développement 1 application de la formule d`euler

DÉVELOPPEMENT 1
APPLICATION DE LA FORMULE D’EULER-MACLAURIN
Formule d’Euler-MacLaurin. — Si f : R → C de classe C k et 2r + 1 ≤ k alors
Z n
r
X
1
Bh (2h−1)
f (t)dt + (f (m) + f (n)) +
f (m) + · · · + f (n) =
f
(n) − f (2h−1) (m) + Rr
(−1)h−1
2
(2h)!
m
h=1
où
Z 1
1
b2r+1 (t)f (2r+1) (t)dt
Rr =
(2r + 1)! 0
et Bn et bh désignent respectivement les nombres et les polynômes de Bernoulli.
Lemme. — Soit f : R → R à décroissance rapide et λ, µ ∈]0, +∞[, on pose
Sλ (u) =
+∞
X
f ((n + λ)u)
n=0
alors quand u tend vers 0, on a
Z +∞
r
X
u
Bh (2h−1)
f (t)dt + f (λu) +
uSλ (u) =
(−1)h u2h
f
(λu) + O(u2h+2 ).
2
(2h)!
λu
h=1
Démonstration. — Puisque x2 f (x) −−−−→ 0, il existe M > 0 tel que |f (x)| ≤
x→+∞
M
x2
pour x assez grand.
M
,
(n+λ)2 u2
il s’ensuit que |f ((n + λ)u)| est majoré par
pour n assez grand, qui est le terme général d’une
série convergente. Donc Sλ (u) converge absolument.
On pose ϕ(x) = f ((xZ+ λ)u) alors ϕ(n) (x) = un f (n) ((x + λ)u) et la formule d’Euler-MacLaurin donne
n
1
ϕ(0) + · · · + ϕ(n) =
ϕ(t)dt + (f (λu) + f ((n + λ)u))
2
0
r
X
Bh (2h−1)
+
(−1)h−1 u2h−1
f
((n + λ)u) + f (2h−1) (λu) + Rr
(2h)!
h=1
où
Z 1
1
Rr (λ, u) =
b2r+1 (t)u2r+1 f (2r+1) ((t + λ)u)dt.
(2r + 1)! 0
Z n
Z
1 nu+λu
Or
ϕ(x)dx =
f (t)dt donc
u λu
0
Z
1 nu+λu
1
ϕ(0) + · · · + ϕ(n) =
f (t)dt + (f (λu) + f ((n + λ)u))
u λu
2
r
X
Bh (2h−1)
+
(−1)h−1 u2h−1
f
((n + λ)u) + f (2h−1) (λu) + Rr
(2h)!
h=1
8
Application de la formule d’Euler-MacLaurin
et en faisant tendre n vers l’infini, il vient
Z
r
X
1 +∞
1
Bh (2h−1)
Sλ (u) =
f (t)dt + f (λu) +
(−1)h−1 u2h−1
f
(λu) + Rr .
u λu
2
(2h)!
Or pour tout t ∈ [0, 1], on a |b2r+1 (t)| ≤ (r +
h=1
1
2 )Br donc
Br
|Rr (λ, u)| =
u2r+1
2(2r + 1)!
+∞ Z
λu
(2r+1) (t) dt
f
i.e. Rr (λ, u) = O(u2r+1 ) et on a le résultat souhaité en multipliant par u.
Application. — Soit a, b, c, α, β ∈ R avec a > 0. Si |x| < 1 alors la série
f (x) =
+∞
X
xan
2 +bn+c
(1 − xαn+β )
n=0
converge et tend vers
α
2a
lorsque x → 1− .
Démonstration.
— Pour n assez grand, on a an2 + bn + c > n et an2 + (b + α)n + c + β > n
2
i.e. xan +bn+c (1 − xαn+β ) ≤ 2xn dès que |x| < 1 donc la série converge. Pour 0 < x < 1, on note
2
x = e−u alors
an2 +bn+c
x
b
= exp −a n +
2a
!
2
u
2
exp
b2
c−
4a
u
2
de sorte que l’on obtient une expression de la forme
f (x) = xh1 Sb/2a (u) − xh2 S(b+α)/2a (u).
2
Si on pose ϕ(u) = e−au alors le lemme donne
Z +∞
Z +∞
h1
h2
uf (x) = x
ϕ(t)dt − x
ϕ(t)dt + xh1 uϕ(bu/2a) − xh2 uϕ((b + α)u/2a) + O(u2 )
bu/2a
or
xh1
=1+
O(u2 )
(b+α)u/2a
= 1 + O(u2 ) pour u → 0 donc
Z
1 (b+α)u/2a
f (x) =
ϕ(t)dt + ϕ(bu/2a) − ϕ((b + α)u/2a) + O(u)
u bu/2a
et
xh2
donc
f (x) −−−→
u→0
α
.
2a
Leçons concernées
18 Application des formules de Taylor et des développements limités
26 Développements asymptotiques d’une fonction d’une variable réelle
32 Intégrale d’une fonction d’une variable réelle. Suites de fonctions intégrables
Référence
A. Chambert-Loir, S. Fermigier et V. Maillot, Analyse 1, Masson, 1997.
Sébastien Pellerin