Cours de 3ème
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Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre GM1 : Agrandissement-réduction 1/ Homothéties 2/ Effet sur les angles d’un agrandissement ou d’une réduction 3/ Effet sur les aires et volumes d’un agrandissement ou d’une réduction 1/ Homothéties a/ Définition On appelle homothétie de centre O et de rapport k (k nombre non nul) la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que : O, M et M' sont alignés ; Si k > 0 Si k < 0 O n'appartient pas au segment [MM'] et OM' = k x OM O appartient au segment [MM'] et OM' = -k x OM Exemple : M' x x M x O x M" M' est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport 2. M" est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport - 2. b/ Propriété C’ Image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 2. A’ B’ C A B Le triangle A’B’C’ est un agrandissement du triangle ABC (coefficient = 2). On peut encore dire que : Le triangle ABC est une réduction du triangle A’B’C’ (coefficient = 1/2). O 1 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Propriété : Une homothétie de rapport k permet d'agrandir ou de réduire une figure. Le coefficient d'agrandissement ou de réduction est alors : égal à k si k > 0 ; égal à l'opposé de k si k<0. 2/ Effet sur les angles d’un agrandissement ou d’une réduction Propriété : Au cours d’un agrandissement ou d’une réduction, les mesures des angles sont conservées. 3/ Effet sur les aires et volumes d’un agrandissement ou d’une réduction Propriété : Si , au cours d’un agrandissement ou d’une réduction, les dimensions d’une figure sont toutes multipliées par un même nombre k>0, alors les aires sont multipliées par k2 et les volumes par k3. Illustration : A A’ D B B’ C’ C Le rectangle ABCD a des dimensions triples de celles de A’B’C’D. Son aire est égale à 9 fois celle de ABCD (9=3²). Le grand cube a pour longueur d’arête le double de celle du petit cube. Son volume est égale à 8 fois celui du petit cube (23=8). 2 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre G1 : Le théorème de Thalès et sa réciproque 1/ Agrandissement - réduction 2/ Le théorème de Thalès 3/ Des applications du théorème de Thalès a/ Calcul d’une longueur b/ Prouver que deux droites ne sont pas parallèles 4/ La réciproque du théorème de Thalès a/ Enoncé b/ Un exemple 1/ Agrandissement - réduction Agrandir ou réduire une figure consiste à multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k strictement positif. Vocabulaire : Si k>1, la figure est agrandie. Il s'agit d'un agrandissement. Le nombre k s'appelle alors le coefficient d'agrandissement. Si 0<k<1, la figure est réduite. Il s'agit d'une réduction. Le nombre k s'appelle alors le coefficient de réduction. Si k = 1, la figure est reproduite. Il s'agit d'une reproduction. 2/ Le théorème de Thalès THEOREME DE THALES : Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en un point A. Soient B et M deux points de la droite (d) distincts de A. Soient C et N deux points de la droite (d’) distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : Autre formulation : Dans les conditions d’application de la propriété précédente, le tableau : Côtés de AMN Côtés de ABC Sur droite (d) Sur droite (d') Droites parallèles AM AB AN AC MN BC est un tableau de proportionnalité. 3 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Configurations possibles : * Le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN (toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre supérieur à 1). A M * Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC (toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre compris entre 0 et 1). N B * Les triangles ABC et AMN ont les mêmes angles. C (d) (d’) A * Le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC (toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre supérieur à 1). C B N * Le triangle ABC est une réduction du triangle AMN (toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre compris entre 0 et 1). M * Les triangles ABC et AMN ont les mêmes angles. (d’) (d) (d) (d’) * Le triangle AMN est un agrandissement ou une réduction du triangle ABC (selon les mesures de la figure). C B * Les triangles ABC et AMN ont les mêmes angles. A M N 3/ Des applications du théorème de Thalès a/ Calcul d’une longueur On considère la figure suivante : (d) (d’) (BC) // (MN). C B On donne : 5 4 A ? N AB = 4 ; AM = 6 ; AC = 5. 6 M Calculer AN. 4 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Les droites (BM) et (NC) sont sécantes en A. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : On remplace : On en déduit que : AN = =7,5 (d'après l'égalité des produits en croix) Autre façon de rédiger : Les droites (BM) et (NC) sont sécantes en A. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On peut affirmer que le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC. Le coefficient d’agrandissement est déterminé par le rapport : 1,5. Ainsi, les côtés du triangle AMN sont 1,5 fois plus grands que ceux du triangle ABC. En particulier : AN = 1,5 x AC = 1,5 x 5 = 7,5. b/ Prouver que deux droites ne sont pas parallèles On considère la figure suivante : A On donne : M N B C AB = 5 ; AM = 4 ; AC = 4,8 ; AN = 3,2. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? (d’) (d) Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A. On a : , , On constate que : . Or, d’après le théorème de Thalès, si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, on aurait : . Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. 5 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai 4/ La réciproque du théorème de Thalès a/ Enoncé RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES : Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en un point A. Soient B et M deux points de la droite (d) distincts de A. Soient C et N deux points de la droite (d’) distincts de A. Si et si les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les points A, N et C, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. b/ Un exemple (d) (d’) C B 4 5,2 On donne : A 6,5 5 AB = 4 ; AM = 5 ; AC = 5,2 ; AN = 6,5. M N (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Les droites (BM) et (NC) sont sécantes en A. On a : 1,25. , , On constate que : 1,25. . De plus : A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles. Remarque : Vérifier l’égalité des rapports ne suffit pas. Il est indispensable de vérifier l’ordre des alignements de points. Par exemple : 6 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai M’ A On donne : M’ est le symétrique de M par rapport à A. N M B AB = 5 ; AM = 4 ; AC = 3,75 ; AN = 3. C On a : 0,8. , 0,8. On constate que : . De plus : A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles. M’ étant le symétrique de M par rapport à A, AM’ = AM = 4. On a : 0,8. , 0,8. On constate que : . Cependant, A, M’ et B ne sont pas alignés dans le même ordre que A, N et C. On constate sur la figure que les droites (M’N) et (BC) ne sont pas parallèles. 