cosinus - corriges
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TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigé 01 OP est l’hypoténuse. . OQ est le côté adjacent à l’angle O . QP est le côté adjacent à l’angle P Corrigé 02 Dans un triangle ABC rectangle en A = cos B Corrigé 03 cos 24 = 0,91 cos 36 = 0,81 cos 48 = 0,67 cos 60 = 0,50 cos 72 = 0,31 cos 84 = 0,10 Corrigé 04 JK IJ cos 62° = 3,8 / IJ IJ = 3,8 / cos 62° IJ = 8,09 cm L’hypoténuse mesure 8,1 cm. cos Jመ = Corrigé 05 OQ OP cos O = 4,1 / 5,8 = cos O = 45° O mesure 45°. L’angle O Corrigé 06 = XY / YZ Cos Y Cos 50 = XY / 6,2 XY = 6,2 x cos 50 XY = 4 côté adjacent à lᇱ angle B hypoténuse Corrigés 1/8 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés Corrigé 07 cos S = ST / SR cos S = 6 / 9 cos S= 2 / 3 S = 48° Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180°. + S+ T = 180 R + 48 + 90 = 180 R = 42° R Corrigé 08 1/ AC = 7,5 cm 2/ DEF = 64,6 ° Corrigé 20 Lorsque l’avion survole la ville, il est à sa perpendiculaire. Dans le triangle rectangle formé par le point de décollage, la ville et le point d’altitude, on a : = DV / DA cos D DA = DV / cos D DA = 3,5 cos 40 DA = 4,6 km = 180 –D - V A = 180 - 40 - 90 A = 50 A = AV / DA cos A = AV / DA cos A AV = DA / cos A AV = 4,6 / cos 50 AV = 2,96 A la perpendiculaire de la ville, il se situe à 2,96 km d’altitude. 2/8 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigé 21 On a donc : AC = 4,5 BC = 0,8 D’après le théorème de Pythagore, on a dans le triangle ABC rectangle en B : AC² = AB² + BC² 4,5² = AB² + 50² AB² = 4,5² - 0,8² AB = 19,44 AB = 4,4 m Le haut de l’échelle se situe à 4,4 m. Si on recule l’échelle de 10 cm supplémentaires, on a donc alors BC = 0,9 cos C = BC / AC cos C = 0,9 / 4,5 C = 78,5° L’angle C mesure 78,5°. Corrigé 22 1/ Cette figure est un trapèze rectangle. 2/ AB = A’C = DC - DA’ AB = 6,6 - 2,6 AB = 4 cm AB mesure 4 cm = AB / AC cos A cos 30 = 4 / AC AC = 4 cos 30 AC = 4,6 cm. AC mesure 4,6 cm. 3/ AA’ = BC Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180°. + ABC + BCA = 180 CAB – ABC BCA = 180 – CAB BCA = 180 – 30 - 90 = 60 BCA = AC / BC cos BCA cos 60 = 4,6 / BC BC = 4,6 cos 60 BC = 2,3 cm BC mesure 2,3 cm et donc AA’ mesure 2,3 cm. Corrigés 3/8 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés Corrigé 23 = 3,5 / 8,3 cos HJI HJI = 65° Calculons HI pour calculer HK : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°. + JHI + HIJ = 180 IJH = 180 65 + 90 + HIJ = 25° HIJ = HI / IJ cos HIJ cos 25 = HI / 8,3 HI = 8,3 x cos 25 HI = 7,52 IK = IH + HK 10,5 = 7,52 + HK HK = 2,98 D’après le théorème de Pythagore, on a dans le triangle JKH rectangle en H : JK² = JH² + HK² JK² = 3,5² + 2,97² JK = 4,59 = HJ / JK cos HJK cos HJK = 3,5 / 4,59 = 40,31° HJK = IJH + HJK IJK IJK = 65 + 40 = 105 mesure 105°. L’angle IJK Corrigé 24 1 / Calculons DH : x DF DH = cos FDH DH = cos 55 x 3,7 DH = 2,12 cm 2 / Calculons HE : Dans le triangle rectangle DHF, la somme des angles est égale à 180°. On a donc : = 180 – 90 - 55 = 35° DFH Dans le triangle rectangle DFE, l’angle droit F mesure 90°. On a donc : = 90 DFE = 90 DFH+ HFE 35 + HFE = 90 = 55 HFE 4/8 