Exercices de révision de trigonométrie : correctif

4ème
Trigonométrie
Exercices de révision de trigonométrie : correctif
Exercice 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
sin 27° +
cos -27° cos 250° tg 254° +
sin 315° cos (-100°) -
𝜋
7. cos(-181°) 8. sin(-100°) 9. sin 𝜋 = 0
10. sin 2𝜋 = 0
𝜋
11. cos 3 +
12. tg (-4 ) 13. cotg 249° +
14. tg(-325°) +
15. cos (-91°) 16. cos (89°)+
Exercice 2
Calcule, en passant par un angle du premier quadrant (et en le notant), les nombres
trigonométriques suivants, aide-toi du cercle trigonométrique.
7) cos 150°= - cos(30°) =
1) sin 150°= sin 30°= 1/2
− √3
2
2) cos 300°= cos 60°=1/2
8) cos (-300°) = cos 60°= 0,5
3) cotg 330° : tg 330°= - tg (360°-330°)
9) Attention erreur énoncé cotg 315° :
tg 315°= - tg (45°)= -1
= – tg (30°) = −
-
3
√3
√3
3
𝑑𝑜𝑛𝑐 cotg 210° =
= −√3
10) sin (-60°)= - sin 60°= -
4) cos (-60°)= cos (60°)= 1/2
5) tg
7𝜋
4
11) tg −
= −𝑡𝑔 (45°) = −1
2𝜋
3
√3
2
= tg (-60°) = - tg (60°) = - √3
12) cos (-2𝜋) = 1
6) sin (-2𝜋) = sin 0°= 0
Question 3
L’angle au sommet d’un triangle isocèle vaut 12°. Sa base a 6 cm de longueur.
Détermine (avec 3 décimales) :
a) la hauteur de ce triangle
b) le périmètre de ce triangle
12°
6°
 h
6cm

a
a) tg6° = 3/h  h = 3/tg6° = 28,543cm
b) sin6° = 3/a  a = 3/sin6° = 28,7 cm
Le périmètre est de 63,4 cm
3cm
1
4ème
Trigonométrie
Question 4
x
Si b=3cm et c=4cm, calcule la longueur de a et l’amplitude des
2 angles (non droits) du triangle.
a
b
y
c
𝑎 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 𝑐𝑚
cos x = A/H=3/5 donc x=arccos 3/5= 53,13°
cos y= A/H=4/5 donc y=arccos 4/5 = 36,87°
Vérification : 90°+53,13°+36,87°=180° (somme des angles intérieurs d’un triangle)
Question 5

et que l’angle x est compris entre 180° et 360°,

à quel quadrant appartient cet angle x ? au quatrième quadrant

que vaut cotg x ?

calcule, sans machine, cos x

sinx 
cosx
tg x =

=
 sinx =
cosx



cos²x

or sin²x + cos²x = 1 
+ cos²x = 1  cos²x =



 
 cosx =
=
=0.780869 valeur positive car l’angle est du quatrième


quadrant
calcule, avec la machine, l’angle x et exprime-le degrés, minutes, secondes
 
cos x=
donc x=arccos 0,780869= 38,65979°, comme quatrième quadrant 
38,659790777° et en degrés minutes et secondes = -38° (0,65.60) (0,587446.60)=
x = -38°39’35’’ ou x=321°20’25’’
Si l’on te dit que tg x =
a)
b)
c)
d)
Question 6
x
Si b=5cm et c=10cm, calcule la longueur de a et l’amplitude des
2 angles (non droits) du triangle.
a
b
c
y
𝑎 = √52 + 102 = √125 = 5√5 𝑐𝑚
cos x = A/H=5/5√5 donc x=arccos 1/√5 = 63,43°
cos y= A/H=10/5√5 donc y=arccos 2/√5 = 26,57°
Vérification : 90°+63,43°+26,57°=180° (somme des angles intérieurs d’un triangle)
2
4ème
Trigonométrie
Question 7
1. Exprime en DMS (degrés sexagésimaux), l’amplitude


d’un angle de 37,28° je fais 37 ° puis 0.28*60= 16,8 donc 16 minutes puis 0.8*60=48
secondes donc réponse 37°16’48’’
d’un angle de 67,73° je fais 67° puis 0,73*60=43,8 donc 46 minutes puis 0.8*60 = 48
secondes donc réponse 67°43’48’’
2. Exprime en degré décimaux l’amplitude des angles suivants :
17
37

43°17’37’’ = ( 43 + 60 + 60.60) = 𝟒𝟑, 𝟐𝟗𝟑𝟔𝟏𝟏𝟏°

73°45’19’’ = ( 73 + 60 + 60.60) = 𝟕𝟑, 𝟕𝟓𝟓𝟐𝟕𝟕𝟕𝟖°
45
19
Question 8
Un marin voit un phare sous un angle de 2° lorsqu’il en est éloigné de 600 mètres. Note : on néglige
la taille du marin. Fais un schéma.
a. quelle est la hauteur du phare ?
b. de quelle distance le marin doit-il s’éloigner du phare pour qu’il observe celui-ci
sous un angle de 1°?
h
1°
x
a) tg2° =
2°
h

