∞
X
=2
n=1
ce qui donne :
n
(cos (nx − nct) − cos (nx − nct))
bn (g)
sin (nx) sin (nct)
n
¶
+∞ µ
X
bn (g)
sin (nct) sin (nx)
u (x, t) =
bn (f ) cos (nct) +
n
n=1
454
Séries de Fourier