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés Dans le triangle rectangle HFE, la somme des angles est égale à 180°. On a donc : = 180 – 90 –55° FEH FEH = 35° = FE / HE cos FEH cos 35 = 5,3 / HE HE = 5,3 / cos 35 HE = 4,34 cm HE mesure 4,34 cm. 3/ DE = DH+HE DE = 2,12 + 4,34 DE = 6,46 DE mesure 6,46 cm. Corrigé 25 TV = TD + DC + CV * Calculons DC : Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180°. = 180 – 26 - 90 = 64 ACB mesure 64°. L’angle ACB est rectangle. L’angle DCB = 90 - 64 = 26 DCA mesure 26°. L’angle DCA cos C = DC / AC cos 26 = DC / 7,3 DC = 7,3 cos 26. DC = 6,6 DC mesure 6,6 cm * Calculons CV, pour cela calculons d’abord CB puis BV : Calculons CB : CB = 7,3 cos 64 = 3,2 CB mesure 3,2 cm Calculons BV : cos CBV = BC / BV cos 43 = 3,2 / BV BV = 3,2 / cos 43 BV = 4,4 BV mesure 4,4 cm. 5/8 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180°. = 180 – 90 - 43 CVB mesure 47°. L’angle CVB = CV / VB cos CVB cos 47 = CV / 4,4 CV = 4,4 x cos47 CV = 3 CV mesure 3 cm. Le triangle est isocèle ; les points A et B appartiennent aux côtés de même longueur donc par symétrie TD = CV TD mesure 3cm TV = TD + DC + CV TV = 3 + 6,6 + 3 = 12,6 TV mesure 12,6 cm. Corrigé 26 1 / Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu, on a donc : MA = MB et le triangle AMB est isocèle de sommet principal M. Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°, la somme des deux autres angles est donc égale à 65°. Dans un triangle isocèle, les sommets opposés au sommet principal, ont un angle de même mesure. Chaque angle mesure donc 32,5°. mesure 32,5°. MBA 2 / Dans le triangle ABC rectangle en A, = AB / AC cos A AB = AC / cos A AB = 4,5 / cos 32,5 AB = 3,8 AB mesure 3,8 cm. Dans le triangle ABC rectangle en B, cos C = AC / CB CB = AC / cos C CB = 4,5 / cos 56,5 CB = 2,5 CB mesure 2,5 cm. Le périmètre du rectangle mesure donc : 2 x (2,5 + 3,8) = 12,6 cm 6/8 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés Corrigé 27 Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égal à 180°. Dans le triangle rectangle IO’H’, on a donc : 180 – 51 - 90 = 39 = 39° O = O’H’ / O’I cos Ocos 39 = 4 / O’I O’I = 4 / cos 39 O’I = 5,1 cos I = IH’ / IO’ cos 51 = IH’ / 5,1 IH’ = 3,21 Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180°. Dans le triangle rectangle IOH, on a donc : 180 – 51 - 90 = 39 = 39° O = OH / OI cos O cos 39 = 2 / OI OI = 2 / cos 39 OI = 2,6 OI = 2,6 cm cos I = IH / IO cos 51 = IH / 2,6 IH = 1,64 HH’ = IH + IH’ HH’ = 1,64 + 3,21 = 4,85 HH’ mesure 4,85 cm. Corrigé 28 Traçons les diagonales de ce trapèze. Elles délimitent deux triangles rectangle. DC est un diamètre du cercle. A appartient au cercle. Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du cercle alors ce triangle est rectangle en ce point. ADC est donc un triangle rectangle. 7/8 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Dans le triangle rectangle ADC, on a : = AD / DC cos D cos 65 = AD / 5,3 AD = 5,3 x cos 65 AD = 2,24 Le trapeze est isocèle, donc AD = BC BC mesure 2,24 cm. Le périmètre mesure 13,15 cm. AB + BC + DC + AD = 13,15 AB + 2,24 + 5,3 + 2,24 = 13,15 AB = 3,37 AB mesure 3,37 cm. Corrigés 8/8
