Fiche d`exercices n°1

Feuille exercices n°1
Remise en route
(Dans cette fiche on utilisera dès que nécessaire le logiciel de calcul formel)
S2 ET
Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur l'ensemble R des nombres réels par f ( x)  e
0 ,5
2 3

a)
Calculer la valeur exacte de l’intégrale J 
1  x  x  dx .
-2x

b)
A
I
c)
l’aide
0 ,5

0 ,5
d’une
intégration
par
0 ,5
parties,


3
calculer
x  1 .
la
valeur
exacte
de
l’intégrale
f x  dx .
Déduire des résultats précédents que J est une valeur approchée de I à 10
Exercice 3 : Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur
par :
(
2
près.
)
f ( x) = x e + e - x .
x
1) Calculer à l’aide d’une intégration par parties la valeur exacte de l’intégrale I =

1
f ( x ) dx .
0
1
2) Calculer la valeur exacte de l’intégrale J =
ò
(2 x + x3 ) dx.
0
3) Vérifier que : | I – J | < 0,02.
Exercice 4 :
On rappelle les formules : cos(n) = (-1)n et sin(n) = 0 pour tout entier n.
Soit un signal électrique défini par la fonction f telle que :
Error!
1) Représenter le signal pour t  [- 3; 3]
2) Calculer Error!f(t)dt. En déduire la valeur moyenne de f sur [- ; ].
3) n est un entier strictement positif.
a) Calculer à l'aide d'une intégration par parties, In = Error!tcos(nt)dt
b) Calculer, à l'aide de deux intégrations par parties successives, J n = Error!t2cos(nt)dt
4) n étant un entier strictement positif, on considère la fonction fn(t) = f(t)sin(nt) sur [- ;].
Etudier la parité de fn, et en déduire la valeur de Error!Error!f(t)sin(nt)dt.
Exercice 5 :
Calculer les intégrales suivantes à l’aide de Maxima (donner les étapes, c'est-à-dire donner une primitive puis donner la
valeur exacte, puis une valeur approchée à 10 –3 près ) puis indiquer quelle serait la méthode à utiliser « à la main »
1)
2)
4)
3)
Exercice 6 :
A. Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) : x y' – 2 y = –
x2 où y est une fonction de la variable x dérivable sur l'intervalle ] 0, +  [ et où y', désigne la dérivée
de y.
1° Résoudre sur ] 0, +  [ l'équation différentielle (E0) : x y' – 2 y = 0.
2° Vérifier que la fonction h définie sur ] 0, +  [ par h(x) = – x2 ln x, est une solution de (E).
3° Déduire du 1° et 2° l'ensemble des solutions de (E).
4° Déterminer la solution f de (E) sur ] 0, +  [ vérifiant la condition f (e) = 0.
B. Etude d'une fonction. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] 0, +  [ par f (x) = x2 (1 – ln x) si x >
0 et f(0) = 0.
On admettra que f est dérivable en 0 et que f ' (0) = 0. On note C la courbe représentative de f dans un
repère orthonormal (O; Error!, Error!) (unité graphique : 6 cm).
1° a) Montrer que, pour tout x de ] 0, +  [, f '(x) = x (1 – 2 ln x).
b) Etudier le signe de 1 – 2 ln x.
c) En déduire le sens de variation de f.
2° Calculer la limite de f (x) lorsque x tend vers +  . On admet que lim;
f(x) = 0.
x0
3° a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Construire la courbe C en précisant les tangentes aux points O, A et B de cette courbe,
d'abscisses respectives 0, e et e.
C. Calcul d'une aire On se propose, dans cette partie, de calculer l'aire de la partie du plan constituée
des points M(x, y) tels que  x  e et 0  y  f (x), où  est un nombre réel positif ou nul donné,
inférieur à e.
1° Soit F la fonction définie sur ] 0, +  [ par : F(x) = Error! x3 – Error! x3 ln x.
Vérifier que F est une primitive de f sur ] 0, +  [.
2° a) On suppose  > 0. Exprimer l'aire cherchée en cm2 en fonction de . On note le résultat A().
b) Calculer la limite de .A() lorsque  tend vers 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
On rappelle que, pour tout nombre entier positif n, lim;
xn ln x = 0.
x0
Exercice 7 :
Partie A – Résolution d’une équation différentielle –
On considère l’équation différentielle :
(E)
y " – y ' – 2 y = (8 – 6 x ) e–x .
où y est une fonction de la variable x, définie et deux fois dérivable sur I; R, y ' sa fonction dérivée
première et y "sa fonction dérivée seconde.
1° Résoudre sur I; R l’équation différentielle :
y"–y'–2y=0
2° Soit h la fonction définie sur I; R par :
h(x) = (x2 – 2x) e–x
Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3° En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E)
4° Déterminer la solution f de l’équation différentielle E qui vérifie les conditions initiales :
f (0) = 1 et f ' (0) = – 3:
– Partie B – Etude d’une fonction –
Soit f la fonction définie sur I; R par f (x) = (x – 1)2 e–x . Sa courbe représentative C dans un repère
orthonormal est donnée sur la figure ci-après.
1°
a) Calculer Error! f (x).
b) Déterminer Error! x2 e–x et Error! x e–x . En déduire Error! f (x).
c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b).
2°
a) Démontrer que, pour tout x de I; R , f '(x) = (x – 1) (3 – x) e–x .
b) Résoudre dans I; R l’inéquation f '(x) > 0.
c) En déduire le sens de variation de f sur I; R .
– Partie C – Calcul intégral –
1° a) La fonction f définie dans la partie B étant une solution de l’équation différentielle (E) :
y " – y ' – 2 y = (8 – 6 x ) e–x
montrer que f vérifie, pour tout x de I; R :
f (x) = Error! [ f " (x) – f ' (x) + (8 – 6 x) e–x .
b) Soit F la fonction définie sur I; R par :
F(x) = Error! [ f ' (x) – f(x) + (2 – 6 x) e–x ]
Vérifier que, pour tout x de I; R ,
F(x) = ( – x2 – 1) e–x .
2° Utiliser ce qui précède pour démontrer que l’aire A de la partie du plan hachurée sur la figure est, en
unité d’aire, A = 1 – Error!:
y
1
0
1
x