Feuille d`exercices – Variables aléatoires discrètes - PCSI

PSI : Mathématiques
2015-2016
Feuille d’exercices – Variables aléatoires discrètes
Espérances et variances
« Soit A un succès dans la vie. Alors A = x + y + z, où x=travailler,
y=s’amuser, z= se taire. »
Albert EINSTEIN (1879-1955)
Exercice 5. On considère une variable aléatoire X à valeurs dans {0, 1, 2}.
On sait que E(X) = 1 et V(X) = 12 . En déduire la loi de X.
Variables aléatoires
Exercice 6. On considère une variable aléatoire réelle X telle que X(Ω) =
1
.
N∗ , et la suite (un )n∈N∗ définie par un = n(n+1)
Exercice 1. Donner l’expression des fonctions de répartition de la loi de
Bernoulli de paramètre 23 et de la loi géométrique de paramètre 34 .
1. Vérifier qu’il existe une probabilité P sur (Ω, T ) telle que, pour tout
n ∈ N∗ , P(X = n) = un .
Exercice 2. On lance deux dés équilibrés à n faces. On note S la somme
des deux dés.
1. Pour tout i ∈ [|1, n + 1|], montrer que P(S = i) = i−1
n2 .
2. Pour tout i ∈ [|n + 2, 2n|], montrer que P(S = i) =
3. Calculer P(S 6 n + 1).
2. Montrer que X n’est pas d’espérance finie.
√
3. Montrer que X est d’espérance finie (on ne cherchera pas à la calculer).
2n−i+1
.
n2
Exercice 7. Soit X une variable aléatoire discrète réelle. On suppose que
X admet un moment d’ordre n ∈ N. Montrer que X admet un moment à
tout ordre k 6 n.
Exercice 3. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ . On suppose
qu’il existe k ∈]0, 1[ vérifiant
P(X = n) = kP(X > n).
Exercice 8. Passe-partout doit se dépêcher d’ouvrir la cellule pour
libérer le prisonnier. Il dispose d’un trousseau de 10 clés à essayer pour
ouvrir la porte (une seule de ces clés l’ouvre et il ne sait pas d’avance
laquelle). Il remet chaque clé dans le trousseau de clés après un essai infructueux. Quel est le nombre moyen d’essais nécessaires pour ouvrir la porte ?
Déterminer la loi de X.
Exercice 4. Batman et Superman font une promenade en voiture mais
ne s’apprécient guère. Batman qui est le chauffeur fait exprès de s’arrêter
régulièrement dans les endroits les plus désertiques. Batman a une chance
sur cinq pour qu’après un tel arrêt, il arrive à partir sans Superman. Soit X
la variable aléatoire égale au nombre d’arrêts nécessaires pour que Batman
puisse perdre Superman dans la nature.
1. Établir la loi de probabilité de X .
2. Calculer la probabilité pour que Batman réussisse son coup au quatrième
arrêt.
3. Quel est le nombre maximum d’arrêts que peut comporter un tel circuit
pour que Superman arrive indemne à destination dans la voiture de
Batman avec une probabilité supérieure à 0.6 ?
Exercice 9. Un élève de PSI passe la terrible épreuve de sport de Polytechnique. Il tente de franchir des hauteurs successives numérotées 1,2,..,n,...
et il a droit à un seul essai par hauteur. On suppose que les sauts sont indépendants les uns des autres et que la probabilité de succès au n−ième saut est
1
∗
n pour tout n ∈ N . Il s’arrête au premier saut raté. On note X la variable
aléatoire égale au numéro du dernier saut réussi.
1. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , pn = P(X = n) =
2. Calculer E(X + 1). En déduire E(X).
1
n
(n+1)! .
Lois usuelles
1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre
1
p. Calculer E( X
).
2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre
1
).
λ > 0. Calculer Calculer E( X+1
Exercice 10. Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes. On suppose que X et Y suivent une même loi géométrique de paramètre p et q.
1. Déterminer P(X > n) pour n ∈ N.
Couple de variables, covariance et indépendance
2. En déduire la loi de Z = min(X, Y ).
Exercice 14. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant
les lois géométriques de paramètres p et q > 0. Quelle est la probabilité que
la matrice suivante soit diagonalisable ?
X 1
.
0 Y
3. Observer que la loi de Z est géométrique.
4. Calculer l’espérance de W = max(X, Y ).
Exercice 11. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale
négative de paramètres n et p si
k−1 n
X(Ω) = {n, n + 1, ...} et P(X = k) =
p (1 − p)k−n .
n−1
Exercice 15. Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N.On
suppose que la loi conjointe de X et Y vérifie
a
P(X = j, Y = k) =
, avec a ∈ R.
j!k!
