COMMENT CALCULER INTELLIGEMMEN T? CALCULER ? POURQUOI ? Pour comprendre et aimer les maths… Le calcul, pour les mathématiques, c’est comme le solfège pour la musique ! Il est indispensable de savoir calculer pour pouvoir progresser en maths… Pour apprendre à être sûr de soi… Quand on calcule, il faut être sûr de soi. Ne vous lancez jamais dans un calcul que vous ne savez pas faire, car c’est alors que l’on invente des techniques qui ne marchent pas. Par exemple, regardez les calculs ci-dessous. Sans les effectuer, cochez les cases correspondant à ceux dont vous êtes certain de savoir les faire sans calculatrice : 3 2 2 23 4 a) b) 3 (654) (51) c) d) 3 2 1 1 1 3 5 3 2 e) 3 f) g ) 234 2491 h) 100 16 3 7 3 A présent, effectuez sans calculatrice les calculs correspondant aux cases qui ont été cochées. Vérifiez vos réponses : a) 69 b) 606 c) 25 24 d ) 11 6 2 e) 6 7 f ) 3 g ) 2525 h) 40 Ce qui compte, ce n’est pas d’avoir coché un maximum de cases, c’est d’avoir su faire les calculs correspondant aux cases qui ont été cochées. Si vous avez autant de résultats justes que de cases cochées, c’est que vous avez du recul sur ce que vous faites : c’est bon signe ! L’objectif de ce document est de vous apprendre à calculer intelligemment. C’est-àdire à prendre du recul sur les calculs, à savoir identifier les principales situations et ne pas se lancer à l’aveuglette. 1 CERNER LE CALCUL AVANT DE L’EFFECTUER Règles de priorité Un calcul ne s’effectue pas de gauche à droite et de haut en bas. Dans le calcul d’une expression, l’ordre de priorité suivant doit être respecté : D’abord les parenthèses et les crochets Puis les puissances Puis les multiplications et divisions Enfin les additions et soustractions Certaines notations remplacent les parenthèses, sans qu’il y ait d’ambiguïté : 2 Les traits de fraction : par exemple, signifie ( + 2)/3, et non pas 3 + 2/3 On oublie Les racines carrées, horizontalement et verticalement : par exemple, facilement de rajouter 5 x signifie (5 x) et non pas 5 x ces parenthèses sur la calculatrice ! 25 25 signifie et non pas 9 9 25 9 Exercice 1 : Retrouver les résultats suivants de tête (sans calculatrice, bien sûr !) 3 6 4 2 16 16 2 3 7 5 18 2 2 1 11 3 2 4 4 Exercice 2 : Retrouver les résultats suivants à l’aide de la calculatrice, en un seul calcul : 1 1 2 Ne pas oublier de rajouter les 4 3 2 1 0 parenthèses nécessaires ! 1 1 1 2 4 2 Identifier une somme, une différence, un produit, un quotient… a + b est la somme des termes a et b a – b est la différence des termes a et b a est le quotient du numérateur a par b a b est le produit des facteurs a et b le dénominateur b Exemple : L’expression x5 est écrite sous la forme d’un quotient 3 5² ( b 0) Exercice 3 : Déterminer la nature (somme, différence, etc…) des expressions suivantes : 2 x2 3 (8x + 2)(2 – 3x) (3 – 5y) – (x – 4)2 3 5 2 Repérer les nombres cachés Les égalités suivantes sont évidentes, mais peuvent s’avérer extrêmement utiles pour de nombreux calculs : x x=x+0 x= – x = (– 1) x 1 x=1x x = x1 Exemples d’utilisation (tous ces exemples sont repris dans les chapitres correspondants): 3 3 3 7 21 Calcul de fractions : 1 2 2 1 2 2 7 7 Factorisation : 2x + 2 = 2 x + 2 1 = 2 (x + 1) La fonction f qui, à x, associe f(x) = x, est une