7 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre G2 : Triangles semblables 1/ Définition 2/ Longueurs des côtés de triangles semblables 3/ Cas particuliers : configurations de Thalès 1/ Définition 2/ Longueurs des côtés de triangles semblables 8 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai 3/ Cas particuliers : configurations de Thalès 9 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre G3 : Trigonométrie 1/ Cosinus et sinus d’un angle aigu a/ Définitions et notations b/ Relation trigonométrique c/ Remarques d/ Utilisation d’une calculatrice 2/ Tangente d’un angle aigu a/ Définition et notation b/ Remarques c/ Utilisation d’une calculatrice 3/ Trigonométrie dans un triangle rectangle a/ Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle b/ Sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle c/ Tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle 4/ Applications a/ Calcul d’une longueur b/ Calcul d’un angle 1/ Cosinus et sinus d’un angle aigu a/ Définitions et notations On se place dans le plan muni d’un repère orthogonal (O ; I , J) tel que OI OJ 1. On appelle quart de cercle trigonométrique le quart de cercle défini par : - son centre est l’origine du repère O ; - son rayon est égal à 1 ; - ses extrémités sont les points I et J. Le cosinus d’un angle aigu α est l’abscisse du point M appartenant au quart de cercle trigonométrique tel que IÔM α. Le sinus d’un angle aigu α est l’ordonnée du point M appartenant au quart de cercle trigonométrique tel que IÔM α. Le cosinus d’un angle α se note cos α et son sinus sin α. J sin M 1 O Exemples : cos 60° = 0,5 sin 60° 0,87 cos I cos 30° 0,87 sin 30° = 0,5 (cos 0°= 1 et cos 90° = 0) (sin 0°= 0 et sin 90° = 1) 10 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai b/ Relation trigonométrique (conséquence du théorème de Pythagore) cos²α + sin²α 1 c/ Remarques Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. Plus un angle aigu est grand, plus son cosinus est petit et plus son sinus est grand. A tout nombre x compris entre 0 et 1, on peut associer un unique angle aigu dont le cosinus est égal à x. A tout nombre x compris entre 0 et 1, on peut associer un unique angle aigu dont le sinus est égal à x. d/ Utilisation d’une calculatrice (dite scientifique) Pour calculer le cosinus d’un angle, on utilise la touche cos . Pour calculer un angle aigu dont on connaît le cosinus, on utilise la touche 2nde cos Pour calculer le sinus d’un angle, on utilise la touche sin . Pour calculer un angle aigu dont on connaît le sinus, on utilise la touche 2nde sin . Exemples d’utilisation : Compléter les tableaux (arrondir à un centième près) Angle aigu 10° 30° 36,87° 41,41° 45° 60° 72,54° 84,26° Erreur 0,98 0,87 0,8 0,75 0,71 0,5 0,3 0,1 1,5 cos Angle aigu 10° 30° 33,37° 36,87° 45° 60° 64,16° 82° 0,17 0,5 0,55 0,6 0,71 0,87 0,9 0,99 sin Erreur 2 2/ Tangente d’un angle aigu a/ Définition et notation La tangente d’un angle aigu α est le nombre noté tan α et défini par : tan α b/ Remarques La tangente d’un angle aigu est un nombre positif. Plus un angle aigu est grand, plus sa tangente est grande. A tout nombre x positif ,on peut associer un unique angle aigu dont la tangente est égale à x. 11 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai c/ Utilisation d’une calculatrice Pour calculer la tangente d’un angle, on utilise la touche tan . Pour calculer un angle aigu dont on connaît la tangente, on utilise la touche 2nde tan Exemple d’utilisation : Compléter le tableau (arrondir à un centième près) Angle aigu tan 15° 0,27 45° 1 47,73° 56,31° 60° 1,1 1,5 1,73 80° 5,67 71,57° 78,69° 89° 3 5 57,29 3/ Trigonométrie dans un triangle rectangle (SOH CAH TOA) a/ Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle Si α désigne un angle aigu d’un triangle rectangle, alors : côté adjacent à α cos α = hypoténuse Exemple : B ^ cos B Hyp ^ Adj B BA BC ^ CA CB et cosC et ^ AB sin C BC ^ Adj C C A b/ Sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle Si α désigne un angle aigu d’un triangle rectangle, alors : côté opposé à α sin α = hypoténuse Exemple : B ^ Opp C ^ AC sin B BC Hyp ^ Opp B C A c/ Tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle Si α désigne un angle aigu d’un triangle rectangle, alors : côté opposé à α tan α = côté adjacent à α 12 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Exemple : B ^ AC tan B BA Adj B^ = Opp C^ Opp B^ = Adj C^ A ^ AB tan C CA et C 4/ Applications a/ Calcul d’une longueur Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle permettent, dès lors que l’on connaît la longueur d’un côté d’un triangle rectangle et un angle aigu de celui-ci, de calculer la longueur de n’importe quel côté de ce triangle. Par exemple : E 30° 5 cm Méthode: Calcul: Ê =30° sin Ê = EM = 5 cm M ML = ? ? Hyp sin 30° = ^ 0,5 = OppE On s’oriente vers sinus. ML = 5 x 0,5 = 2,5 cm L b/ Calcul d’un angle Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle permettent, dès lors que l’on connaît les longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle, de calculer tout angle de ce triangle. Par exemple : F 3 cm Calcul: Ê=? tan Ê = DF = 3 cm ED = 5 cm ? D Méthode: 5 cm OppE^ ^ tan Ê = AdjE Ê E = 0,6. 31° (arctan 0,6). On s’oriente vers tangente. 13 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre G4 : Géométrie dans l’espace 1/ Sections d’un pavé droit 2/ Sections d’un cylindre de révolution 3/ Sections d’une pyramide GEOSPACE 4/ Sections d’un cône de révolution Définition : On considère un solide coupé par un plan P. La surface plane obtenue s’appelle la section du solide par le plan P. 1/ Sections d’un pavé droit La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle superposable à cette face. La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle. 2/ Sections d’un cylindre de révolution La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à l’axe du cylindre est un disque de même rayon que la base. La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à l’axe du cylindre est un rectangle. 