SYSTEME D’EQUATIONS I Système de deux équations à deux inconnues Définitions ⎧ ax + by = c Un système de deux équations, du premier degré, à deux inconnues x et y est de la forme ⎨ où les ⎩a ' x + b ' y = c ' lettres a, b, c, a’, b’, et c’ désignent des nombres fixés. Une solution d’un tel système est un couple (x ; y) pour lequel les deux équations sont vérifiées simultanément. Résoudre un système, c’est trouver tous les couples solutions. ⎧2 x + 3 y = 7 (1) Exemple : ⎨ est un système de deux équations à deux inconnues x et y. ⎩ − 3x + y= 6 (2) Le couple (−1 ; 3) est solution du système. En effet : 2× (−1) + 3×3 = −2 + 9 = 7 et −3× (−1) + 3 = 3 + 3 = 6. Mais le couple (5 ; −1) n’est pas solution du système, car une des égalités est fausse. En effet : 2×5 + 3× (−1) = 10 − 3 = 7 et −3×5 + (−1)= −15 −1 = −16 ≠ 6. II Résolution d’un système 1) Par substitution On utilise de préférence cette méthode lorsque l’un des coefficients devant x ou y vaut 1 ou −1. Exemple : on va résoudre le système suivant par substitution : ⎧ x + 3 y = 10 (1) (S) ⎨ ⎩3x +5 y=18 (2) On exprime l’inconnue x en fonction de y dans l’équation (1) : (S) équivaut à : ⎧ x = 10 − 3 y (1' ) ⎨ ⎩3x + 5 y = 18 (2) On remplace x par 10 −3y dans l’équation (2). ⎧ x = 10-3 y (1' ) (S) équivaut à : ⎨ ⎩3( 10-3 y) + 5 y = 18 (2' ) On va résoudre l’équation (2’) 3(10 − 3y) + 5y = 18 on développe, en utilisant la distributivité simple. 30 − 9y + 5y = 18 on réduit 30 −4y = 18 30 −4y −30 = 18 − 30 on soustrait 30 aux deux membres −4y = −12 −4y −12 = −4 −4 −12 y= =3 −4 on divise par −4 les deux membres Donc y vaut 3. Pour trouver x, on remplace y par 3 dans l’équation (1’) : x = 10 − 3×3 = 10 −9 = 1. Conclusion : la solution du système (S) est le couple (1 ; 3). 2) Par combinaison Principe : On multiplie les deux équations par des nombres convenablement choisis de manière à ce que l’une des inconnues disparaisse par addition membre à membre. ⎪⎧ 05x − 02y = 04 (× 3) ⎩⎪02x + 03y = 13 (× 2) Exemple : on résout le système (S) suivant : ⎨ ⎪⎧ ⎪⎧15x − 06y = 12 3×(5x −02y) = 3×4 c’est à dire à ⎨04x + 06y = 26 ⎩⎪ ⎩⎪2×(2x + 3y ) = 2×13 (S) équivaut à⎨ On garde la première équation et on additionne les deux équations membre à membre ⎧⎪15x (S) équivaut à ⎨ ⎪⎩ − 06y = 12 19x = 38 On résout l’équation 19x = 38, on trouve x = 2. Pour trouver la valeur de y, on remplace x par 2 dans l’équation 15x − 6y = 12. 30 − 6y = 12 30 −6y − 30 = 12 − 30 − 6y = −18 y= −18 =3 −3 Le couple solution du système (S) est (2 ; 3). 3) Résolution par la méthode graphique. Principe : On associe aux deux équations du système deux équations de deux droites. Ces droites sont les représentations graphiques de deux fonctions affines. Le problème revient alors à chercher, s’il existe, le point d’intersection des deux droites. Les coordonnées de ce point sont la solution du système. Intérêts : Cela permet de contrôler les résultats obtenus par le calcul et d’anticiper l’existence ou non de solution.