TS1-TS2 DEVOIR SURVEILLE N° 4 ( 2h) J 1/12/11 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. L’usage de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 : (3 points) f ' f Prérequis : On admet qu'il existe une fonction dérivable sur I; R, notée exp, vérifiant : f (0) 1 En utilisant ce seul prérequis, répondre successivement aux questions suivantes. 1) On considère la fonction : x exp( x) exp( x) . Montrer que est une fonction constante sur I; R et que pour tout x réel, exp( x) exp( x) 1 . 2) En étudiant, pour un réel a fixé, la fonction g a : x exp( a x) exp( x) , démontrer que : pour tous réels a et x, exp( a x) exp( a) exp( x) . Exercice 2 : (4 points) On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et pour tout entier naturel n : un + 1 = Error!. 1) A l’aide de la calculatrice, donner la valeur approchée à 10–2 des 5 premiers termes de la suite. 2) a) Conjecturer le sens de variation de la suite. b) Le démontrer. 3) Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a un – 1 > 0. Exercice 3 : (13 points) Partie A On considère la fonction g définie sur [0 ; +[ par g(x) = ex – xex + 1. 1) Déterminer la limite de g en + . 2) Etudier les variations de la fonction g. 3) Donner le tableau de variation de g. 4) a) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0 ; +[ une unique solution. On note cette solution. b) A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10–2 de . c) Démontrer que e = Error! 5) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. Partie B On considère la fonction h définie et dérivable sur [0 ; +[ par h(x) = Error! 1) Déterminer la limite de h en + . 2) Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, h’(x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie dans la partie A. 3) En déduire les variations de h sur [0 ; +[. Partie C On considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par f(x) = Error! On note Cf sa courbe représentative dans un repère (O; Error!; Error!). La figure est donnée en annexe. Pour tout réel x positif ou nul, on note : M le point de Cf de coordonnées (x ; f(x)), P le point de coordonnées (x ; 0), Q le point de coordonnées (O ; f(x)). 1) Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse . On rappelle que le réel a été défini dans la partie A. 2) Le point M a pour abscisse . La tangente (T) en M à la courbe Cf est-elle parallèle à la droite (PQ) ? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’’évaluation. Annexe y 2 1 o 1 2 3 4 5 x