14 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai 3/ Sections d’une pyramide Pyramide régulière à base carrée Tétraèdre Sommet Sommet h H La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une réduction du polygone de base. Le coefficient de réduction est égal à : h/H. Après section, on obtient deux solides : une pyramide réduite (rapport h/H) et un tronc de pyramide . 4/ Sections d’un cône de révolution Sommet h H La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un disque qui est une réduction du disque de base. Le coefficient de réduction est égal à : h/H. Après section, on obtient deux solides : - un cône réduit (rapport h/H) ; - un tronc de cône. 15 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre N1 : Calculs avec des puissances 1/ Priorités de calculs 2/ Propriétés des puissances 3/ Ecriture scientifique des nombres décimaux 1/ Priorités de calculs Il demeure vrai que les calculs entre parenthèses sont prioritaires. En l’absence de parenthèses, on effectue dans l’ordre: le calcul des puissances, les multiplications et les divisions, les additions et les soustractions. Exemple : 4 + 32 - 23 5 = 4 + 9 - 8 5 = 4 + 9 - 40 = 13 - 40 = - 27 2/ Propriétés des puissances a et b étant deux nombres relatifs non nuls, m et n étant deux nombres entiers relatifs, on a les propriétés : Produit de puissances d’un même nombre : a m a n a m n Quotient de puissances d’un même nombre : am a m n an Puissance d’un produit : (ab) n a n b n Puissance d’un quotient : n an a n b b Puissance d’une puissance : (a m ) n = a m n 16 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai 3/ Ecritures d’un nombre décimal à l’aide des puissances de dix a/ Produits d'un nombre décimal et d'une puissance de dix Multiplier un nombre décimal par 10, 10² , 103 ... revient à déplacer la virgule respectivement d’un, deux, trois ...rangs vers la droite (en ajoutant éventuellement un ou plusieurs zéro(s)). Multiplier un nombre décimal par 10-1, 10-2 , 10-3 ... revient à déplacer la virgule respectivement d’un, deux, trois ...rangs vers la gauche (en ajoutant éventuellement un ou plusieurs zéro(s)). Exemples : 7,65 x 103 = 7650 4,32 x 10-2 = 0,0432 b/ Ecriture scientifique d’un nombre décimal Un nombre décimal peut s’écrire de plusieurs façons sous la forme a x 10 n (a étant un nombre décimal et n un entier relatif). Par exemple : 1820,75 = 182,075 x 10 = 18,2075 x 102 = 1,82075 x 103 = 18207,5 x 10-1 = 182075 x 10-2 Parmi ces écritures, on appelle écriture scientifique celle dans laquelle a s’écrit avec un seul chiffre différent de 0 avant la virgule. Ainsi : 1,82075 x 103 est l’écriture scientifique du nombre 1820,75. c/ Produits et quotients de nombres de la forme a x 10 n Exemples : (2,7 x 103) x (4 x 105) = (2,7 x 4) x 10 3+5 = 10,8 x 108 (4,2 x 102) : (0,5 x 10 -1) = (4,2 : 0,5) x 10 2 – (- 1) = 8,4 x 103 d/ Utilisation d’une calculatrice Nombres à introduire séquences calculatrice 12 x 105 12 x 10 n 5 13 x 10-4 13 x 10 n - 4 106 1 x 10 n 6 Selon le modèle de calculatrice, la touche x 10 n peut être remplacée par x 10 x . 17 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre N2 : Les nombres premiers 1/ Définition 2/ Décomposition en produit de facteurs premiers 3/ Fraction irréductible 1/ Définition Un nombre premier est un nombre entier différent de 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et luimême. Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 2/ Décomposition en produit de facteurs premiers Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l'ordre près. Une méthode de décomposition : On cherche les diviseurs premiers dans l'ordre croissant. Exemple : décomposition de 112 en facteurs premiers 168 est divisible par 2 : 168 = 2 x 84 84 est divisible par 2 : 84 = 2 x 42 42 est divisible par 2 : 42 = 2 x 21 21 est divisible par 3 : 21 = 3 x 7 7 étant premier, la décomposition de 168 est terminée. 168 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7 = 23 x 3 x 7. 3/ Fraction irréductible a/ Définition d'une fraction irréductible Une fraction irréductible est une fraction que l’on ne peut pas simplifier. Dire qu’une fraction est irréductible revient à dire que son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1. b/ Rendre irréductible une fraction Pour écrire une fraction sous sa forme irréductible, on peut décomposer son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers. Exemple : 210 2 3 5 7 2 7 14 165 3 5 11 11 11 18 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre N3 : Calcul littéral 1/ Développer un produit de la forme (a + b) (c + d) 2/ Identités remarquables a/ Carré de la somme de deux nombres b/ Carré de la différence de deux nombres c/ Produit de la somme de deux nombres et de leur différence Avant de débuter ce chapitre, il conviendra de réinvestir des notions de calcul littéral telles que : * Simplifications de produits ; * Puissances et propriétés ; * Développements et factorisations ; * Réductions d’expressions littérales. 1/ Développer un produit de la forme (a + b) (c + d) (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples : Développer puis réduire l’expression (2x + 4) (3x + 2) Développer puis réduire l’expression (3x – 2) (4x + 5) Développer puis réduire l’expression (x – 2) (2x – 3) Développer puis réduire l’expression (2x – 3)² 2/ Identités remarquables a/ Carré de la somme de deux nombres a et b désignant deux nombres, on a l’égalité : (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² Exemple 1 : développer l’expression E (3x + 4)² E est une expression de la forme (a + b)² avec a = 3x et b = 4. E = (3x)² + 2 x (3x) x 4 + 4² = 9x² + 24x + 16. Exemple 2 : factoriser l’expression F = x² + 8x + 16 F est une expression de la forme a² + 2ab + b² avec a = x et b = 4. F = (x + 4)². 19 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai b/ Carré de la différence de deux nombres a et b désignant deux nombres, on a l’égalité : (a – b) ² = a ² – 2ab + b ² Exemple 1 : développer l’expression G = (x – 5)² G est une expression de la forme (a – b)² avec a = x et b = 5. G = x² – 2 x x x 5 + 5² = x² – 10x + 25. Exemple 2 : factoriser l’expression H = 4x² – 12x + 9 H est une expression de la forme a² – 2ab + b² avec a = 2x et b = 3. H = (2x – 3)². c/ Produit de la somme de deux nombres et de leur différence a et b désignant deux nombres, on a l’égalité : (a + b) (a – b) = a ² – b ² Exemple 1 : développer l’expression I = (2x + 3) (2x – 3) I est une expression de la forme (a + b) (a – b) avec a = 2x et b = 3. I = (2x)² – 3² = 4x² – 9 Exemple 2 : factoriser l’expression J 9x² – 25 J est une expression de la forme a² – b² avec a = 3x et b = 5. J = (3x + 5) (3x – 5). 