Corrigé

Anneaux et corps
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
24 février 2016
Quiz 1
Question 1.
Existe-t-il des anneaux avec 0 = 1 ? Si oui, lesquels ?
Solution.
L’ensemble A := {0} muni de l’addition et de la multiplication trivial est un
anneau dans lequel 0 = 1.
Si A est un anneau dans lequel 0 = 1, alors, d’après l’Exercice 1., on a
a = 1.a = 0.a = 0
pour tout a ∈ A. Par conséquent A = {0}.
Question 2.
Soient A, B deux anneaux, et f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux.
Montrer que f (a−1 ) = f (a)−1 pour tout a ∈ A∗ .
Solution.
Comme f est un homomorphisme d’anneaux, on a f (1) = 1. On a donc
1 = f a.a−1 = f (a).f a−1
et
1 = f a−1 .a = f a−1 .f (a).
Ainsi, on a bien f (a−1 ) = f (a)−1 .
Anneaux et corps
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
24 février 2016
Série 1
Exercice 1. (les résultats de cet exercice sont à retenir).
Soit A un anneau.
(1) Montrer que 0.a = a.0 = 0 pour tout a ∈ A.
(2) Montrer que l’élément neutre pour la multiplication dans A est unique.
(3) Montrer que (−1).a = a.(−1) = −a pour tout a ∈ A.
(4) Montrer que (−a).b = a.(−b) = −(a.b) pour tous a, b ∈ A.
Solution.
(1) Soit a ∈ A. En utilisant la définition de 0, et la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, on constate que
0.a + 0.a = (0 + 0).a = 0.a.
On en déduit que 0.a = 0. De même, comme
a.0 + a.0 = a.(0 + 0) = a.0,
on a a.0 = 0.
(2) Si 1 et 10 sont deux éléments neutres pour la multiplication dans A, alors
on a
1 = 1.10 = 10 .
(3) Soit a ∈ A. D’après la première question, on a
0 = 0.a = (1 + (−1)).a = 1.a + (−1).a = a + (−1).a
et
0 = a.0 = a.(1 + (−1)) = a.1 + a.(−1) = a + a.(−1).
Donc (−1).a = a.(−1) = −a.
(4) D’après la question précédente, on a
−(a.b) = (−1).(a.b) = (−1.a).b = (−a).b
et
−(a.b) = (a.b).(−1) = a.(b.(−1)) = a.(−b).
3
Exercice 2. Soit A un anneaux tel que A soit cyclique en tant que groupe
additif. Soit a ∈ A un de ses générateurs.
(1) Montrer que a ∈ A∗ .
(2) Montrer que la multiplication de A est déterminé par le carré de a (dans
le groupe multiplicatif A∗ ).
(3) En déduire que que si A est de cardinal n avec groupe additif cyclique,
alors A est isomorphe à Z/nZ.
(4) Donner un exemple d’anneau de cardinal 4 avec groupe additif isomorphe
à Z/2Z × Z/2Z.
Solution.
(1) Par définition d’un groupe cyclique, il existe n ∈ N tel que na = 1 ou −1.
Par distributivité, on a donc
!
n
n
n
X
X
X
±1 = na =
a=
1.a =
1 a.
i=1
i=1
i=1
Ainsi a est inversible pour la multiplication, d’inverse ±n1 = (±1).
n
X
1.
i=1
(2) Soit x, y ∈ A. Par définition d’un groupe cyclique, il existe n, m ≥ 1 et
n
m
X
X
x , y ∈ {−1; 1} tels que x = (x n)a =
x a et y = (y m)a =
y a.
i=1
i=1
On a alors par distributivité
! m
!
n
n X
m
X
X
X
xy =
x a
y a =
x y a2 .
i=1
i=1
i=1 j=1
Ainsi pour calculer le produit xy, il suffit de connaitre le carré a2 de a
(ainsi que l’addition dans A et le passage à l’opposé dans A).
(3) Soit k tel que 1 = ka. Si (k, n) 6= 1, alors il existe d ∈ [1; n − 1] tel que
dk ∈ nZ. Dans ce cas, on a
da = (da).1 = (da).(ka) = (dk)a2 = 0,
ce qui n’est pas possible puisque a est d’ordre n et 1 ≤ d ≤ n−1. Par suite
on a (k, n) = 1. En particulier, il existe une relation de Bézout uk +vn = 1
avec u, v ∈ Z, et on a
u1 = u(ka) = (uk)a = (uk)a + (vn)a = (uk + vn)a = a.
