Chap 14 Système de deux équations à deux inconnues I Définition : Définition : Un système de deux équations à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire de la " ax + by = c forme : # avec a,b,c,a’,b’,c’ des nombres constants. $ a' x + b' y = c' Résoudre un tel système revient à chercher (s’ils existent) tous les couples qui sont solutions des deux équations. ! Exemple : #2x " 4 y = 4 est un système de deux équations à deux inconnues. $ % x " 3y = 6 Le couple (4 ;1) est –il solution ? ! ! D’une part : 2 " 4 # 4 "1 =8#4 =4 D’autre part : 4 " 3 #1 =4"3 =1$ 6 #2x " 4 y = 4 Conclusion : Le couple (4 ;1) n’est pas une solution du système $ % x " 3y = 6 ! II Résolution algébrique 1°) Méthode par substitution ! Dans la méthode par substitution, on exprime une inconnue en fonction de l’autre à l’aide d’une des deux équations, puis on reporte cette valeur dans l’équation restante de manière à obtenir une équation du premier degré à une inconnue. Exemple : Résoudre le système suivant : "2x + 3y = 167 # $ x + 2y = 96 (1) (2) On exprime x en fonction de y à l'aide de l'équation (2). x + 2y = 96 x = 96 % 2y On reporte cette valeur dans l'équation (1) 2(96 - 2y ) + 3y = 167 192 % 4 y + 3y = 167 %y = 167 %192 %y = 25 y = 25 Or : x = 96 " 2y D'où : x = 96 " 2 # 25 x = 96 " 50 x = 46 Vérification : 2 # 46 + 3 # 25 = 92 + 75 = 167 46 + 2 # 25 = 46 + 50 = 96 Le système a pour solution (46;25) ! Remarque : La méthode par substitution est plutôt utilisée lorsqu’une inconnue peut s’exprimer facilement en fonction de l’autre. 2°) Méthode par combinaison (ou addition). Dans la méthode par combinaison, on multiplie les membres de l’une ou des deux équations par des nombres convenablement choisis de manière à ce que l’une des inconnues disparaisse par addition membre à membre. On obtient ainsi une équation du premier degré à une inconnue. Exemple : Résoudre le système suivant : # 3x + 4 y = 27 $ % "5x + 6y = 107 (on multplie par 5) (on multiplie par 3) #15x + 20y = 135 $ % "15x +18y = 321 On additionne membre à membre. 15x + 20y -15x + 18y = 135 + 321 38y = 456 456 y= 38 y = 12 ! On remplace y par 12 dans l'équation (1) 3x + 4 " 12 = 27 3x + 48 = 27 3x = 27 # 48 3x = #21 #21 3 x = -7 x= Le système a pour solution (-7; 12) III Résolution de problèmes Pour résoudre un problème dans lequel figure deux inconnues , on suit les quatre étapes suivantes : 1. Choix des inconnues 2. Mise en système d’équations 3. Résolution du système 4. Réponses au problème. Exercice résolu : Soit x le prix d’un triangle en verre et y le prix d’un triangle en métal. " 4 x + 4 y = 11 (1) # $6x + 2y = 9,1 (2) on multiplie par (-2) " 4 x + 4 y = 11 # $%12x % 4 y = %18,2 ! On additionne membre à membre : 4 x + 4 y -12x - 4 y = 11"18,2 4x -12x = -7,2 -8x = -7,2 -7,2 x= -8 x = 0,9 On remplace x par 0,9 dans l'équation (1) 4 # 0,9 + 4 y = 11 3,6 + 4 y = 11 4 y = 11" 3,6 4 x = 7,4 7,4 x= 4 x = 1,85 Un triangle en verre coûte 0,9 ! et un triangle en métal coûte 1,85!. Calculons le prix du bijou n°3 5 " 0,9 + 3 "1,85 = 4,5 + 5,55 = 10,05 Le bijou n°3 coûte 10,05! ! IV Interprétation graphique Lorsque l'on résout un système de deux équations à deux inconnues x et y par le calcul alors si le système admet un seul couple solution (x ;y) , ce dernier correspond graphiquement aux coordonnées du point d'intersection de deux droites (d) et (d’). Exemple : Résoudre graphiquement { x+2y=4 { 2x-y= 3 Lorsque l'on résout ce système par le calcul, on obtient comme solution le couple (2 ;1). Etape 1 : Pour la résolution graphique, il faut mettre les deux équations sous forme réduite, puis tracer les deux droites D et D' correspondantes. (d) : x+2y= 4 donc (d) : y=-(1/2)x+2 De même (d’) : 2x-y=3 donc (d)' :y=2x-3 Etape 2 : On trace alors la droite (d) en choisissant deux points : Si x=0 alors y=2 et si x=4 alors y=0 De même pour (d' ): Si x=0 alors y=-3 et si x=3 alors y=3 Conclusion : L'intersection de ces deux droites est la solution du système qui ici doit être le couple (2 ;1)