20 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre N4 : Résolution d'une équation, problèmes 1/ Des équations à une inconnue a/ Définitions b/ Méthode de résolution c/ Exemples de résolution d’équations 2/ Résolution d’un problème 3/ Equation produit nul à une inconnue a/ Définition b/ Méthode de résolution c/ Exemple d/ Cas particulier : résolution de l’équation x² = a (x inconnue, a donné) 1/ Des équations à une inconnue a/ Définitions Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre. Résoudre une équation à une inconnue, c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue pour lesquelles l’égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation. b/ Méthode de résolution (des équations du premier degré à une inconnue) Propriétés des égalités : Une égalité est conservée lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres. Une égalité est conservée lorsqu’on multiplie ou on divise chacun des deux membres par un même nombre non nul. Une méthode de résolution de l’équation : étant des nombres donnés) ax + b = cx + d d'inconnue x (a, b, c et d En utilisant les propriétés des égalités : On regroupe les termes " en x " dans un membre ; On regroupe les termes constants dans l’autre membre ; On résout l’équation de la forme : Ax = B. On conclut. 21 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai c/ Exemples de résolution d’équations Ex 1 : 6x + 3 = - 4x + 23 + 4x + 4x () 10x + 3 = 23 -3 - 3 () 10x = 20 x = 20 /10 = 2 L’équation 6x + 3 () -4x + 23 a une solution : 2. () Ex 2 : 3x + 7 = 7x + 9 - 7x - 7x () - 4x + 7 = 9 -7 - 7 () - 4x = 2 x = 2 / -4 = - 0,5 L’équation 3x + 7 () 7x + 9 a une solution : - 0,5. () 2/ Résolution d’un problème Certains problèmes peuvent se résoudre en posant une équation, ce qui facilite souvent leur résolution. La démarche à suivre est alors la suivante : Le choix de l’inconnue ( après avoir lu l’énoncé du problème et cerné ce qui est recherché) ; La mise en équation ( qui traduit l’énoncé du problème) ; La résolution de l’équation précédemment posée ; Le retour au problème (apporter une réponse rédigée aux questions). Exemples: Ex 1 : Un rectangle a pour périmètre 27 cm. Sa longueur est double de sa largeur. Déterminer les dimensions de ce rectangle. On pose x = largeur (en cm) de ce rectangle. Exprimons le périmètre en fonction de x. Périmètre = (x + 2x) x 2 = 3x x 2 = 6x. D’où l’équation : 6x = 27. x = 27/6 = 4,5. Le rectangle a pour dimensions 4,5 cm et 9 cm. Ex 2 : A l’occasion d’un petit déjeuner organisé dans son club de basket, Tony a acheté 2 croissants et 11 pains au chocolat. La veille, pour le même montant, il avait acheté 11 croissants et 3 pains au chocolat. Sachant qu’un pain au chocolat coûte 0,90€, calculer le prix d’un croissant. 22 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai On pose x prix (en €) d’un croissant. Exprimons le coût (en €) de chaque petit déjeuner en fonction de x. 2 x x + 11 x 0,90 = 2x + 9,90 11 x x + 3 x 0,90 = 11x + 2,70 D’après l’énoncé, les coûts sont les mêmes. D’où l’équation : 2x + 9,90 = 11x + 2,70 2x + 9,90 = 11x + 2,70 -11x -11x - 9x + 9,90 = 2,70 -9,90 -9,90 -9x = -7,20 x = -7,20/-9= 0,80. Un croissant coûte 0,80€. 3/ Equation produit nul à une inconnue a/ Définition Une équation produit nul à une inconnue x est une équation de la forme A(x) x B(x) =0, A(x) et B(x) désignant des expressions fonctions de x . En classe de 3ème, on étudiera les équations produit nul de la forme : (ax + b)(cx + d) = 0 (x inconnue, a, b, c et d étant des nombres donnés). b/ Méthode de résolution Propriété : Dire qu'un produit est nul revient à dire que l’un, au moins, de ses facteurs est nul. Résolution de l’équation produit nul : (ax + b)(cx + d) = 0 (x inconnue, a, b, c et d étant donnés) On utilise la propriété précédente : (ax + b)(cx + d) = 0 revient à dire que ax + b = 0 ou cx +d = 0. On résout chacune des équations : ax + b = 0 cx + d = 0 On conclut. c/ Exemple Résoudre l’équation : (3x – 2)(2x + 1) = 0. (3x – 2)(2x + 1) = 0 revient à dire que 3x – 2 = 0 ou 2x + 1 = 0. 3x – 2 = 0 3x = 2 x = 2/3 2x + 1 = 0 2x = - 1 x = -1/2 L’équation (3x – 2)(2x + 1) = 0 admet deux solutions : 2/3 et -1/2. 23 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai d/ Cas particulier : résolution de x² = a (x inconnue, a donné) Si a < 0 : L’équation x² a n’ a pas de solution. Si a = 0 : L’équation x² 0 a une solution unique qui est x Si a > 0 : x² = a. x² = ( )² x² - ( )² = 0 (x - )(x + ) = 0 L’équation x² = a admet deux solutions : et 0. . Exemples : * L’équation x² = - 5 n’a pas de solution. En effet : ² 0 pour tout x. * L’équation x² = 9 a deux solutions : x = 9 3 et x = En effet : 3² = 9 et (- 3)² = 9. * L’équation x² = 7 a deux solutions : x = 7 et x = 7. En effet : ( 7)² = 7 et (- 7)² = 7. 9 3. 24 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre N5 : Inéquations 1/ Définition d’une inégalité 2/ Inégalités et opérations a/ Effet d’une addition (et soustraction) b/ Effet d’une multiplication (et division) 3/ Des inéquations à une inconnue a/ Définitions b/ Méthode de résolution c/ Exemples de résolution d’inéquations d/ Exemples de résolution de problèmes 1/ Définition d’une inégalité Une inégalité est une écriture permettant de comparer deux nombres appelés les membres de l’inégalité. Il existe deux types d’inégalité : Les inégalités strictes : a b signifie que a est différent de b. a < b signifie que a est strictement inférieur à b. a > b signifie que a est strictement supérieur à b. Les inégalités larges : a b signifie que a est inférieur ou égal à b. a b signifie que a est supérieur ou égal à b. 2/ Inégalités et opérations a/ Effet d’une addition (et soustraction) Dans une inégalité, l’ordre reste le même si on ajoute ou si on soustrait un même nombre aux deux membres. b/ Effet d’une multiplication (et division) Dans une inégalité : l’ordre reste le même si on multiplie ou si on divise les deux membres par un même nombre strictement positif ; l’ordre est inversé si on multiplie ou si on divise les deux membres par un même nombre strictement négatif. 