fonction affine du type f(x) = ax + b, avec a = 1 et b = 0, car f(x) = x = 1 x + 0. Exercice 4 : En vous aidant des exemples ci-dessus : factoriser l’expression 3x – 3 Calculer 5 4 3 Reconnaître un opposé, un inverse L’opposé de a est – a Si b0, l’inverse de b est L’opposé de a – b est – (a – b), ou – a + b, ou b – a Si b0, l’inverse de 1 b a b est b a L’opposé de a + b est – (a + b), ou – a – b On a aussi, grâce à la règle des signes : – (a b) = (– a) b = a (– b) a a a a a Si b0, , et b b b b b Exercice 5 : Déterminer les opposés et les inverses des réels suivants (on supposera que les dénominateurs ne sont pas nuls) : 1 1 –9 6 –3 2x + 3 x–2 2 3 x Exercice 6 : Quel est l’opposé de : – 2x + 3y – 3z + 8 ? 3 Exercice 7 : Le calcul suivant est très simple : 6 1 Voyez-vous le résultat ? 6 Ne pas se laisser impressionner par la taille de l’expression Un énorme calcul peut parfois être très simple. Voici un exemple fréquemment rencontré : L’équation ax = 0, avec a0 Par exemple, l’équation 2x = 0 a pour solution x = 0 (et non pas x = -2 !) Retenons simplement que l’équation ax = 0 (avec a0) a pour solution x = 0. Une fois que l’on a bien compris ce résultat simple, les équations suivantes deviennent très faciles à résoudre, sans aucun calcul : x 1 2 3 x x=0 =0 =0 42 7 0, 002 En, effet chacune a pour solution x = 0, puisqu’elles sont toutes de la forme ax = 0, avec comme valeurs respectives de a : 2 3 1 1 42 7 0, 002 4 FRACTIONS Attention ! Une fraction exemple, la fraction a n’a de sens que si b 0. On ne peut pas diviser par 0. Par b 3 n’existe pas. 0 Les cas particuliers importants : 0 0 0, 0 27 2 x² 3 27 3 x par exemple : 27, 3 x Le dénominateur vaut 1 : 1 1 a 32 1 Le numérateur est égal au dénominateur : 1 par exemple : a 32 Le numérateur est nul : 0 0 a a a 1 par exemple : Simplification : Si b 0 et c 0, on a ac a bc b 2x 6 2x 6 x6 2 2 En effet, on ne peut pas simplifier ainsi par 2 car 2 n’est pas en facteur dans tout le 2 x 6 2( x 3) 2( x 3) numérateur. Le calcul exact est : x 3 2 2 2 Simplifier ne signifie pas « barrer ce qui est pareil en haut et en bas », mais « barrer ce qui est en facteur en haut et en bas » ! Attention ! Le calcul suivant est faux : Exercice 8 : Simplifier au mieux les fractions suivantes (les dénominateurs sont non nuls) : 17 1,17 2 2x x2 4x 8 5x 7 a) b) c) d) e) f) g) 1411 4,5 0, 4 x² x 12 5 Comparaison : Pour comparer deux fractions, on peut chercher une valeur approchée ou réduire au même dénominateur. Exercice 9 : Comparer les fractions ou les réels suivants : 2 3 2 3 2 3 1 a) et b) et c) et d) et 0, 4 5 9 5 9 5 9 3 Somme et différence : Avant d’ajouter (ou soustraire) des fractions, on les réduit au même dénominateur. Attention ! Le plus petit dénominateur commun n’est pas forcément le produit des dénominateurs. 5 Ici, on n’effectue surtout pas le produit 812 ! Exemples : Pour trouver 24, on décompose chaque 1 2 3 8 11 dénominateur au maximum, puis on écrit le 4 3 12 12 12 premier, et on complète avec les facteurs du 4 1 8 1 9 1 deuxième qui ne sont pas écrits dans le premier : 12 9 18 18 18 18 2 = 322 8 = 222 24 = 3222 5 3 10 9 19 12 8 24 24 24 Plus difficile, mais très important : 1 1 x 1 x x 1 x 1 1 x x x(1 x) x(1 x) x(1 x) x(1 x) Attention ! Un piège terrible : le signe moins devant une fraction Pour supprimer un moins devant une fraction, on change tous les signes du numérateur. 