1. Soit X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une
loi géométrique de paramètre p. Montrer que X1 + . . . + Xn suit une loi
binomiale négative de paramètres n et p.
1. Déterminer la valeur de a.
2. reconnaître les lois marginales de X et Y .
3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
2. En déduire l’espérance et la variance d’une loi binomiale négative de
paramètres n et p.
Exercice 16. Une urne contient sept jetons portant les numéros
0, 1, 1, 1, 2, 2, 3. On tire sans remise deux jetons dans l’urne. On appelle X
la variable aléatoire qui donne le numéro du premier jeton et Y celui du
deuxième jeton.
1. Quelle est la loi jointe du couple (X, Y ) ?
2. Quelle est la première marginale, c’est-à-dire la loi de X ?
3. Vérifier que les deux marginales sont égales.
4. Les variables X et Y sont indépendantes ?
Exercice 12. [CCP 2015, PC] Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P) et mutuellement indépendantes. On admet que dans ce cas, pour tout n > 2, X1 + . . . + Xn et
Xn+1 sont indépendantes. On suppose de plus que pour tout n ∈ N∗ , Xn suit
n
P
la loi de Poisson de paramètre 1. On pose pour tout n ∈ N∗ , Sn =
Xk et
k=1
Sn − n
= √ .
n
1. Montrer que Sn suit une loi de Poisson de paramètre n et en déduire son
espérance et sa variance.
Sn∗
2. Déterminer l’espérance et la variance de
Exercice 17. On suppose que le nombre N d’enfants d’une famille suit une
loi de Poisson de paramètre λ > 0. Á chaque naissance, on suppose que la
probabilité que l’enfant soit une fille est p ∈]0, 1[ et celle que ce soit un garçon
est q = 1 − p et que les sexes des naissances successives sont indépendants.
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par famille
et Y celle du nombre de garçons.
Sn∗ .
3. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , P(Sn∗ 6 0) = e−n
n nk
P
.
k=0 k!
Exercice 13.
2
1. Déterminer la loi conjointe du couple (N, X).
2. Quelle est la loi de X, de Y ?
1. Quelles sont les valeurs prises par la variable X ? par la variable Y ?
2. Quelle est la loi de Y conditionnellement à X = 3 ?
3. Quelle est la loi jointe du couple (X, Y ) ? On pourra la représenter sous
forme d’un tableau.
Exercice 18. [Entropie] Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un
ensemble fini X . Pour chaque valeur x ∈ X , on pose
4. En déduire la loi de Y .
p(x) = P(X = x).
5. Calculer la covariance du couple (X, Y ). Pouvait-on prévoir son signe ?
6. Par l’argument de votre choix, justifier que X et Y ne sont pas indépendantes.
On appelle entropie de la variable X le réel
X
H(X) = −
p(x) log p(x).
Exercice 20. Un péage autoroutier comporte deux barrières. Le nombre
de voiture arrivant à ce péage par jour suit une loi de Poisson de paramètre
λ > 0 et chaque voiture choisit arbitrairement et indépendamment des autres
de franchir l’une ou l’autre des deux barrières. On note X1 et X2 les variables
aléatoires déterminant le nombre de voitures franchissant chacune des deux
barrières dans une journée.
x∈X
où l’on convient que 0 log 0 = 0.
1. Vérifier que H(X) est un réel positif. Á quelle condition celui-ci est-il
nul ?
2. Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis
X et Y. On appelle entropie conjointe de X et Y , l’entropie de la variable
Z = (X, Y ) simplement notée H(X, Y ). On suppose que les variables X
et Y indépendantes, vérifier
1. Déterminer la loi de X1 .
2. En exploitant X1 + X2 , calculer la covariance de X1 et X2
3. Montrer que les variables aléatoires X1 et X2 sont en fait indépendantes.
H(X, Y ) = H(X) + H(Y ).
Fonctions génératrices
3. On appelle entropie de X sachant Y la quantité
Exercice 21. [CCP 2015, MP] Soit X une variable aléatoire qui suit une
loi de Poisson de paramètre λ > 0. Déterminer sa fonction génératrice, puis
en déduire son espérance et sa variance.
H(X|Y ) = H(X, Y ) − H(Y ).