3/ Des inéquations à une inconnue a/ Définitions 25 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre. Résoudre une inéquation à une inconnue, c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue pour lesquelles l’inégalité est vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l’inéquation. b/ Une méthode de résolution de l’inéquation : ax + b < cx + d d'inconnue x (a, b, c et d étant des nombres donnés) En utilisant les propriétés du paragraphe 1/ : On regroupe les termes "en x " dans un membre ; On regroupe les termes constants dans l’autre membre ; On résout l’inéquation de la forme : Ax < B en divisant chaque membre par A (si possible). On conclut. c/ Exemples de résolution d’inéquations Ex 1 : 5x + 1 < - 3x + 21 + 3x + 3x () 8x + 1 < 21 -1 - 1 () 8x < 20 8 8 () x < 20 /8 x < 2,5 Les solutions de l’inéquation 5x + 1 < -3x + 21 sont les nombres strictement inférieurs à 2,5. () Représentation des solutions sur une droite graduée : Solutions de l’inéquation : 5x + 1 < -3x + 21 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 2,5 3 4 5 6 Ex 2 : 3x + 7 5x + 13 - 5x - 5x () - 2x + 7 -7 13 - 7 () - 2x 6 ( 2) ( 2) () x 6 / -2 x -3 26 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Les solutions de l’inéquation 3x + 7 égaux à – 3. () 5x + 13 sont les nombres supérieurs ou Représentation des solutions sur une droite graduée : Solutions de l’inéquation : 3x + 7 < 5x + 13 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 d/ Exemples de résolution de problèmes Ex 1 : Le périmètre d’un rectangle ABCD de longueur 5 cm est inférieur ou égal à 17 cm. Quelles sont être les valeurs possibles de la largeur de ABCD ? On pose : x = largeur (en cm) de ABCD. Périmètre de ABCD = 2 x 5 + 2 x x = 10 + 2x 10 + 2x D’après l’énoncé, on a l’inéquation : 17 - 10 -10 2x 7 2 2 x 3,5 La largeur de ABCD est inférieure ou égale à 3,5 cm. Ex 2 : Mélody suit un régime alimentaire. Chacun de ses repas doit avoir un apport calorique strictement compris entre 650 et 730 kCal. Ce midi, elle a mangé un steak haché équivalent à 170 kCal et des pommes de terre cuisinées. Sachant que 100g de pommes de terre cuisinées apportent 160 kCal, quelles sont les quantités possibles de pommes de terre que mélody peut manger. On pose : x = quantité de pommes de terre cuisinées (en g). Apport calorique de son repas = 170 + 1,6 x x D’après l’énoncé, on a : 650 < 170 + 1,6x < 730 - 170 480 < 1,6x < 560 1,6 300 < x <350 - 170 1,6 Mélody peut manger entre 300 et 350 grammes de pommes de terre. 27 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre GD1 : Notion de fonction 1/ Présentation de la notion de fonction - Notations 2/ Vocabulaire 3/ Méthode de recherche des antécédents d’un nombre par une fonction 4/ Représentation graphique d’une fonction 5/ Lecture de la représentation graphique d’une fonction 1/ Présentation de la notion de fonction Situation : un programme de calculs On considère le programme de calculs : * Considérer un nombre ; * Elever ce nombre au carré ; * Ajouter 3. Appliquons ce programme de calculs aux nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 4,5. 0 1 2 3 4,5 0² = 0 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4,5² = 20,25 0+3=3 1+3=4 4+3=7 9 + 3 = 12 20,25 + 3 = 23,25 On peut considérer que ce programme de calculs fonctionne comme une « machine » qui, à un nombre, fait correspondre un nombre. On peut ainsi définir une fonction qui, à tout nombre, fait correspondre la somme de son carré et de 3. Si on appelle f cette fonction, on peut résumer celle-ci à la notation : f :x x² + 3 Situation : valeurs d’une expression littérale On considère l’expression littérale E 2x 3 + 1. Calculons quelques valeurs prises par E : Lorsque x = 2, E = 2 x 23 + 1 = 17. Lorsque x = 4, E = 2 x 43 + 1 = 129. Lorsque x = 5,5, E = 2 x 5,53 + 1 = 333,75. E est une expression dont la valeur dépend de celle de x. Plus simplement, on peut écrire pour les valeurs : E(2) = 17. E(4) = 129. E(5,5) = 333,75. 28 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Plus généralement, on écrira : E(x) = 2x 3 + 1, ce qui définit la fonction E. On peut dresser un tableau de valeurs : x 2 17 E(x) 4 129 5,5 333,75 En résumé : Pour déterminer une fonction f, on peut au choix : utiliser une phrase : « la fonction f, à un nombre, associe la somme de son carré et de 3. » utiliser une notation : f: x utiliser une égalité : f(x) = x² + 3. x² + 3 2/ Vocabulaire et notations Prenons par exemple la fonction f : x x² + 3. Cette fonction, au nombre 4, associe 19. On dit que l’image de 4 par la fonction f est 19. On note : f: 4 19 ou encore f(4) = 19. Lorsqu’elle existe, l’image d’un nombre par une fonction est unique. f(3) 12. L’image de 3 par f est 12. On dit encore que 3 est un antécédent de 12 par f. f(- 3) 12. L’image de – 3 par f est 12. Autrement dit, - 3 est aussi un antécédent de 12 par f. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents : f: 3 -3 12 12 3/ Méthode de recherche des antécédents d’un nombre par une fonction Cas général : Recherche des antécédents d’un nombre b par une fonction f Soit a un antécédent de b par la fonction f. Alors : f(a) = b. La relation f(a) = b est une équation d'inconnue a dont la résolution fournit les antécédents recherchés. Exemples : Exemple 1 : Rechercher les antécédents de 6 par la fonction f définie par f(x) = 4x – 2. Soit a un antécédent de 6 par f. Alors : 4a – 2 = 6 29 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai soit : 4a = 8 a = 8/4 = 2 Le nombre 6 a un antécédent par f : le nombre 2. On vérifie que f(2) = 6. Exemple 2 : Rechercher les antécédents de 49 par la fonction g définie par g(x) = x². Soit a un antécédent de 49 par g. Alors : a² = 49 Cette équation a deux solutions : 49 = 7 et 49 = - 7 Le nombre 49 a deux antécédents par g : les nombres 7 et – 7. On vérifie que : g(7) = g(-7) = 49. 4/ Représentation graphique d’une fonction Définition : a désigne un nombre et f(a) son image par une fonction f. Un repère étant choisi, l’ensemble des points de coordonnées (a ; f(a)) est la représentation graphique de f dans ce repère. Exemple : Représentons graphiquement la fonction f : x x² + 3. y y = f(x) = x² + 3 f (1)= 4 1 -3 -4 -2 -1 0 1 2 3 x 4 Tableau de valeurs x f(x) 0 3 1 4 2 7 3 12 4 19 -1 4 -2 7 -3 12 -4 19 30 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Représenter graphiquement une fonction avec Geogebra ou avec un tableur pas à pas (document séparé) 5/ Lecture de la représentation graphique d’une fonction y a/ Lecture de l’image d’un nombre f(a) y=f(x) x a b/ Lecture des antécédents d’un nombre y y=f(x) b f(a1) = f(a2) = b x a1 a2 c/ Exemple On considère la représentation graphique d’une fonction g. Quelle est l’image de 2 par g ? Quelle est l’image de 5 par g ? Donner deux antécédents de 7 par g. Donner une valeur approchée de g(4). Donner une valeur approchée de g(- 2). g(- 2) 10,2. y y=g(x) 7 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 5 31 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre GD2 : Fonctions linéaires – fonctions affines 1/ Présentation 2/ Définition et propriétés d’une fonction linéaire a/ Définition b/ Propriétés 3/ Définition et propriétés d’une fonction affine a/ Définition b/ Cas particuliers de fonctions affines c/ Propriétés 