Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr EQUATIONS QUOTIENT – EXERCICES CORRIGES Résoudre dans \ les équations suivantes : 2x + 3 x−5 2 4 8 = = =3 x−2 3 7 x − 7 3x − 3 x −1 2 x − 1 5x − 4 − =0 x+3 5x 2 x + 3 3x + 2 − =0 x−4 x+4 CORRECTION Si l’inconnue figure au dénominateur, il faut d’abord déterminer les valeurs que l’inconnue peut prendre, et éventuellement ne peut pas prendre (en particulier un dénominateur NE PEUT JAMAIS ETRE NUL). Ces valeurs seront appelées VALEURS INTERDITES Puis interviennent les deux règles : Produits en croix Nullité d’une fraction : « Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est a c Si = alors a × d = b × c (produit en croix) nul » b d 2x + 3 =3 x −1 La division par x − 1 impose x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 Alors, pour tout x ≠ 1 , 2x + 3 2x + 3 3 =3⇔ = x −1 x −1 1 ⇔ ( 2 x + 3) × 1 = 3 × ( x − 1) ⇔ 2 x − 3 x = −3 − 3 ⇔ − x = −6 ⇔ x = 6 6 ≠ 1 donc S = {6} x−5 2 = x−2 3 La division par x-2 impose x ≠ 2 Alors, pour tout x ≠ 2 , x−5 2 = ⇔ 3( x − 5) = 2( x − 2) x−2 3 ⇔ 3 x − 2 x = −4 + 15 ⇔ x = 11 11 ≠ 2 4 8 = 7 x − 7 3x − 3 donc En présence d’un quotient, il est impératif d’examiner la(les) valeur(s) qui annule(nt) le dénominateur, valeurs qui seront INTERDITES Ces valeurs ne pourront pas être prises par la variable, donc ne peuvent être en aucune mesure solution de l’équation. On dit que \ \ {1} = ]−∞;1[ ∪ ]1; +∞[ est l’ensemble de définition, ou l’ensemble de validité de l’équation S = {11} Les divisions par 7 x − 7 et 3x − 3 imposent D’où l’utilité de déterminer les valeurs interdites, qui permettent d’«éliminer» x ≠ 1 . Alors, pour tout x ≠ 1 , d’éventuelles solutions. 4 8 = 7 x − 7 3x − 3 ⇔ 4(3 x − 3) = 8(7 x − 7) ⇔ 12 x − 56 x = −56 + 12 ⇔ −44 x = −44 ⇔ x = 1 impossible S =∅ L’équation est définie si et seulement si x ≠ −3 2 x − 1 5x − 4 − =0 et x ≠ 0 . Pour tout x ∈ \ \ {−3;0} , x+3 5x 2x − 1 5x − 4 − =0 5x x+3 ( 2 x − 1) × 5 x − ( x + 3)( 5 x − 4 ) = 0 ⇔ x+3 ⇔ ( 2 x − 1) × 5 x − ( x + 3)( 5 x − 4 ) = 0 On pouvait aussi mettre en œuvre la technique des produits en croix : Pour tout x ∈ \ \ {−3;0} , 2x − 1 5x − 4 2 x − 1 5x − 4 − =0⇔ = x+3 x+3 5x 5x ( 2 x − 1) × 5 x = ( x + 3)( 5 x − 4 ) ⇔ x+3 x+3 (deux fractions égales ayant même (une fraction est nulle si et seulement si son dénominateur ont des numérateurs égaux) numérateur est nul) ⇔ ( 2 x − 1) × 5 x = ( x + 3)( 5 x − 4 ) ⇔ 10 x 2 − 5 x − ( 5 x 2 − 4 x + 15 x − 12 ) = 0 ⇔ ( 2 x − 1) × 5 x − ( x + 3)( 5 x − 4 ) = 0 ⇔ 5 x 2 − 16 x + 12 = 0 2 2 et on retrouve une équations du second degré ⇔ 10 x − 5 x − ( 5 x − 4 x + 15 x − 12 ) = 0 « classique » ⇔ 5 x 2 − 16 x + 12 = 0 Page 1 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr 2 x + 3 3x + 2 L’équation est définie si et seulement si x ≠ −4 et x ≠ 4 . Pour tout x ∈ \ \ {−4;4} , − =0 x−4 x+4 ( 2 x + 3)( x + 4 ) − ( 3x + 2 )( x − 4 ) 2 x 2 + 8 x + 3x + 12 − 3x 2 + 12 x − 2 x + 8 =0⇔ =0 ( x + 4 )( x − 4 ) ( x + 4 )( x − 4 ) ⇔ − x 2 + 21x + 20 =0 ( x + 4 )( x − 4 ) ⇔ − x 2 + 21x + 20 = 0 (une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul) Pour cette dernière équation, on calcule ∆ = ( 21) − 4 × ( −1) × 20 = 441 + 80 = 521 , donc 2 l’équation x2 = admet deux solutions réelles distinctes x1 = −21 − 521 21 + 521 = −2 2 21 + 521 21 − 521 −21 + 521 21 − 521 = . Ainsi S = ; −2 2 2 2 Page 2 et