Lycée PARDAILHAN Chemin du Baron 32000 AUCH TS1 BACCALAUREAT GENERAL BAC BLANC FEVRIER 2009 MATHEMATIQUES Série : S DUREE DE L’EPREUVE : 4 heures. COEFFICIENT : 7(ou 9) L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La clarté des raisonnements, la qualité de la rédaction et la présentation interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Ce document comporte 5 pages. -1- EXERCICE 1 : 5 points Partie A : Restitution organisée de connaissances. Dans cette partie, on demande au candidat d’exposer des connaissances On suppose connu le résultat suivant : La fonction x ex est l’unique fonction dérivable sur IR telle que ’= , et ( 0 ) = 1 . Soit a un réel donné. 1. Montrer que la fonction f définie sur IR par f(x) = eax est solution de l’équation différentielle y’ = ay. 2. Soit g une fonction dérivable sur IR solution de l’équation différentielle y’ = ay sur IR. Soit h la fonction définie sur IR par h(x) = g(x)e-ax. Montrer que h est une fonction constante. 3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y’= ay. Partie B On considère l’équation différentielle (E) : y’ = 2y + cos x. 1. Déterminer deux nombres réels et tels que la fonction f0 définie sur IR par : f0(x) = cos x + sin x soit une solution de (E) sur IR. 2. Résoudre l’équation différentielle (E0) : y’ = 2y. 3. Démontrer que f est solution de (E) sur IR si et seulement si f – f0 est solution de (E0) sur IR. 4. En déduire l’ensemble des solutions de (E) sur IR. 5. Déterminer la solution de (E) s’annulant en Error!. . -2- EXERCICE 2 : 4 points Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. 1. Une solution de l’équation 2z + Error! = 9 + i a. 3 est : b. i c. 3 + i 2. Soit z un nombre complexe ; z i est égal à : a. z + 1 b. z 1 c. i z 1 3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument . Un argument de a. - Error! + b. Error! + 1 i 3 est : z c. Error! - 4. Soit n un entier naturel. Le complexe ( 3+i )n est un imaginaire pur si et seulement si : a. n = 3 b. n = 6k + 3, avec k relatif c. n = 6k avec k relatif 5. Soient A et B deux points d’affixe respective i et −1. L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant z i z 1 est : a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB] c. la droite perpendiculaire à (AB) passant par O 6. L’ensemble des points M d’affixe z= x+ iy vérifiant a. y= -x+1 b. (x-1)²+y²= z 1 i 3 4i a pour équation : 5 c. (x-1)² + (y+1)²= 25 7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec (Error!,Error!)= Error! est : a. 1-4i b. -3i c. 7+4i 8. L’ensemble des solutions dans I;C de l’équation Error! = z est : a. {1 - i} b. L’ensemble vide c. {1 - i ; 1 + i} -3- EXERCICE 3 : Spécialité 5 points On rappelle que 2003 est un nombre premier. On admet que si p est un nombre premier, alors tout entier a compris entre 1 et p −1 est premier avec p. 1. (a) Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que : 123u +2003v = 1. (b) En déduire un entier relatif k0 tel que : 123k0 1 [2003]. (c) Montrer que, pour tout entier relatif x : 123x 456 [2003] si, et seulement si, x 456k0 [2003]. (d) Déterminer l’ensemble des entiers relatifs x tels que : 123x 456 [2003]. (e) Montrer qu’il existe un unique entier n tel que : 1 n 2002 et 123n 456 [2003]. 2. Soit a un entier tel que : 1 a 2002. (a) Déterminer : PGCD (a, 2003). En déduire qu’il existe un entier m tel que : am 1 [2003]. (b) Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que : 0 x 2002 et ax b [2003]. EXERCICE 3 : Obligatoire 5 points On considère la suite numérique (un) définie sur I; N par : u0 = Error! et, pour tout entier n, un+1 = un (2−un) 1. Soit la fonction f définie sur I; R par f (x) = x(2−x). (a) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur I; R. (b) Justifier que, pour tout x ∈]0 ; 1[, f (x) ∈]0 ; 1[. 2. (a) Calculer u1 et u2. (b) Montrer par récurrence que, pour tout entier n : 0 < un < 1. (c) Montrer que la suite (un) est croissante. 3. On considère la suite numérique (vn) définie sur I; N par : vn = 1−un. (a) Exprimer, pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn. 7 (b) En déduire, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier n : vn = 8 2n (c) En déduire, pour tout entier n une expression de un en fonction de n. (d) Déterminer le plus petit entier n tel que un > 1−10-20. -4- EXERCICE 4 : 6 points On considère la fonction f définie sur I; R+ par : f (x) = Error! On note (C) la courbe représentative de f . 1. Etudier les variations de f . Déterminer la limite de f ( x ) en +∞. 2. On définit la fonction h sur I; R+ par : h ( x ) = f ( x )– x . a. Résoudre l’équation ex − e-x − 2 = 0 ( on pourra poser X = ex) b. En déduire que ex − e-x − 2 = Error! c. Etudier les variations de h. d. Montrer que h admet un minimum m, qui est strictement positif. Calculer m et en donner une valeur approchée à 10-2 près. 3. On définit une suite (Un) de la façon suivante : U0 = 1 et Un+1 = f(Un) pour n entier naturel. a. Montrer que la différence Un+1 – Un peut être minorée par m (calculé en 2.d.). b. Démontrer par récurrence que Un – U0 ≥ n.m c. En déduire la limite de (Un). -5-