Chapitre 11 : TRIGONOMETRIE A – Sinus, cosinus et tangente d'un angle aigu B a) Côtés d’un triangle rectangle [BC] s'appelle l'hypoténuse Pour l'angle ̂ B, [BA] est le côté adjacent et A C |AC] est le côté opposé B ̂, Pour l'angle C [CA] est le côté adjacent et [AB] est le côté opposé A C b) Définitions E Côté adjacent FD Cosinus ̂ F = = Hypoténuse FE Sinus F̂ = D F On note en général cos F̂ Côté opposé Hypoténuse = ED FE Côté opposé ED Tangente F̂ = = côté adjacent FD sin F̂ et tan F̂ Repère 1 --------------------------------------------------------------------------------------------- Repère 1 B- APPLICATIONS R I. On connaît l’hypoténuse et un angle aigu : on peut retrouver un des petits côtés. S 47° T 5 cm RST = 47°. On considère le triangle RST rectangle en R tel que ST = 5 cm et ̂ 1°) Calcul de RS 2°) Calcul de RT (côté adjacent -> utilisat° du cosinus) ( côté opposé -> utilisation du sinus) Dans le triangle RST rectangle en R , on a: cos RST = Donc cos 47° = d’où SR = RS ST Dans le triangle RST rectangle en R , on a: RS 5 sin RST = Donc sin 47° = RT ST RT 5 d’où RT = 5 × sin 47° 5 × cos 47° La calculatrice donne SR » 3,4 cm La calculatrice donne RT » 3,7 cm II. Calculer l’hypoténuse en utilisant le cosinus ou le sinus A On donne le triangle AFL ci-contre rectangle en L tel que AFL = 34°. Déterminer FA à 1 mm près. AL = 3cm et F 34° L Réponse : Dans le triangle AFL rectangle en L , on a : sin 34° = On obtient : AF = sin AFL = AL AF 3 FA 3 sin 34 ° La calculatrice donne AF » 5,3 cm Remarque :On pourrait retrouver de la même façon FA si on connaissait la longueur FL (côté adjacent) en utilisant le cosinus III. Utilisation de la TANGENTE (retrouver un des petits côtés) F On considère un triangle EFG rectangle en E GFE = 55°. tel que EF = 4 cm et 55° Calculer EG à 1 mm près. 4 cm Réponse : E Dans le triangle EFG rectangle en E , on a : EG EF tan GFE = tan 55° = EG 4 d’où EG = 4 × tan 55° Donc EG ≈ 5,7 cm IV- Calcul d'un angle B Calculer la mesure de l'angle ̂ ABC . 5 3 Dans le triangle ABC rectangle en A : C A Cos ̂ ABC = AB BC Cos ̂ ABC = 3 5 3 donc ̂ ABC = arccos ( ) 5 ̂ ABC ≈53° E Calculer la mesure de l'angle ̂ EFD . 5 4 D Dans le triangle EDF rectangle en D : F sin ̂ EFD = ED EF sin ̂ EFD = 4 5 4 donc ̂ EFD = arcsin ( ) 5 ̂ EFD ≈ 53° G Calculer la mesure de l'angle ̂ IGH . G Dans le triangle GHI rectangle en I : tan ̂ IGH = 5 I 6 H tan ̂ IGH = HI GI 6 5 6 donc ̂ IGH = arctan ( ) 5 ̂ IGH ≈ 50°