2 x 5 4 x 5 4 ( x 5) 4 x5 9 x Exemple : 3 6 6 6 6 6 6 Produit : Pour multiplier des fractions : - On commence par déterminer le signe du résultat grâce à la règle des signes - Puis on cherche à simplifier au maximum - Puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux 9 4 1 1 1 Exemples : (on a simplifié le 9 avec le 27 et le 4 avec le 8) 8 27 2 3 6 x2 3 x2 3( x 2) 3x 6 3 8 1 8 8 8 Quotient : Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. Exemples : 3 3 5 15 4 2 4 2 8 5 2 3 x 2 3 x 2 1 3 x 2 x 1 3 2x 3 2 3 x 1 2 1 3 x 2 3x 6 Exercice 10 : Calculer sans calculatrice (les dénominateurs sont supposés non nuls) : 5 1 3 2 1 1 7 3 a) b) 1 c) 14 21 7 5 5 x x² 15 5 d) g) j) m) 5 3 1 14 8 7 15 17 9 6 34 27 5 7 5 25 3 1 1 5 3 2 2 5 e) 2 5 3 17 34 4 5 12 11 h) 4 25 3 k) n) 6 5 3 f) i) 19 7 4 25 28 38 5 5 9 3 2 4 10 4 5 9 7 14 9 l) 5 3 2 8 4 3 7 2 7 1 o) 1 1 1 1 1 2 PUISSANCES Définition Soit a un réel et n un entier naturel non nul, an = a a ... a n fois Par convention, pour a 0, a0 = 1 00 n’a aucun sens 1 a-n = n (a-n est l’inverse de an) a 1 En particulier, a-1 = a Si a 0, a2 a 1 Attention ! Il ne faut pas confondre – xn et (– x)n Par exemple, – 3² = – 33 = – 9, (la puissance est prioritaire sur le signe moins) tandis que (– 3)² = (– 3) ( – 3) = 9 Exercice 11 : Calculer au mieux : – 22 ; (– 2)2 ; – 23 ; (– 2)3 ; 50 ; 3-2 ; (– 3)-2 ; – 30 ; (– 3)0 ;151 100 = 1 Les puissances de 10 : 101 = 10 10-1 = 0,1 102 = 100 10-2 = 0,01 103 = 1000 10-3 = 0,001 etc… etc… Propriétés Les formules suivantes permettent de multiplier ou diviser des puissances (il n’y a pas de formule pour additionner ou soustraire des puissances). a et b sont des réels non nuls, n et p des entiers : Quand le nombre a est le même : a ×a p = a×a×...×a×a×a×...×a = a n+p n n fois p fois n fois a a a ... a = a n-p p a a ... a n p fois Quand la puissance n est la même : a b n = a a ... a b b ... b = (a b) (a b) ... (a b) = (a b)n n n fois n fois n fois n fois a a a ... a a a a a = = ... = n b b b ... b b b b b n n fois n n fois 8 a n p Puissance de puissance : = a n a n ... a n = a a ... a a a ... a ... a a ... a = a np p fois n fois n fois n fois p fois Attention ! Il ne faut pas confondre a b c Par exemple, 23 2 et a b c 3 232 26 64 tandis que 23 2 2 2 29 512 Exercice 12 : Mettre sous la forme d’une puissance ou d’un nombre, sans calculatrice : 34 35 43 4 76 7-225 35 62 6-1 11-2 11-2 72 112 93 9-51-2 1-3 33 53 24 23 35 3 75 78 7 5 3 3 5 8 63 6 1 103 10 10 2 5 3 4 9 8a 4 b 2 (2ab)3 2 8 6 228 220 4 25 2 4 5 5 RACINES CARREES Définition La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif, noté 9 3 0 0 1 1 Exemples : Il faut connaître les premiers carrés parfaits : 0 1 4 9 16 25 36 a , dont le carré est a. 2 1, 4142... 49 64 81 100 121 144 Attention ! Plusieurs pièges classiques à éviter : Le nombre 16 a une seule racine carrée (c’est 4), mais il y a deux nombres dont le carré est 16 : ce sont 4 et –4 . 2 n’existe pas mais – 2 existe. Il ne faut pas confondre a 2 et a 2 : on a a 2 n’est pas forcément égal à a. Par exemple, que Attention à bien prolonger les traits du symbole a 2 3 a (d’après la définition), tandis 2 9 3 , horizontalement et verticalement, de façon à ce qu’il n’y ait aucune ambiguïté. Par exemple, ne jamais écrire s’il s’agit de x 5 ou de x 5 . x 5 . On ne sait pas 2 est un nombre comme les autres. 