Enoncés - Animath

O LYMPIADES F RANÇAISES DE M ATHÉMATIQUES
2011-2012
E NVOI N UMÉRO 2
À RENVOYER AU PLUS TARD LE LUNDI 5 DÉCEMBRE
C ONSIGNES POUR LES EXERCICES D ’ ENTRAÎNEMENT
- Les solutions des énoncés d’entraînement ne sont pas à rédiger et à renvoyer.
C ONSIGNES POUR LES EXERCICES À RENVOYER
- Les exercices doivent être cherchés de manière individuelle.
- Utiliser des feuilles différentes pour des exercices différents.
Éxercices à renvoyer
Arithmétique
Exercice 1
Trouver tous les nombres premiers p, q, r tels que 15p + 7pq + qr = pqr.
Exercice 2
Trouver tous les entiers n ≥ 0 pour lesquels 28 + 211 + 2n est le carré d’un entier.
Exercice 3
Trouver tous les couples ( a, b) de nombres entiers tels que a3 − b5 = ( a + b)2 dans les deux cas
suivants :
1) a et b sont deux nombres premiers.
2) a et b sont deux nombres entiers relatifs premiers entre eux.
Équations fonctionnelles
Exercice 4
Trouver toutes les applications f : R → R telles que pour tous x, y réels on ait
x ( f ( x ) + f (y)) = f ( x ) f ( x + y).
Exercice 5
Trouver toutes les applications f : R+∗ → R+∗ continues telles que pour tous réels x > 0 on
ait
f (x)
f ( f ( x )) = x
et
f ( x + 1) =
.
f (x) + 1
Exercice 6
Trouver toutes les applications f : R → R telles que pour tous x, y réels on ait
f ( x + y ) f ( x − y ) = f ( x 2 ) − f ( y2 ).
Énoncés d’entraînement
Arithmétique
Exercice 7
Montrer que l’équation x5 − y2 = 4 n’a pas de solution ( x, y) constituée de deux entiers.
Exercice 8
Trouver tous les nombres premiers p pour lesquels le système d’équations :
p + 1 = 2x2 ,
p2 + 1 = 2y2
admet une solution ( x, y), avec x et y entiers.
Exercice 9
On se donne 2011 chiffres, entre 0 et 9, parmi lesquels figurent au moins une fois les chiffres 1,
3, 7 et 9. Montrer qu’au moins un nombre écrit, dans le système décimal, avec ces 2011 chiffres
est non premier.
Équations fonctionnelles
Exercice 10
Trouver toutes les applications f : R → R telles que pour tous x, y réels on ait
f ( f ( x )) + f ( f (y)) = 2y + f ( x − y).
Exercice 11
Trouver toutes les applications f : N∗ → N∗ telles que pour tout entier n ≥ 1 on ait :
f f (n) ( n ) = n + 1
où
f k (n) = f ◦ f ◦ ... ◦ f (n)
(k fois).
Exercice 12
Trouver toutes les applications f : N∗ → N∗ telles que pour tous entiers m, n ≥ 1 on ait
f (m2 + 2n2 ) = f (m)2 + 2 f (n)2 .
Exercice 13
Trouver toutes les applications f : R+∗ → R+∗ telles que pour tous entiers x, y > 0 on ait
f ( x ) f (y f ( x )) = f ( x + y).