600m
d’où h = 600.tg2° = 20,952 m La hauteur du phare est de
20,95 mètres
h
h
d’où 600+x =
et x = 600,366 m Le marin doit se placer
x
tg
à 1200 mètres du phare et donc de déplacer encore de 600mètres.
b) tg1° =
Question 9
1. Cite un angle en radian pour lequel la tangente n’existe pas. Par exemple
 
; ,…
 
2. Quelle est la plus grande valeur prise par le cosinus d’un angle ? 1
3. Cite un angle en degré pour lequel la tangente est très, très grande 89°,269°,…
4. Quelle est la relation entre la tangente d’un angle et la cotangente du même angle ?

tgx =
, la tangente et la cotangente sont inverses l’une de l’autre
cotgx
5. Deux angles complémentaires (angles dont la somme vaut 90°) sont tels que le sinus de l’un
vaut le cosinus de l’autre. Vrai ou faux ? Justifie
Vrai ! sin60° = cos30° par exemple
De manière générale, sinx = cos(90°-x)
3
4ème
Trigonométrie
Question 10

et que l’angle x est compris entre 180° et 360°,

à quel quadrant appartient cet angle x ? au quatrième quadrant

que vaut cotg x ?

calcule, sans machine, cos x

sinx 
cosx
tg x =

=
 sinx =
cosx



cos²x

or sin²x + cos²x = 1 
+ cos²x = 1  cos²x =



 cosx =
valeur positive car l’angle est du quatrième quadrant

calcule, avec la machine, l’angle x et exprime-le degrés, minutes, secondes
x = -53°7’48’’ ou 306°52’12’’
1. Si l’on te dit que tg x =
a.
b.
c.
d.
2. Un secteur de rayon 7 cm a un angle au centre de 111°. Détermine l’aire du secteur.
𝟏
Aire du secteur = 𝟐 𝒂𝑹𝟐 où a doit être exprimé en radian
°.
= 1,9373154 radian
°
𝟏
Aire= 𝟐 𝟏, 𝟗𝟑𝟕𝟑𝟏𝟓𝟒 ∗ 𝟕𝟐 =47,46cm2
a = 111° =
L’aire du secteur est de 47,46 cm 2
Question 11
Simplifie les expressions suivantes (astuce : repasse par l’angle x)
1. cos(-x) + sin(90°-x) + cos(180° + x) = cos x + cos x – cos x= cos x
2. cos (-x)+3cos(180°+x)-2cos(180°-x) = cos x – 3 cos x + 2cos x = 0
3. (  +  )sin x.cos x=
tgx cotgx
1
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
(𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = ( 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 =
cos2 𝑥+sin2 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
. 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
4. cos (90°+x)= - sin x
5. tg (180°+x) . tg (180°-x)= tg x (- tg x)= - tg2x
6. sin (x-180°)= - sin x
7. sin (180°-x) – sin (180°+x) = sin x – (- sin x) = sin x + sin x = 2 sin x
4
4ème
Trigonométrie
Question 12
Simplifie les expressions suivantes (astuce : utilise les formules que tu connais) :
1. (1-cosx)(1+cosx)= 1 - cos 2 x = sin2 a
sin2 𝑥
2. 𝐴𝑡𝑡𝑒𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 é𝑛𝑜𝑛𝑐é cos 2 𝑥(1 + 𝑡𝑔2 𝑥 ) = cos 2 𝑥 (1 + cos2 𝑥) = cos 2 𝑥 +
sin2 𝑥
cos 2 𝑥 . cos2 𝑥 = cos 2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1
3.
4.
sinx
cosx
(tgx + cotgx) =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 1+𝑠𝑖𝑛𝑥 =
1−𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
(
+ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 (
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)+𝑐𝑜𝑠𝑥(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)
(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)
=
sin2 𝑥+cos2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
1
) = cos2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
1−sin2 𝑥
2𝑐𝑜𝑠𝑥
2
= cos2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
5. sin4 𝑥 − cos 4 𝑥 = (sin2 𝑥 − cos 2 𝑥)(sin2 𝑥 + cos 2 𝑥) = sin2 𝑥 − cos 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
6. (1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 )(1 − cos 2 𝑥 ) = (1 + sin2 𝑥 )(1 − cos 2 𝑥) =
1
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
7. (𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = ( 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝑥
8. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑡𝑔𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
9.
1
1
𝑠𝑖𝑛𝑥
− 𝑡𝑔𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
cos2 𝑥+sin2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1−sin2
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
sin2 𝑥+cos2 𝑥
sin2 𝑥
cos2 𝑥+sin2 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
(sin2 𝑥) = 1
. 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
1
= 𝑐𝑜𝑠𝑥
cos2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥
Question 13 :
Complète le tableau suivant :
∝ en °
En
radian
𝑐𝑜𝑠 ∝
0°
0 rad
1
𝑠𝑖𝑛 ∝
0
𝑡𝑔 ∝
0
30°
𝜋/6
45°
𝜋/4
60°
𝜋/3
90°
𝜋/2
√3
2
1
2
√3
3
√2
2
√2
2
1
2
√3
2
1
−√2
2
√2
2
1
√3
ND
-1
0
135°
3𝜋/4
180°
𝜋
-1
0
0
225°
5𝜋/4
−√2
2
−√2
2
1
270°
3𝜋/2
0
-1
ND
315°
7𝜋/4
360°
2𝜋
√2
2
−√2
2
0
-1
0
1
5