1,4142 n’en est qu’une valeur approchée, ce n’est pas la valeur exacte. Dans les calculs, on doit toujours utiliser la valeur exacte, qui est 2 , et non une valeur approchée. L’équation x2=A Si A < 0, l’équation n’a pas de solution car un carré n’est jamais négatif. Si A = 0, l’équation a une unique solution : 0 Si A > 0, l’équation a deux solutions : A et A Attention ! On oublie toujours cette deuxième solution ! Exercice 13 : Résoudre les équations suivantes : x2 = 0 x2 = 64 x2 = 3 10 x2 = –3 2x2 = 8 Propriétés Pour tous nombres positifs a et b : Attention ! a a b b ab a b ab a b si b 0 a b a b Par exemple, x2 16 n’est pas égal à x + 4 Exemples d’applications : 45 9 5 9 5 3 5 Simplifier une racine carrée : Enlever la racine d’un dénominateur : Réduire une somme : 9 2 3 2 8 9 2 3 2 4 2 9 2 3 2 2 2 (9 3 2) 2 10 2 2 2 3 6 3 3 3 3 Exercice 14 : Simplifier au mieux : 25 16 80 245 700 147 56 2 12 3 14 7 20 3 5 3 3 300 2 75 Exercice 15 : Rendre les dénominateurs entiers, et simplifier les résultats au maximum : 1 2 3 2 5 1 3 5 7 1 2 3 33 11 11 3 3 IDENTITES REMARQUABLES Ce qu’elles ont surtout de remarquable, c’est que beaucoup d’élèves ne les aiment pas. Il est indispensable de les connaître ABSOLUMENT PAR CŒUR !!! sans la moindre hésitation. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) En effet, en développant, on trouve (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 Exercice 16 : Démontrer de même les deux autres identités. Exemples d’applications : (Chaque exemple est important, regardez-les en détail) Développer ou factoriser des expressions : (x + 5)2 = x2 + 10x + 25 (2x – 7)2 = (2x)2 – 28x + 49 = 4x2 – 28x + 49 x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4) 4x2 – 81y2 = (2x)2 – (9y)2 = (2x + 9y)(2x – 9y) 2 3 2 4 3 3 4 4 3 3 7 4 3 3 7 3 2 3 7 7 3 2 21 7 10 2 2 3 2 3 2 3 2 9 7 2 2 2 2 2 2 21 2 Rendre des dénominateurs entiers : Souvent, on multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée du dénominateur. c’est la quantité qui permet d’utiliser la troisième identité remarquable, comme dans l’exemple ci-dessous : 3 2 5 Ici, il faut bien penser à (2x)2 = 4x2, et ne pas écrire 2x2 Avec des racines carrées : 2 Et non pas x2 + 25 ! 3 2 5 2 5 2 5 3 2 5 2 25 15 3 2 23 Quand on ne sait pas trop quelle identité choisir : (–x + 3)2 = (–x)2 + 2(–x)3 + 32 = x2 – 6x + 9 (on utilise la première identité) On peut aussi utiliser cette autre méthode : (–x + 3)2 = (3 – x)2 = 9 – 6x + x2 (cette fois-ci, on a utilisé la deuxième identité) (–2x – 5)2 = ( (–2x) + (–5) )2 = (–2x)2 + 2(–2x)( –5) + (–5)2 = 4x2 + 20x + 25 (on a utilisé la première identité, mais on aurait pu utiliser la deuxième : ( (–2x) – 5) )2 4x2 + 9 Ici… on ne peut rien faire ! Ce n’est pas une identité remarquable. En revanche, –4x2 + 9 en est une (la troisième). Eh oui, car –4x2 + 9 = 9 – 4x2 … 12 Exercice 17 : Calculer à l’aide des identités remarquables, lorsque c’est possible : (2x + 1) (1 – 3x) (2x – 4)(2x + 4) x2 + 16 (–3 – 2y)2 7 7 –x2 + 16 2 2 2 3 2 2 x2 + 4x + 4 1 x 3 2 100 – 49x2 81x2 – 36x + 4 Exercice 18 : Rendre les dénominateurs entiers en utilisant la quantité conjuguée : 1 5 10 5 2 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 1 2 Exercice 19 : Le nombre d’or, noté (prononcer phi), est le nombre = 1 5 . 