4/ Représentation graphique d’une fonction affine a/ Propriétés b/ Interprétation graphique de l’ordonnée à l’origine et du coefficient directeur c/ Remarques pratiques 1/ Présentation Un théâtre municipal propose deux tarifs aux spectateurs : - Le tarif à la représentation (tarif R) : 12 € la représentation ; - Le tarif « abonné » (tarif A) : 9 € la représentation à condition de posséder la carte d’abonné coûtant 20 € par an. Comparons ces deux tarifs. Nombre de représentations Coût (€) au tarif R 0 0 1 12 3 36 5 60 10 120 Nombre de représentations Coût (€) au tarif A 0 20 1 29 3 47 5 65 10 110 On peut écrire : Coût (€) au tarif R = 12 x Nombre de représentations. Le tableau 1 est un tableau de proportionnalité. Le coût (€) au tarif R est proportionnel au nombre de représentations. On peut modéliser cette situation par l’application : R:x 12x , où x désigne le nombre de représentations et R(x) le coût de x représentations au tarif R. Coût (€) au tarif A = 9 x Nombre de représentations + 20 Le tableau 2 n’est pas un tableau de proportionnalité. Le coût (€) au tarif A n’est pas proportionnel au nombre de représentations. On peut modéliser cette situation par l’application : A:x 9x + 20 , où x désigne le nombre de représentations et A(x) le coût de x représentations au tarif A. 32 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai 2/ Définition et propriétés d’une fonction linéaire a/ Définition Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, la fonction qui, à l'une des grandeurs, fait correspondre l'autre grandeur est de la forme : f: x ax , a étant un nombre donné. Une telle fonction est appelée une fonction linéaire de coefficient a. Exemple : la fonction R vue dans le paragraphe 1/ est linéaire de coefficient 12. b/ Propriétés Par une fonction linéaire de coefficient non nul, tout nombre a une image unique et un antécédent unique. Si f est une fonction linéaire, alors : f(0) = 0 Pour tous nombres x et y : f (x + y) = f(x) + f(y) f(xy) = x f(y) Exemple : R(0) = 0 R(4) = R(1+3) = R(1)+R(3) = 12 + 36 = 48 R(10) = R(2x5) = 2 x R(5) = 2 x 60 = 120 3/ Définition et propriétés d’une fonction affine a/ Définition Dans le paragraphe 1/, la fonction A est de la forme : f:x ax + b , a et b étant des nombres donnés. Une telle fonction s’appelle une fonction affine. Exemple : la fonction A vue dans le paragraphe 1/ est affine (a = 9 et b = 20). b/ Cas particuliers de fonctions affines Lorsque b = 0, la fonction affine définie par f(x) = ax + b = ax est linéaire de coefficient a. Lorsque a = 0, la fonction affine définie par f(x) = ax + b = b est une fonction constante qui, à tout nombre x, associe le même nombre b. c/ Propriétés Par une fonction affine non constante, tout nombre a une image unique et un antécédent unique. 33 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Propriété (taux d’accroissement constant) : Si f est une fonction affine telle que f(x) = ax + b, alors pour tous nombres distincts x1 et x2 : f(x1) – f(x2) =a x1 – x2 4/ Représentation graphique d’une fonction affine a/ Propriétés la fonction f définie par f(x) = 2x ; la fonction g définie par g(x) = 2x + 3. On considère : f est la fonction linéaire de coefficient 2 et g est affine. x f(x) g(x) -2 -4 -1 -1 -2 1 0 0 3 y = g(x) 1 2 5 2 4 7 y = f(x) 5 3 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Propriété 1 : La représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a dans un repère est une droite. Cette droite passe par l’origine du repère. 34 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Propriété 2 : La représentation graphique d’une fonction affine x ax + b dans un repère est une droite (d). Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; b) et est parallèle à la droite représentative de la fonction linéaire x ax. Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la droite (d). Le nombre b est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (d). b/ Interprétation graphique de l’ordonnée à l’origine et du coefficient directeur - Pour la fonction f : - Pour la fonction g : ordonnée à l’origine 0 ordonnée à l’origine 3 y = g(x) coefficient directeur = 2 coefficient directeur = 2 y = f(x) 5 3 Interprétation graphique de l’ordonnée à l’origine. 1 -4 -3 -2 -1 0 +1 1 +2 Interprétation graphique du coefficient directeur. 2 3 4 Remarques : L’ordonnée à l’origine d’une droite indique l’ordonnée du point d’intersection de cette droite et de l’axe des ordonnées. Le coefficient directeur d’une droite donne sa direction à celle-ci. Ainsi, deux droites ayant le même coefficient directeur sont parallèles. c/ Remarque pratique Pour tracer la représentation graphique d’une fonction affine, il suffit de calculer l’image par cette fonction de deux nombres distincts (choisis judicieusement). 35 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Pour tracer la représentation graphique d’une fonction linéaire, on peut se contenter de calculer l’image par cette fonction d’un seul nombre non nul. Exemple : Tracer la représentation graphique de la fonction h définie par l’égalité h(x) = x - 2. h est affine. Sa représentation graphique est donc une droite. Déterminons deux points de cette droite. x h(x) 0 -2 3 2 y = h(x) 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ordonnée à l’origine = - 2 36 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre GD3 : Evolutions en pourcentage 1/ Augmentation en pourcentage 2/ Diminution en pourcentage 3/ Evolutions successives en pourcentage 1/ Augmentation en pourcentage a/ Exemple Une entreprise augmente ses prix de 3%. Combien coûtera un article vendu 20€ avant l’augmentation ? Méthode 1 : - Montant de l’augmentation - Nouveau prix 20 + 0,60 x 20 = 0,60 € 20,60 € Méthode 2 (préférable) : Avant Après 20 € ? Nouveau prix = 20 x 1,03 100 € 103 € x 1,03 20,60 € b/ Modélisation d’une augmentation en pourcentage Propriété : p désigne un nombre positif. Augmenter un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par (1 + ). Une augmentation de p% est modélisée par la fonction linéaire : f :x (1 + )x c/ Exemples Augmentation en pourcentage + 50% + 8% +2,5% + …….% 15 € + 20% ............. € Fonction linéaire associée x 1,20 1,50 x ,800 x ................. x ................. x 1,196 1,218 x ............. € +10% 22 € 42 € + .........