Système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues. I. Définitions. y est de la forme ax + by = c Définition 1 : Une équation du 1er degré à 2 inconnues x et où a, b et c sont des nombres donnés. Exemple : 2x − 3y = 5 est une équation à 2 inconnues x et y. Définition 2 : Un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues x et a1 x + b1 y = c 1 (E1) (E2) a2 x + b2 y = c2 où a1 , b1 , c1 et a2 , b2 , c2 sont des nombres donnés. Exemple : 2x − 3y = 5 x − 2y = 1 Définition 3 : Résoudre un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues x et y, c'est déterminer le couple de valeurs (x ; y) pour lequel les 2 équations sont vérifiées simultanément. Exemples : Le couple (7 ; 3) est solution du système précédent car : (E1) (E2) y est de la forme : est un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues x et • (7 ; 3) est solution de la première équation (E1) : …………………………………………………………………………………………… • (7 ; 3) est solution de la deuxième équation (E2) : …………………………………………………………………………………………… En revanche, le couple (1 ; − 1) n'est pas solution du système précédent car : • certes (1 ; − 1) est solution de la première équation (E1) : …………………………………………………………………………………………… • mais (1 ; − 1) n'est pas solution de la deuxième équation (E2) : …………………………………………………………………………………………… Remarque : Dans un couple de nombres (x ; y) l'ordre des termes est important ! Par exemple le couple (1 ; − 1) est solution de (E1) mais le couple (− 1 ; 1) ne l'est pas car : …………………………………………………………………………………………… 1 y II. Méthodes de résolution. Nous allons étudier 4 méthodes de résolution d'un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues x et y. 2x − 3y = 5 (E1) Reprenons l'exemple précédent : x − 2 y = 1 (E2) 1. Résolution par COMBINAISON LINEAIRE. • Il s'agit de combiner les 2 équations (comportant chacune 2 inconnues) de manière à obtenir une seule équation à une seule inconnue (x par exemple) que l'on résout. • Puis en combinant différemment les deux équations, on obtient une nouvelle équation unique avec une seule inconnue (y par exemple) que l'on résout. Les 2 inconnues sont maintenant identifiées ! Résolution : 2x − 3y = 5 2x − 2y = 1 2x − 3y = 5 2x − 2y = 1 (E1) (E2) …… x − …… y = …… + …… x − …… y = …… …… x − …… y = …… …… × (E1) …… × (E2) …… x − …… y = …… + …… x − …… y = …… …… (E1) + …… (E2) …… x − …… y = …… … …… x = …… …… x − (E1) (E2) …… × (E1) …… × (E2) …… (E1) + …… (E2) … …… y = …… …… x − …… x = …… y = …… Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) 2. Résolution par SUBSTITUTION. (substitution = remplacement) • Il s'agit, dans un premier temps, d'exprimer une inconnue en fonction de l'autre inconnue à partir d'une des 2 équations. On tâchera de choisir l'équation où cette action est la plus simple à réaliser. • Ensuite, on substitue (= on remplace) cette inconnue dans l'équation que l'on n'a pas encore utilisée et on obtient une nouvelle équation unique que l'on résout. Une première inconnue est maintenant identifiée. • Puis, on remplace la valeur obtenue dans la formule de substitution et on obtient la valeur de la seconde inconnue. Les 2 inconnues sont maintenant identifiées ! Résolution : L'équation ( ……… ) semble la plus simple à utiliser : j'exprime alors …… en fonction de …… : …………………………………………… = …………………………………………… …………………………………………… = …………………………………………… …………………………………………… = …………………………………………… Je remplace …… par son expression dans l'équation ( ……… ) et j'obtiens : …………………………………………… = 2 …………………………………………… Je développe puis je réduis : …………………………………………… = …………………………………………… …………………………………………… = …………………………………………… …………………………………………… = …………………………………………… …………………………………………… = …………………………………………… …………………………………………… = …………………………………………… Et je résous : Je remplace …… dans la formule de substitution par la valeur obtenue ci-dessus. Ainsi j'obtiens la valeur de …… : ………………………………………………………………………………………………… Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) . 3. Résolution par METHODE GRAPHIQUE. • Il s'agit, dans un premier temps, pour chacune des 2 équations, d'exprimer • On obtient alors deux expressions de la forme : y en fonction de x . y = ax + b . Dans les deux cas y est une fonction ………… de x. • Grâce aux différents chapitres sur les fonctions, nous savons tracer les droites représentant ces 2 fonctions. • Le couple de coordonnées du point d'intersection de ces deux droites est le couple solution du système d'équations. Les 2 inconnues sont maintenant identifiées ! Résolution : J'exprime y en fonction de x dans (E2) : dans (E1) : 2x − 3y = 5 x − 2y = 1 2x − 3y = 5 …………………………….. x − 2y = ………………………………… 2x − 3y = ………………………………… x − 2y = ………………………………… c'est l'équation de la droite (D1) c'est l'équation de la droite (D2) Je calcule des coordonnées de points pour tracer les 2 droites dans un repère pour la droite (D1) : pour la droite (D2) : A B C x x 3y = …………….. 3y = …………….. 3 D Je trace les deux droites dans le repère y 1 O 1 x Je lis les coordonnées du points d'intersection des droites (D1) et (D2) et je conclus : Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) . 4. Résolution grâce à la CALCULATRICE. Séquence de touches sur la calculatrice MODE • Passer en mode "EQUATION" • Choisir le type d'équations : an X + bn Y = cn 3 1 (E1) 2 EXE (− −) 3 EXE 5 EXE (E2) 1 EXE (− −) 2 EXE 1 EXE • Rentrer les valeurs des coefficients • J'obtiens la valeur de l'inconnue X EXE • J'obtiens la valeur de l'inconnue Y EXE Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) . Remarque : pour revenir au mode classique d'utilisation de la calculatrice, taper 4 MODE 1