Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h) E 1 E 2 E 3

1S
Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)
On considère la variable aléatoire X qui, à n articles achetés par un commerçant, associe
.
Contrôle : loi binomiale, applications
de la dérivation (2h)
E
le nombre d'articles défectueux.
1
( 5 points )
. correction
Après fabrication, les lecteurs MP3 d'une entreprise subissent quatre contrôles successifs
1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Le commerçant achète n = 25 articles. On arrondira les résultats à 10−3 près.
indépendants, la probabilité qu'un lecteur MP3 de la production soit rejeté à un contrôle
est de 0, 106 .
(a) Déterminer la probabilité qu'au moins 3 articles soient défectueux.
Un lecteur MP3 est :
(b) Déterminer la probabilité qu'au plus 4 articles soient défectueux.
□
commercialisé s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs ;
(c) Déterminer la probabilité qu'exactement 2 articles soient défectueux.
□
détruit s'il est rejeté au moins deux fois ;
3. Combien y a-t-il en moyenne d'articles défectueux ?
□
commercialisé sans le logo sinon.
4. Le commerçant souhaite que la probabilité d'avoir au moins un article défectueux soit
Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50 e. Son prix de vente est de
inférieure à 0, 5 . Déterminer la valeur du nombre n d'articles qu'il peut commander.
120 e pour un lecteur avec logo et 60 e pour un lecteur sans logo.
5. Écrire un algorithme qui permet de déterminer la valeur de n trouvée précédemment.
On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqués, associe le gain
algébrique (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise.
E
3
( 5 points )
. correction
« Avec la crème Norel, les rides sont visiblement réduites », c'est ce qu'affirme la firme de
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G (arrondir à 10−3 près).
2. Calculer à 10−2 près l'espérance mathématique de G . Donner une interprétation de ce
résultat.
cosmétologie Norel dans une publicité.
Elle ajoute : « 78 % des femmes utilisant cette crème se déclarent satisfaites du résultat. »
Une association de consommateurs souhaite vérifier les dires de l'entreprise. À partir d'un
échantillon de 200 utilisatrices (la population est suffisamment grande pour considérer
E
2
( 5 points )
. correction
Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d'un article.
qu'il s'agit de tirages avec remise), on obtient une fréquence f d'utilisatrices satisfaites du
Un contrôle de qualité a établi que la probabilité qu'un article produit soit défectueux est
On souhaite savoir pour quelles valeurs de f , on peut mettre en doute le pourcentage
égale à 0, 05 .
annoncé par le fabriquant au seuil de 5 %.
produit.
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1. On fait l'hypothèse que Noreal dit vrai et que le taux de femmes satisfaites est p = 0, 78 .
E
5
Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X égale au nombre de femmes satisfaites
( bonus )
. correction
Dans un repère orthormé, P est la parabole d'équation y = x 2 . h est un nombre réel
de l'échantillon ?
strictement positif.
On inscrit dans la partie du plan délimitée par P et la droite d'équation y = h un rectangle
2. On note I l'intervalle de fluctuation à 95 %. Déterminer I .
comme sur la figure ci-dessous.
3. Énoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l'hypothèse p = 0, 78 selon
4. Sur 200 femmes interrogées, 71 % se déclarent satisfaites de la crème Noreal. Peut-on
considérer, au seuil de 5 %, l'affirmation du fabriquant comme exacte ?
porte que sur 100 femmes ? Expliquez votre résultat.
4
( 5 points )
. correction
Soit f la fonction définie sur I = ]3 ; +∞[ par :
f (x) =
3
d'aire maximale dont on exprimera
2
les dimensions en fonction de h .
1
5. Même question si le pourcentage de femmes satisfaites est de 71 % mais que l'étude ne
E
Démontrer qu'il existe un rectangle
h
la valeur de la fréquence f des consommatrices satisfaites de l'échantillon.
x2 + 7
.
x −3
1. Déterminer l'expression de la dérivée f ′ de f sur I .
2. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle I .
