Chute verticale dans un fluide, modélisation des

Partie D : Systèmes mécaniques.
3. Chute verticale dans un fluide,
modélisation des frottements à l’aide de la méthode d’Euler
1. Etude expérimentale de la chute d’un solide
Principe
Un objet, de masse M et de volume V, plongé dans un fluide (air ou liquide) est abandonné sans vitesse
initiale.
On souhaite étudier l’évolution de la vitesse de chute verticale v au cours du temps.
-
Le mouvement de l’objet est filmé à l’aide d’une webcam.
Un pointage est réalisé à l’aide d’un logiciel tel qu’Aviméca.
Le tableau de valeurs obtenues pour t, x et y est exporté à l’aide du presse papier vers le tableur
Excel (ou Regressi …).
Le tableur permet de calculer des valeurs de la vitesse v et de tracer v = f(t).
Réalisation
- On étudie par exemple la chute d’une bille dans un liquide (mélange eau-glycérol ; mélange liquide
vaisselle-eau ; huile…).
- Une règle ou des repères placés dans le champ de la caméra permettent de déterminer l’échelle des
longueurs.
- Lancer la capture vidéo, enregistrer sous le nom « My video » dans le dossier attribué à la webcam
(ici Toucam pro).
- Ouvrir le logiciel Aviméca puis le clip, effectuer l’étalonnage puis choisir les axes et l’origine O.
Réaliser le pointage dans l’onglet mesures.
- Exporter le tableau de mesures vers un tableur à l’aide du presse papier.
On attribue à la position initiale t = 0 et v = 0.
Dans Excel : la valeur approchée de la vitesse instantanée v peut être calculée à l’aide de la formule
vi = (yi+1 – yi+1)/2t ( puis en la recopiant vers le bas jusqu’à l’avant dernière ligne.
Préparer la page de calcul Excel comme le montre l’image insérée dans le paragraphe 2.c.
Dans Regressi : cette valeur peut être déterminée à l’aide de la fonction « Créer une nouvelle grandeur
dérivée ».
- Exemple de courbe obtenue ci-contre
On constate que les points obtenus se
distribuent assez bien sur une courbe non
rectiligne partant de l’origine et tendant vers
une valeur asymptotique vlim .
Influence de la nature du fluide
On peut ainsi montrer l’influence sur vlim de :
- la masse M de l’objet,
- la nature du fluide en particulier sa
masse volumique 
- volume V de l’objet.
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2. Modélisation des frottements
a. Texte de Huygens
On peut proposer aux élèves un texte de Huygens intitulé « comment et pourquoi l’air et l’eau ralentissent-ils
la chute des corps ) dans lequel Huygens discute deux hypothèses concernant la relation liant la force des
frottements f à la vitesse v du solide dans l’air. (f = k.v et f = k.v2).
b. Principe
Diagramme objet-interactions :
fA/B
Terre
(T)
Frottement
s
fr
Poussée
d’Archimèd
e
Ballon
s
+ (B
lest
)
FA/B
Air
(A
))




La deuxième loi de Newton s’écrit : F( T / B )  F( A / B )  f( A / B )  M.a
FT/B
avec F(A/B) = Vg
Faisons l’hypothèse f = k.v
On obtient donc arithmétiquement la relation suivante Mg  Vg  kv  Ma (avec un axe orienté vers le bas)
L’équation différentielle (1) s’obtient en divisant le tout par la masse M.
dv
V
 B.v  A (1) avec A  g(1 
) (2) et
dt
M
B
k
(3)
M
A est donné par la relation (2)
B est déduit de la relation (1) : lorsque v est constante (vitesse limite) la dérivée de v est nulle et
A
B
v lim
Cette équation différentielle peut être résolue de manière analytique ou de manière approchée avec la
méthode d’Euler. On peut ainsi comparer la distribution des points expérimentaux obtenus en 1 avec les
valeurs calculées à l’aide de la méthode d’Euler et étudier s’il existe ou non un domaine de validité de
l’hypothèse de modélisation des frottements f = k.v.
c. Résolution de l’équation différentielle à l’aide de la méthode d’Euler (hypothèse f = k.v)
-
Calculer A et B.
Les accélérations Les accélérations sont données par l’équation différentielle : acalcn = A – B.vcalcn
- Les vitesses, calculées à partir des accélérations, sont données par la relation :
vcalcn+1 = vcalcn + acalcn.t.
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Reprendre le tableau précédent
et définir deux nouvelles
colonnes :
Vcalc et acalc.
- J1 : entrer la valeur de A.
- L1 : entrer la valeur de B.
- D4 : entrer 0.
- E4 : entrer : $J$1-$L$1*D4
puis recopier la formule vers le
bas.
- D5 : entrer : D4 + E4*0.04
Puis recopier la formule vers le
bas.
- Tracer les courbes v(t) et
vcalc(t) à l’aide de l’assistant
graphique.
On constate en général que la courbe
calculée d’après la méthode d’Euler passe au voisinage des points expérimentaux. Elle se situe cependant
plutôt au-dessous de ces points.
L’hypothèse f = k.v n’est donc pas tout à fait satisfaisante.
d. Hypothèse f = k.v2
On peu également tester la deuxième hypothèse proposée par Huygens.
Dans ce cas, seule la valeur de B est modifiée , on a :
B
A
v lim ²
 1.12 m –1 et l’équation différentielle à résoudre est : dv  B.v²  A
dt
On remplace, dans la colonne E la formule de calcul de acalc par $J$1-$L$1*D4^2 (cellule E4)
On constate en général que la courbe passe au voisinage des points expérimentaux.
Elle se situe cette fois plutôt au-dessus des points expérimentaux dans sa partie centrale.
3. Conclusion
1. Les résultats précédents ne permettent pas de choisir quelle est, des deux hypothèses, f = k.v ou f = k’.v², celle qui
modélise le mieux les frottements visqueux au cours de la chute étudiée. Les deux courbes confirment cependant
que les frottements peuvent être modélisés par une force qui augmente avec la vitesse.
2. Le fait que les courbes obtenues passent tantôt au-dessous, tantôt au-dessus, des points expérimentaux incite à
penser que les hypothèses formulées par Huyghens, qui ont le mérite de la simplicité, sont insuffisantes pour
modéliser le phénomène de manière plus satisfaisante. Une modélisation plus précise supposerait des
hypothèses plus complexes.
Les courbes obtenues dans les deux cas montrent néanmoins, qu’il est toujours possible de distinguer dans le
phénomène deux régimes d’évolution : un régime transitoire accéléré suivi d’un régime permanent à vitesse constante
(la somme des forces est alors nulle) et de déterminer la valeur d’une vitesse limite de chute.
3. Elles montrent également que l’accélération du mouvement varie toujours de manière continue entre la valeur
initiale g(1-V/M) et la valeur finale 0.
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