Vérifier que
H(X|Y ) =
X
P(Y = y)H(X|Y = y),
y∈Y
Exercice 22. On considère deux variables aléatoires indépendantes suivant
chacune une loi de Poisson de paramètres respectifs λ et µ. Montrer en
utilisant les fonctions génératrices que Z = X + Y suit une loi de Poisson
dont on précisera le paramètre.
avec
H(X|Y = y) = −
X
P(X = x|Y = y) log P(X = x|Y = y).
x∈X
Exercice 23. Soit X1 , . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement
indépendantes à valeurs dans N. On note G1 , . . . , Gn leurs fonctions génératrices respectives. Calculer, pour (λi )16i6n ∈ Rn , la fonction génératrice de
Y = λ1 X1 + . . . + λn Xn .
Exercice 19. Une espèce d’antilope peut avoir des portées de 1 à 4 petits.
La portée se compose d’un seul petit avec probabilité 3/10, 2 petits avec
probabilité 1/5, 3 petits avec probabilité 1/2. Mais la loi de la jungle est dure
et chaque petit n’a qu’une chance sur 3 de survivre jusqu’â l’âge de un an,
et ce indépendamment du devenir des autres petits. On note X le nombre de
petits dans une portée et Y le nombre de petits d’une portée qui arrivent à
l’âge de un an.
Exercice 24. [Centrale 2015, PSI] Soit N et X1 , . . . des variables aléatoires
indépendantes à valeurs dans N. On suppose que les variables aléatoires X1 , . . .
3
suivent toutes une même loi de fonction génératrice GX et on pose
S=
N
X
directement et en utilisant une approximation.
Exercice 27. Gauthier jette 3600 fois un dé. Minorer la probabilité que le
nombre d’apparitions du 1 soit compris strictement en 480 et 720.
Xk .
k=1
Exercice 28. [Théorème d’approximation de Weierstrass, CCP MP, 2015]
Soit f : [0, 1] → R une fonction continue, n un entier naturel non nul et x ∈
n
k k
P
n
n−k
[0, 1]. On pose Bn (f )(x) =
(polynôme de Bernstein).
k f ( n )x (1−x)
1. Établir GS (t) = GN (GX (t)) pour |t| 6 1.
2. On suppose que les variables admettent une espérance. Établir l’identité
de Wald
E(S) = E(N )E(X1 ).
k=0
1. Soit Sn une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale B(n, x).
(a) Démontrer que pour tout réel α > 0, P(|Sn − nx| > nα) 6
Inégalités, approximations
1
4nα2 .
(b) Soit la variable aléatoire f ( Snn ), démontrer que son espérance vérifie :
Sn
E f ( ) = Bn (f )(x).
n
Exercice 25. Une usine confectionne des pièces dont une proportion p est
défectueuse. On effectue un prélèvement de n pièces et Zn est la variable
aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans ce prélèvement. On fait
une approximation, ensuite, de p par la proportion Znn de pièces défectueuses
sur cet échantillon. (On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, donc qu’il peut-être considéré comme une suite de n tirages
indépendants avec remise.)
2. (a) Soit ε > 0, justifier simplement qu’il existe α > 0 tel que pour
tout couple (a, b) ∈ [0, 1]2 , |a − b| 6 α entraîne |f (a) − f (b)| < ε,
puis majorer |f ( nk ) − f (x)| pour tout entier k entre 0 et n vérifiant
| nk − x| 6 α.
1. Quelle est la loi de Zn ?
(b) Justifier que
X
k
Sn
(f ( ) − f (x))P(Sn = k) 6 2||f ||∞ P |
− x| > α .
n
n
2. En déduire sa moyenne et sa variance.
3. Montrer que ∀ε > 0
k
−x|>α
|n
Zn
lim P |
− p| < ε = 1.
n→+∞
n
(c) Démontrer qu’il existe un entier naturel n0 tel que pour tout n > n0
et tout réel x ∈ [0, 1],|Bn (f )(x) − f (x)| 6 2ε puis conclure.
En déduire une condition sur n pour que l’approximation utilisée donne
une valeur approchée de p à 10−2 près avec une probabilité supérieure
ou égale à 95%.
Exercice 26. [Surbooking] Des études effectuées par une compagnie
aérienne montrent qu’il y a une probabilité 0.05 qu’un passager ayant fait
une réservation ne vienne pas à l’aéroport. Un étudiant admissible de PSI
doit monter à Paris passer un oral. L’avion qu’il va prendre a 90 places
et il a été vendu 94 billets. Quelle est la probabilité pour qu’il puisse
y avoir un problème à l’embarquement ? (On suppose que les passagers
sont indépendants les uns des autres). On fera les calculs de deux façons,
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