3. Déterminer le minimum de f sur I et la valeur pour laquelle il est atteint.
4. En déduire que pour tout x > 3 , on a f (x) ⩾ 14 .
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−2
−1 0
1
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2. (a) P (X ⩾ 3) ≈ 0, 127 ;
.
Correction
(b) P (X ⩽ 4) ≈ 0, 993 ;
E
1
. énoncé
(c) P (X = 2) ≈ 0, 231 ;
1. Soit X la variable aléatoire qui à un lecteur MP3 associe le nombre de fois où il est
rejeté. X suit une loi binomiale de paramètre 4 et 0, 106 .
3. E (X) = 25 × 0, 05 = 1, 25 .
4. P (X ⩾ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 0, 95n .
□
P (G = 10) = P (X = 1) ≈ 0, 303 ;
□
P (G = 70) = P (X = 0) ≈ 0, 639 ;
□
P (G = −50) = 1 − P (G = 10) − P (G = 70) ≈ 0, 058 .
Avec la fonction TABLE de la calculatrice on obtient 0 ⩽ n ⩽ 13 .
5.
VARIABLES :
Entier : n
xi
P (G = x i )
−50
10
70
DEBUT
n←1
0, 058
0, 303
0, 639
tant que 1 − 0, 95n ⩽ 0, 5
faire
2. E (G) ≈ 44, 86 .
n ← n+1
fintantque
E
2
afficher(n-1)
. énoncé
FIN
1. On assimile le contrôle de qualité d'un produit fabriqué à une épreuve de Bernoulli de
paramètre 0, 05 .
E
On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre 0, 05 .
3
. énoncé
X compte le nombre de succès (nombre d'articles défectueux) donc X suit une loi bino-
1. On répète 200 fois de manière identique des épreuves de Bernoulli indépendantes de
miale de paramètres n et 0, 05 .
paramètre 0,78 , X suit la loi binomiale de paramètre 200 et 0, 78 .
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2. a = 144 et b = 167 . On en déduit I = [0, 72 ; 0, 837] .
3.
□
□
E
5
énoncé
.
p ]
Soit x ∈ 0 ; h et S (x) l'aire du rectangle inscrit.
(
)
S (x) = 2x h − x 2 = −2x 3 + 2hx
[ p ]
[ p ]
S est dérivable sur 0 ; h et pour tout x ∈ 0 ; h ,
Si f ∉ I on rejette l'hypothèse au seuil de 5 % ;
si f ∈ I on ne rejette pas l'hypothèse au seuil de 5 %.
[
S ′ (x) = −6x 2 + 2h .
4. 0, 71 ∉ I donc on rejette l'hypothèse au seuil de 5 %.
√
x
5. Si l'échantillon ne comporte que 100 femmes alors a = 70 et b = 86 . On en déduit
0
Sgn.
+
f ′ (x)
alors I = [0, 70 ; 0, 86] et f ∈ I . On ne peut donc plus rejeter l'hypothèse au seuil de 5 %.
f
E
4
0
. énoncé
1. f est dérivable sur I et pour tout x ∈ I ,
f ′ (x) =
(
)
2x (x − 3) − x 2 + 7
(x − 3)2
=
x 2 − 6x − 7
(x − 3)2
2
L= h.
3
.
2. ∆ = 64 , x 1 = −1 et x 2 = 7 .
x
Sgn.
f ′ (x)
3
+∞
7
−
0
+
Var.
f
14
3. Le minimum de f est 14 , il est atteint pour x = 7 .
4. D'après le tableau pour tout x > 3 , f (x) ⩾ 14 .
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√
h
3
0
√
Le rectangle est d'aire maximale lorsque x =
−
0
4
3h
Var.
p
h
h
3
h
, ses dimensions sont alors l = 2
3
√
h
et
3