% 48,30 € 37 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai 2/ Diminution en pourcentage a/ Exemple A l’occasion des soldes, un magasin vend tout son stock avec 35% de remise. Combien coûtera un article vendu 20€ avant remise ? Méthode 1 : - Montant de la diminution = - Nouveau prix = 20 - 7 x 20 = 7 € 13 € Méthode 2 (préférable) : Avant Après 20 € ? Nouveau prix = 20 x 0,65 100 € 65 € x 0,65 13 € b/ Modélisation d’une diminution en pourcentage Propriété : p est un nombre compris entre 0 et 100. Diminuer un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par (1 - ). Une diminution de p% est modélisée par la fonction linéaire : x (1 - )x c/ Exemples Evolution en pourcentage - 20% - 9% - 4,8% 110 € - 40% ............. € Fonction linéaire associée x 1,20 0,80 x 0 x ................. x ................. ............. € - 30% 28 € 45 € - .........% 31,50 € 3/ Evolutions successives en pourcentage Exemple 1 Le prix du gaz a augmenté de 2% le 1er février puis a baissé de 2% le 1er mars. Le prix du gaz était-il le même le 31 janvier et le 2 mars ? On appelle P le prix du gaz le 31 janvier. Le 1er février, ce prix augmente et devient 1,02 x P. Le 1er mars, ce dernier prix baisse et devient 0,98 x (1,02 x P) soit 0,9996 x P. Le prix du gaz a changé entre le 31 janvier et le 2 mars (-0,04%). 38 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Exemple 2 Le salaire d’un employé a augmenté à deux reprises : - une première fois, de 5% ; - une seconde fois, de 10%. Cet employé considère que son salaire a été augmenté de 15%. A-t-il raison ? On appelle S son salaire avant les deux augmentations. Après la première augmentation, son salaire devient 1,05 x S. Après la deuxième augmentation, ce dernier salaire devient 1,10 x (1,05 x S) soit 1,155 x S 1,15 x S. Le salaire de cet employé n’a pas augmenté de 15% mais de 15,5%. On retiendra : On ne peut pas résumer des évolutions successives en pourcentage à une seule évolution par addition ou par soustraction des pourcentages. 39 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre GD4 : Interpréter des données 1/ Moyenne et médiane a/ Liste de données b/ Tableau de données 2/ Etendue 1/ Moyenne et médiane Définition : Les données d’une série étant rangées dans l’ordre croissant, la médiane de cette série de données est un nombre qui partage cette série en deux séries de même effectif, l'une dont les données sont inférieures ou égales à ce nombre, l'autre dont les données sont supérieures ou égales à ce nombre. La médiane permet de préciser la position des autres données de la série. La médiane, comme la moyenne, est une caractéristique de position. a/ Liste de données La série est composée d’un nombre impair de données : Voici les notes obtenues à un devoir de maths par 11 élèves d’un groupe de 3ème : 11 – 12 – 19 – 3 – 19 – 20 – 10 – 12 – 19 – 18 – 13 Rangeons ces données dans l’ordre croissant : 3 – 10 – 11 – 12 – 12 – 13 – 18 – 19 – 19 – 19 – 20 6 données 6 données 13 est la valeur médiane de cette série de données. Moyenne = 14,2. La série est composée d’un nombre pair de données : On a demandé à 12 élèves d’un groupe de 3ème le nombre de livres qu’ils avaient lus durant l’année scolaire. Voici un relevé de leurs réponses : 2–6–5–5–1–6–5–6–4–0–1–2 Rangeons ces données dans l’ordre croissant : 0–1–1–2–2–4–5–5–5–6–6–6 6 données 6 données 4,5 = (4 +5) 2 4,5 est la valeur médiane de cette série. Moyenne = 3,6. 40 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai b/ Tableau de données On a demandé aux 25 élèves d’une classe de 3ème leur nombre de frères et sœurs. Voici un tableau présentant les réponses des élèves : Nombre de frères et soeurs Effectifs 0 1 2 3 Total 3 5 12 5 25 Dressons le tableau des effectifs cumulés croissants : Nombre de frères et soeurs Effectifs E.C.C. 0 1 2 3 Total 3 3 5 8 12 20 5 25 25 La série comporte 25 données, donc la médiane est la 13ème donnée de cette série ordonnée dans l’ordre croissant. 2 est la médiane de cette série. Moyenne = = 1,76. (Moyenne des valeurs pondérée par les effectifs) c/ Données regroupées en classes On a demandé aux 25 élèves d’une classe de 3ème leur taille en mètre. Les réponses obtenues ont été regroupées en classes. Taille T (m) Effectifs 1,5<T 1,6 3 1,6<T 1,7 17 1,7<T 1,8 4 1,8<T 1,9 1 Total 25 1,8<T 1,9 1 25 Total 25 Dressons le tableau des effectifs cumulés croissants : Taille T (m) Effectifs E.C.C. 1,5<T 1,6 3 3 1,6<T 1,7 17 20 1,7<T 1,8 4 24 La série comporte 25 données, donc la médiane est la 13ème donnée de cette série ordonnée dans l’ordre croissant. La médiane de cette série est comprise entre 1,6m et 1,7m. Pour le calcul de la moyenne, on utilise le centre des classes : Taille T (m) Centre Effectifs Moyenne = 1,5<T 1,6 1,55 3 , , 1,6<T 1,7 1,65 17 , , 1,7<T 1,8 1,75 4 1,8<T 1,9 1,85 1 Total 25 = 1,662m. Remarque : Contrairement à la moyenne, la médiane ne dépend pas des données extrêmes de la série. 41 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai 2/ Etendue Définition : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la donnée la plus grande et la donnée la plus petite de cette série. L'étendue est une caractéristique de dispersion. Exemple : Au cours d’un TP en sciences physiques, des élèves ont mesuré l’intensité électrique d’un courant circulant dans un circuit donné. Voici les résultats des mesures : 0,32A – 0,34A – 0,31A – 0,32A – 0,33A – 0,32A – 0,34A – 0,31A L’étendue de cette série est égale à : 0,34 – 0,31 = 0,03A. 42 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Chapitre GD5 : Probabilités 1/ Expérience aléatoire et issues a/ Définition d’une expérience aléatoire b/ Exemples 2/ Evénements a/ Définition b/ Vocabulaire c/ Exemples 3/ Probabilité d’un événement a/ Probabilité et fréquence d’apparition b/ Définitions c/ Propriétés 4/ Exemples de modélisation d’une expérience aléatoire 5/ Expériences à deux épreuves 1/ Expérience aléatoire et issues a/ Définition d’une expérience aléatoire Une expérience dont on connaît toutes les issues possibles mais dont on ne peut prévoir l’issue est appelée une expérience aléatoire. b/ Exemples Expérience 1 Expérience 2 On tire dans un sac contenant des boules numérotées une boule et on note le numéro. On tire dans un sac contenant des boules numérotées une boule et on note le numéro. Contenu du sac : Contenu du sac : 1 2 3 1 2 3 3 Déterminons les issues possibles de ces expériences et le nombre total de cas : Expérience 1 Expérience 2 3 issues possibles : « tirer le numéro 1 » « tirer le numéro 2 » « tirer le numéro 3 » 3 issues possibles : « tirer le numéro 1 » « tirer le numéro 2 » « tirer le numéro 3 » Nombre total de cas : 3 Nombre total de cas : 4 2/ Evénements a/ Définition Un événement est une condition réalisée ou non lors d’une expérience aléatoire. Pour des raisons pratiques, un événement peut être désigné par une lettre majuscule. 