TERMINALE S - Spécialité Chapitre 2 : les nombres premiers ________________________________________________________________ 1. Nombres premiers Définition et exemples Définition : • un entier naturel p est premier s’il possède exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même. Exemples: • • • • 0 n’est pas premier, il admet une infinité de diviseurs 1 n’est pas premier, il n’admet qu’un seul diviseur positif, 1. 2 est premier, il admet exactement deux diviseurs dans N : 1 et 2. C’est le seul entier pair premier ! 3est premier, il admet exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même Remarque : • Il ne faut pas confondre nombre premier et nombres premiers entre eux ! Reconnaître un nombre premier Théorème : • Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Alors o Ou bien n admet au moins un diviseur premier o Ou bien si n n’est divisible par aucun entier p premier tel que 2 ≤ p ≤ n, alors n est premier. Vocabulaire : • Vérifier si un entier est premier ou pas se dit tester la primalité de cet entier Infinité des nombres premiers Propriété : • Il existe une infinité de nombres premiers. Démonstration (dite par l’absurde) Supposons que l’ensemble des nombres premiers est fin On a p1, p2, p3, p4,…, pn Considérons le nombre m = p1 × p2 × p3 × p4 ×…× × pn + 1 Cet entier est supérieur ou égal à 2 donc il admet au moins un diviseur premier pi , de l’ensemble des nombres premiers : p1, p2, p3, p4,…, pn. Cet entier pi divise m et p1 × p2 × p3 × p4 ×…× × pn donc leur différence m - p1 × p2 × p3 × p4 ×…× × pn qui est égale à 1. Autrement dit pi divise 1, ce qui est impossible, sinon pi est 1 et donc non premier. La supposition de départ était donc fausse, par conséquent c’est sa négation qui est vraie, à savoir, il existe une infinité de nombre premiers ! 2. Décomposition en facteurs premiers Propriété • Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 est premier ou est un produit de nombres premiers _________________________________________________________________________________________________________________ touchap2spe& 1/2 TERMINALE S - Spécialité Chapitre 2 : les nombres premiers ________________________________________________________________ Démonstration : Si n est premier, la propriété est établie. Sinon le plus petit diviseur p de n est premier (voir théorème) et il existe un entier k tel que n = p × k avec k < n. Si k est premier, la propriété est établie (produit de nombres premiers) Sinon, comme ci-dessus, on reitère le procédé et de proche en proche on obtient une suite d’entiers de plus en plus petits, jusqu’à 1 et on a n = p × p’ × p’’ × … p(n) où les p sont des nombres premiers NB : les nombres premiers du produit ne sont pas nécessairement distincts et on peut les regrouper ainsi : n = p1 α1 × p2α2 × p3 α3 × p4 ×…× × pn On dit que cette écriture est la décomposition de n en un produit de Exemple : 56 56 2 28 2 14 2 7 7 1 56 = 23 × 7 Unicité (Propriété admise) • La décomposition en un produit de facteurs premiers de tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est unique à l’ordre des facteurs près. 3. Application à la recherche des diviseurs Théorème : Si un entier naturel n, supérieur ou égal à 2, se décompose en un produit de facteurs premiers sous la forme n = p1α1 p2α2 p3α3… pkαk ALORS les diviseurs positifs de n sont de la forme p1β1 p2β2 p3β3… pkβk avec 0 ≤ βi ≤ α i pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ k. Exemple : les diviseurs de 60 60 = 2² × 3 × 5 = 2² × 31 × 51, alors tous les diviseurs de 60 sont de la forme 2α1 × 3α2 × 5α3 avec α1 = 0, 1 ou 2 et α2 = 0, 1 et α3 = 0, 1 D’où l’arbre 5° 1 3° 5 5 2° 5° 3 3 5 15 5° 2 3° 5 10 2 5° 6 3 5 30 5° 4 3° 5 20 2² 5° 12 3 5 60 Si un entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en p1α1 p2α2 p3α3… pkαk alors il a : (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1)… (αk + 1) diviseurs positifs. Ici 60 a (2+1)(1+1)(1+1) = 12 diviseurs _________________________________________________________________________________________________________________ touchap2spe& 2/2