On en déduit que 1 est un générateur du groupe cyclique (A, +). Or 12 = 1,
donc, d’après la question précédente, l’application
m
X
f : Z/nZ → A, [m]n 7→ m1 :=
1
i=1
4
est un isomorphisme d’anneau entre Z/nZ et A.
(4) On considère les trois lois de composition internes sur Z/2Z × Z/2Z suivantes :
([a]2 , [b]2 ) + ([c]2 , [d]2 ) := ([a + c]2 , [b + d]2 )
([a]2 , [b]2 ) × ([c]2 , [d]2 ) := ([ac]2 , [bd]2 )
([a]2 , [b]2 ) ? ([c]2 , [d]2 ) := ([ac + bd]2 , [ad + bc]2 ) .
On peut vérifier que (Z/2Z × Z/2Z, +, ×) et (Z/2Z × Z/2Z, +, ?) sont des
anneaux.
Définition. Soit A un anneau commutatif et a ∈ A − {0}. On dit que a est un
diviseur de zéro si ∃b ∈ A − {0} tels que a.b = 0.
Exercice 3. Quels sont les diviseurs de zéro dans Z/mZ ?
Solution.
Soit k ∈ [1; m − 1]. On pose d = (k, m). Soit k 0 ∈ [1; m] tel que dk 0 = m. Alors
on a [k]m [k 0 ]m = [0]m . En particulier si 1 < d ≤ m, alors [k]m est un diviseur de
zéro.
Si (k, m) = d = 1, alors il existe une relation de Bézout uk + vm = 1 avec
u, v ∈ Z. Dans ce cas, si l ∈ Z est tel que [k]m [l]m = [0]m , alors on a
[0]m = [u]m [0]m = [u]m [k]m [l]m = [l]m .
Ainsi [k]m est un diviseur de zéro si et seulement si (k, m) 6= 1.
Exercice 4. Soit A le sous-ensemble de M2 (R) formé des matrices triangulaires
supérieures.
(1) Le sous-ensemble A est-il un sous-anneau de M2 (R) ?
(2) Le sous-ensemble A est-il commutatif ?
Solution.
(1) Oui. En effet A est non vide puisqu’il contient
0 0
0 0
. De plus A est
stable par addition (et (A, +) est aélien)
0 0 0 0 a b
a b
a + a0 b + b 0
a b
a b
+
=
=
+
,
0 c
0 c0
0
c + c0
0 c0
0 c
par passage à l’opposé
a b
−a −b
−
=
,
0 c
0 −c
5
et par multiplication
0 0 0
aa ab0 + bc0
a b
a b
.
=
0
cc0
0 c0
0 c
Ainsi, A est bien un sous-anneau de M2 (R).
(2) L’anneau A n’est pas commutatif puisque l’on a
1 1
1 1
1 2
=
0 2
0 1
0 2
et
1 1
1 1
1 3
1 2
=
6=
.
0 1
0 2
0 2
0 2
Exercice 5. Soit p un nombre premier. Donner un exemple d’un p-sous-groupe
de Sylow de GL2 (Z/pZ). Justifier.
Solution. Une matrice ( ac db ) ∈ M2 (Z/pZ) est inversible si et seulement si ses
colonnes sont linéairement indépendantes sur Z/pZ (la preuve est exactement la
même que pour R ou C). Donc on a p2 − 1 = #((Z/pZ)2 − {0}) possibilités pour
la première colonne x := [ ac ] et, étant donné x, on a p2 −p = #((Z/pZ)2 −hxiZ/pZ )
possibilités pour la deuxième colonne y := [ db ]. Ainsi,
#GL2 (Z/pZ) = (p2 − 1)(p2 − p) = p(p − 1)2 (p + 1).
On a donc que p divise #GL2 (Z/pZ) et p2 ne le divise pas. En effet (p−1)2 (p+1) ≡
1 mod p. Alors un p-sous-groupe de Sylow (qui existe par le premier théorème de
Sylow) a cardinal p.
On peut prendre par example
H := {( 10 a1 ) | a ∈ Z/pZ} ,
qui est un sous-groupe de GL2 (Z/pZ) (en effet
1 a −1 = ( 1 −a ) ∈ H)
( 10 01 ) ∈ H, ( 10 a1 ) ( 10 1b ) = ( 10 a+b
0 1
1 ) ∈ H et ( 0 1 )
de cardinal p = #Z/pZ et il est donc un p-sous-groupe de Sylow de GL2 (Z/pZ).