43 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai b/ Vocabulaire Un événement impossible est un événement qui ne peut pas être réalisé. Un événement certain est un événement réalisé dans tous les cas. Un événement élémentaire est un événement réalisé que pour une seule issue. Un événement A étant donné, on appelle événement contraire de A l’événement qui consiste à la non-réalisation de l’événement A. Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent se produire en même temps. c/ Exemples Si on considère l’expérience 1 : L’événement « Tirer un numéro strictement supérieur à 3 » est un événement impossible. L’événement « Tirer un numéro inférieur ou égal à 3 » est un événement certain. Si on note A l’événement « Tirer un numéro pair », l’événement contraire de A est « Tirer un numéro impair » . 3/ Probabilité d’un événement a/ Probabilité et fréquence d’apparition Une expérience aléatoire étant définie, on va essayer de traduire par un nombre la "possibilité" de réalisation d'un événement. Cela revient à affecter une mesure de "croyance" à un événement. Ainsi, on définit la probabilité d'un événement comme un nombre compris entre 0 et 1 , pour pouvoir se convertir en un pourcentage de "chances" de réalisation. Ainsi, la probabilité d'un événement impossible est nulle et celle d'un événement certain est égale à 1. Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, on constate que la fréquence d'apparition d'un événement a tendance à se stabiliser autour d'une valeur. C'est cette valeur "limite" qu'on appelle probabilité de l'événement. Exemples : Si on lance une pièce de monnaie (équilibrée) un grand nombre de fois, la fréquence d’apparition de l’événement « Pile » s’approche de = 0,5. Si on lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6 un grand nombre de fois, la fréquence d’apparition de l’événement « Obtenir 1 » s’approche de . On lance une punaise et on note P si elle tombe sur sa partie plane et T si elle tombe de travers. Lorsqu’on recommence de nombreuses fois l’expérience, au début on observe que la fréquence d’apparition de P varie fortement mais au bout d’un grand nombre de lancers, cette fréquence a tendance à se stabiliser autour de 0,8. b/ Définitions Un cas dans lequel un événement est réalisé est appelé cas favorable à cet événement. 44 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Définition de Laplace : Lorsqu’on peut déterminer tous les cas possibles, la probabilité d’un événement est donnée par : Probabilité d’un événement Exemples : Expérience 1 Expérience 2 Probabilité de l’issue « tirer le numéro 1 » = Probabilité de l’issue « tirer le numéro 2 » = Probabilité de l’issue « tirer le numéro 3 » = Probabilité de l’événement « tirer un numéro impair » = Probabilité de l’événement « tirer un numéro supérieur à 4 » = 0 Probabilité de l’événement « tirer un numéro inférieur à 4 » = 1 Probabilité de l’issue « tirer le numéro 1 » = Probabilité de l’issue « tirer le numéro 2 » = Probabilité de l’issue « tirer le numéro 3 » = = Probabilité de l’événement « tirer un numéro impair » = Probabilité de l’événement « tirer un numéro supérieur à 4 » = 0 Probabilité de l’événement « tirer un numéro inférieur à 4 » = 1 Lorsque toutes les issues possibles ont la même probabilité, on parle d’une situation d’équiprobabilité. Dans une situation d'équiprobabilité comportant n issues possibles, la probabilité 1 d'un événement élémentaire est égale à . n Par exemple : l’expérience 1 est une situation d’équiprobabilité. La probabilité de 1 chaque événement élémentaire est égale à . 3 Notation : Si A désigne un événement, alors la probabilité pour que A se réalise se note p(A). c/ Propriétés La somme des probabilités de toutes les issues possibles est égale à 1. Si A et B sont deux événements incompatibles, alors p(A ou B) = p(A) + p(B). La somme des probabilités de deux événements contraires est égale à 1. 4/ Exemples de modélisation d’une expérience aléatoire Une expérience aléatoire peut être modélisée par un arbre pondéré des issues possibles. 45 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Exemple 1 : On tire une boule dans une urne contenant ces boules : On s’intéresse à la couleur de la boule tirée. Pour cette expérience, il y a 3 issues possibles et le nombre total de cas est 6. Arbre pondéré des issues possibles : 1 3 J 1 6 1 2 On vérifie que : + + R B = 1. Exemple 2 : On lance deux dés numérotés de 1 à 6 et on s’intéresse à la somme des chiffres sortis. Pour modéliser cette expérience, un tableau à double entrée est adapté. + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Il y a 11 issues possibles et le nombre total de cas est 36. Arbre pondéré des issues possibles : 2 1 36 1 18 1 12 1 9 5 36 1 6 5 36 1 9 1 12 1 18 1 36 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai 5/ Expériences à deux épreuves (exemples) Exemple 1 : On tire une boule dans une urne contenant ces boules : On relève la couleur de la boule tirée, puis on remet cette boule dans l’urne. On effectue alors un second tirage et on note à nouveau la couleur de la boule tirée. Pour chacune des deux épreuves, l’arbre pondéré des issues possibles est : 1 3 J 1 6 1 2 R B Pour l’expérience à deux épreuves, on peut donc construire l’arbre : 1ère épreuve 2ème épreuve 1 3 J 1 3 J 1 6 1 2 1 3 1 6 R B J 1 6 1 2 1 2 1 3 B 1 2 R R B J 1 6 R B Propriété : Dans un arbre de probabilités, la probabilité de l’événement auquel conduit une "branche" est égale au produit des probabilités rencontrées le long de cette branche. Par exemple : P(J – J) = p(R – B) = 47 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai Exemple 2 : On tire une boule dans une urne contenant ces boules : On relève la couleur de la boule tirée, puis on effectue un second tirage (sans remise de la 1ère boule tirée) et on note à nouveau la couleur de la boule tirée. Pour la première épreuve, l’arbre pondéré des issues possibles est : 1 3 J 1 6 1 2 R B En revanche, pour la deuxième épreuve, l’arbre pondéré des issues possibles dépend de la couleur de la première boule tirée. * Si la première boule tirée est jaune, il reste dans l’urne : D’où l’arbre : 1 5 J 1 5 3 5 R B * Si la première boule tirée est rouge, il reste dans l’urne : D’où l’arbre : 2 5 J 0 3 5 R B 48 | P a g e Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai * Si la première boule tirée est bleue, il reste dans l’urne : D’où l’arbre : 2 5 J 1 5 R 2 5 B Pour l’expérience à deux épreuves, on peut donc construire l’arbre : 1ère épreuve 2ème épreuve 1 5 J 1 5 J R 3 5 1 3 1 6 B 2 5 J 0 R 3 5 1 2 B 2 5 J 1 5 B R 2 5 Par exemple : R B P(J – J) = p(R – B) = p(R – R) = 0 0 49 | P a g e