2 Calculer 2 puis calculer + 1. Que constatez-vous ? Exercice 20 : Trouver de nouvelles identités remarquables pour (a + b + c)2, pour (a + b)3 et pour (a – b)3 13 DEVELOPPEMENTS, FACTORISATIONS Développons Développer, c’est transformer, si possible, les produits en sommes. Remarque : après avoir développé, il faut toujours penser à réduire et ordonner. Formules pour développer : Produit Somme k(a + b) = (a + b)(c + d) = ka + kb ac + ad + bc + bd (a + b)2 = (a – b)2 = (a + b)(a – b) = a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 a2 – b2 Attention ! Le moins devant la parenthèse ! Exemple : 3 – (x + 5) Il faut savoir qu’il s’agit en fait d’une multiplication par –1 . 3 + (–1)(x + 5) = 3 + (–x) + (–5) = 3 – x – 5 Moralité : on enlève le signe – qui est devant la parenthèse et on change tous les signes à l’intérieur de la parenthèse. Dans l’exemple, le x (qui est +x) devient –x et le +5 devient –5. Attention ! En développant, on peut être amené à rajouter des parenthèses. Exemple : 2(x + 3)(x – 1) = (2x + 6)(x – 1) = … et non pas 2x + 6(x – 1) (car la multiplication est prioritaire sur l’addition) Exercice 21 : Développer les expressions suivantes (penser à simplifier au maximum): 4 2 3x 12 7 x 3 5 3 B 3x 4 x 5 D 7 x 2 x 7 2 x 3 E x 2 5 x 5 A G x 2 4 x 2 x 2 2 2 1 5 H 2 x 2 2 2 C 2 x 4 2 x 4 F 2 x 3 3 x 2 4 x 7 2 I x 1 Exercice 22 : Calculer, puis simplifier au mieux : x 3 2x 1 A x 1 x 1 x2 1 2 x 4 C x 2 x 1 5 4 B 2 x 6 3x 9 14 3 Factorisons Factoriser, c’est transformer les sommes en produits. Formules pour factoriser : Somme Produit ka + kb + kc + … = k(a+b+c...) a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 a2 – b2 = = = (a + b)2 (a – b)2 (a + b)(a – b) Exemples : Le cas facile : quand il y a un facteur commun 7x + 21 = 7x + 73 = 7(x + 3) (x – 2)(2x + 1) + (x – 2)(x + 4) = (x – 2)[(2x + 1) + (x + 4)] = (x – 2)(3x + 5) 4x2 – x = 4xx – 1x = x(4x – 1) 8x2y + 6xy + 4xy3 = 2xy(4x + 3 + 2y2) Quand il y a "presque" un facteur commun Dans l’exemple ci-dessous, on a les facteurs (5x – 2) et (2 – 5x). Ces facteurs sont opposés l’un de l’autre. On peut remplacer l’un des facteurs par son opposé à condition de changer le signe qui est devant le produit : (x + 3)(2 – 5x) + (1 – 4x)(5x – 2) (x + 3)(2 – 5x) – (1 – 4x)(– 5x + 2) (x + 3)(2 – 5x) – (1 – 4x)(2 – 5x) (2 – 5x)[(x + 3) – (1 – 4x)] (2 – 5x)(x + 3 –1 + 4x) (2 – 5x)(5x + 2) Ici, bien penser à changer tous les signes Quand il n’y a pas de facteur commun dans la parenthèse ! = = = = = Alors, c’est qu’il s’agit certainement d’une identité remarquable ! 16x2 + 24x + 9 = (4x + 3)2 (3x + 4)2 – 9 = (3x + 4)2 – 32 = (3x + 4 + 3)(3x + 4 – 3) = (3x + 7)(3x + 1) Exercice 23 : Factorisations faciles : A = 9a + 18 B = 7x – 7y C = 2a + ax E = i – i2 F = 6x – 18y + 12 G = (3x – 2)(4x + 5) – 5(3x – 2) H = (a + 1)(a – 3) + (a + 1)2 D = 4x2 – x I = (x + 3)(5x + 2) – (x + 3)(2x – 1) 15 Exercice 24 : Factorisations un tout petit peu plus dures : A = 19x3y – 38xy4 B = x(x – 1) – (x – 1)(x + 2)x C = (x – 1)2 – (2x + 1)2 D = 4x2 – 3 E = x2 + 2x + 1 F = 3x2 – 3 G = 32x2 – 48x + 18 H = (2x + 3)2 – 16(x – 2)2 I = (x – 1)(2x + 3) – (5x – 5)(2x + 1) J = 3(x – 2)(x + 1) – x2 + 4 K = (x – 1)(2x + 1) – (1 – x)(x + 7) L = (x – 1)(2x + 3) + (5 – 5x)(2x + 1) M = 4x2 – (9 – 6x)(x + 1) – 9 + (2x – 3)(x – 1) N = (2 – 3x)(3 – x) – x2 + 6x – 9 2 2 O = x 9x 6 2x 2 3 16 EQUATIONS ET INEQUATIONS Equations Pour résoudre une équation, on utilise les règles suivantes : Règle 1 : On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une égalité. Si a = b, alors a + c = b + c et a – c = b – c Règle 2 : On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une égalité par un même réel non nul. a b Si a = b et si c 0, alors ac = bc et = c c a c Règle 3 (produit en croix) : Si b 0 et d 0, on a = si et seulement si ad = bc. b d Règle 4 (produit nul) : ab = 0 si et seulement si a = 0 ou b = 0 Un produit est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul. 2 Règle 5 : a = b2 si et seulement si a = b ou a = –b Exemples : 3x + 7 = 9 3x + 7 – 7 = 9 – 7 3x = 2 3x 2 3 3 2 x= 3 Règle 1 : on retranche 7 de chaque côté Règle 2 : on divise par 3 x 1 3 x 2 6 2(3 – x) = 6(x + 1) 6 – 2x = 6x + 6 6 – 2x – 6x = 6x + 6 – 6x 6 – 8x = 6 6 – 8x – 6 = 6 – 6 –8x = 0 8 x 0 8 8 x=0 (2x + 1)(3 – x) = 0 2x + 1 = 0 2x + 1 – 1 = 0 – 1 2x = –1 1 x= 2 Règle 3 : produit en croix Règle 1 : on retranche 6x Règle 1 : on retranche 6 Ici, on est dans le cas de l’équation ax = 0. cf p.4 Règle 2 : on divise par –8 ou ou ou 3–x=0 3–x+x=0+x 3=x ou x=3 17 Règle 4 : produit nul Il est parfois pratique de regrouper les x à droite et non à gauche. Sinon, cela aurait donné : 3–x–3=0–3 Règle 1 –x = –3 (–1)( –x) = (–1)( –3) Règle 2 x=3 Exercice 25 : Equations faciles : x+5=3 4x = 0 x + 12 = 0 –2x = 5 –2x – 30 = 20 2x + = 5 x 1 x 3 2 6 (x – 1)( –2x – 3) = 0 4 5x 2 x 15 x 1 2 x 4 x 1 2 x 5 2 2x = 12 –8x = 16 3x 9 7 14 7 x 2 3 9 –2x – 7 = 4x + 3 5x = –8 3x – 15 = 0 1 x 5 4 2 2 x 2 2 x 30 3 Exercice 26 : Equations un tout petit peu plus difficiles… (x + 1)(3x + 1) = 1 (x – 1)(x – 2) = (x – 1)( –3x + 7) x = x(x – 1) x2 = –4 (1 – 2x)2 = 9 1 x x 2 5 0 x 3 2x 6 3(x – 2)(2x + 1)(x + 2) = 0 (x – 1)(x – 2) = (x – 3)(x – 4) x2 – 2x + 1 = 0 x2 = 4 (x – 2)2 = (3x – 5)2 x 5 x 3 x 2 x 1 2x 1 2x 3 x 1 x2 Inéquations Pour résoudre une inéquation, on utilise les règles suivantes : Règle 1 : on peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une inégalité Si a < b, alors a + c < b + c Règle 2 : on peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre non nul, à condition de changer le sens de l’inégalité si ce nombre est négatif ! a b Si a < b et c > 0, alors ac < bc Si a < b et c > 0, alors c c a b Si a < b et c < 0, alors ac > bc Si a < b et c < 0, alors c c Exemples : 2x – 7 5 2x – 7 + 7 5 + 7 2x 12 2 x 12 2 2 x6 Règle 1 : on ajoute 7 Règle 2 : on divise par 2, qui est positif, donc on ne change pas le signe 18 2 – 3x > 5x + 1 2 – 3x – 2 > 5x + 1 – 2 Règle 1 : on retranche 2. –3x > 5x – 1 –3x – 5x > 5x – 1 – 5x Règle 1 : on retranche 5x –8x > –1 8 x 1 Règle 2 : on divise par –8, qui est négatif, donc on change le signe 8 8 1 x< 8 Exercice 27 : Résoudre les inéquations suivantes : 3x 5 9 2 5 x 2 3x 0 9 x 8 5x 2 2( x 11) 5( x 8) 3x 2( x 7) 2 x 3 x 2 2x 1 1 2x 3 5 3 4 x 5x 2 3 2x 1 x 0 3 6 19 4 2x 1 x( x 1) x 2 3 1 7x 3 ( x 3) 6 8 4