Chapitre 4 Terminale S LA FONCTION EXPONENTIELLE Léonhard Euler, mathématicien suisse très prolifique (1707-1783) est à l'origine de beaucoup de théorèmes dans tous les domaines mathématiques. Cependant son œuvre principale réside dans le développement de l'analyse. Il est à l'origine de fonctions que nous utilisons aujourd'hui encore comme les fonctions trigonométriques (cos(x), etc..) et, c'est également lui ( en 1748) qui est à l'origine de la définition de la fonction exponentielle ex "une fonction proportionnelle à sa dérivée". Cette fonction permet de traduire analytiquement et ainsi de modéliser des phénomènes physiques tel que l'évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs, la charge d'un condensateur dans le temps ou encore l'élimination par l'organisme d' une injection dans le sang d'un médicament. I La fonction vérifiant f' = f et f(0) =1 On admet qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur IR telle que: f ' = f et f(0) = 1 1ièrement Montrons qu'elle ne s'annule pas sur IR: Soit g la fonction définie sur IR par : g(x) = f(x)f(-x) . Démontrer que g est constante sur IR . En déduire que f ne s'annule pas sur IR La fonction f ne s'annule pas sur IR ièment 2 Montrons qu'elle est unique Démontrer que si une fonction g définie sur IR vérifie la condition g = g ' et g(0) =1 alors g = f.( vous pouvez poser h = Error! ) La fonction f est unique ièmement 3 Etablissons une propriété de cette fonction Soit g(x) = f(x+ y)f(-x) avec y IR démontrer que g est constante, en déduire que f(x + y) = f(x)f(y) II Stepec f(x + y) = f(x)f(y) La représentation graphique de f Page 1 sur 6 582668988 Chapitre 4 Terminale S L'approximation affine focale d'une fonction f dérivable en a de f(a+h) pour h voisin de 0 est : f(a+h) f(a) + hf '(a) 1ièrement Montrons que si f vérifie f = f ' et f(0) = 1 alors f(a + nh) (1 + h)n f(a) pour tt n IN * et a IR On vérifie que la propriété est vraie pour n = 0 conclusion: f(a +nh) (1+h)n f(a) n IN 2ièmement Soit (Un) la suite définie sur IN par Un = (1 + h)nf(a) démontrer que c'est une suite géométrique 3ièmement On pose a = 0 et x = nh. Démontrons que pour n assez grand par rapport à x on a: f(x) Error! n Euler établit ainsi la fonction exponentielle e x = lim; (1 + Error! )n n+ III La fonction exponentielle 1) Généralités Stepec Page 2 sur 6 582668988 Chapitre 4 Définition: Terminale S On appelle fonction exponentielle l'unique fonction f dérivable sur IR telle que f = f ' et f(0) =1 On la nomme fonction exponentielle et elle se note exp (x) Etymologie: exponentielle du latin exponens: dont l'exposant est variable ou inconnu Théorème : Pour tout réel x , exp(x) > 0 Démon.: Conséquences pratiques: La fonction exponentielle est définie et dérivable sur IR exp(0) =1 exp'(x) = exp (x) exp (x) > 0 exp (-x) = Error! ( voir activité préliminaire I_ 1ièrement ) IV Propriétés de la fonction exponentielle Théorème: Pour tout réel a et b : exp (a + b) = exp (a) . exp (b) Démonstration faite précédemment dans activité préliminaire I_3ièmement Corollaire: Pour tout réels a et b et pour tout entier relatif k exp (a - b) = Error! exp (-a) = Error! exp (kx) = [ exp(x) ] k démon.: Autre notation de la fonction exponentielle ex L'image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre réel noté e : exp(1) = e Ainsi pour tout entier relatif n, exp (n) = exp (1 x n) = [exp (1)] n = e n donc Stepec Page 3 sur 6 exp (n) = e n 582668988 Chapitre 4 Terminale S On généralise cette notation pour tout x IR : exp (x) = e x On peut alors écrire: Exercices 1, 2, 3 p 101 V Etude de la fonction exponentielle 1) Etude de variation Théorème : La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR Démon.: Conséquences pratiques: a<b ea<eb et a=b ea=eb Exercices: 4,5,6,7,8,10, 11,12,15 p101 2) Etude des limites Théorème : lim; e x = + et x+ lim; x- ex = 0 Démon. : Exercices: 18,20 p102 Théorème : lim; Error! x0 =1 Démon.: Stepec Page 4 sur 6 582668988 Chapitre 4 3) Terminale S Croissance comparée de x et e x Théorème: lim; x+ Error! =+ et Error! xe x = 0 Démon.: Exercices: 21,22,23,25,27,28,33 p102 4) Dérivée de la fonction composée e u(x) Théorème: Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction f définie par f(x) = e u(x) est dérivable sur I et pour tout x I on a : f '(x) = u'(x)e u(x) Remarque: Si u dérivable sur I alors e u(x) dérivable sur I est une condition suffisante mais pas nécessaire car e u(x) peut être dérivable sur un x0 I si le nombre dérivée en x0 est fini. Démon.: Exercices: 37,38,40,41,42,44 p 103 VI Equations différentielles 1) Vocabulaire Résoudre une équation différentielle c'est chercher l'ensemble des solutions qui vérifient l'équation. Dans une équation différentielle l'inconnue est une fonction et le mot différentielle suggère que les dérivées interviennent dans l'équation. Stepec Page 5 sur 6 582668988 Chapitre 4 Terminale S Cette année nous étudierons des équations différentielles du 1ier ordre ( il y a uniquement la dérivée première dans l'équation ) à coefficients constants. 2) Résolution de l'équation y ' = ay ( a IR ) Théorème : L'ensemble des solutions dans IR de l'équation différentielle y ' = ay ( a IR ) est l'ensemble des fonctions fk définies par fk (x) = ke ax où k est un réel quelconque ROC démon.: Résolution d'une équation différentielle avec condition initiale: { y ' = ay;f(x0) = y0 Théorème: (x0 ;y0) IR2 , l'équation y ' = ay admet une unique solution f telle que f(x0) = y0 Démon.: Exercices: 45, 47, 48 p 103 3) Résolution de l'équation y ' = ay + b ( (a ;b) IR2 ) Théorème: L'ensemble des solutions dans IR de l'équation différentielle y ' = ay + b ( (a;b) IR2 ) est l'ensemble des fonctions fk définies par fk (x) = ke ax – Error!où k est un réel quelconque Remarque: Si a = 0 alors y ' = b et les solutions sont les fonctions f(x) = bx + k où kIR2 Exercices: 50,51 p103 et 57, 59, 61, 62, 77, 79, 82 Stepec Page 6 sur 6 582668988