Maths -Sequence-07

Sommaire de la séquence 7
t Séance 1
........................................................................................................
Je découvre une propriété du triangle rectangle
........................................................
t Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je découvre la propriété réciproque
t Séance 3
........................................................................................................
J’effectue des exercices de synthèse
t Séance 4
......................................................................
.....................................................................
........................................................................................................
J’effectue des exercices de synthèse -fin-
t Séance 5
...............................................................
........................................................................................................
Je découvre le cosinus d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je calcule le cosinus d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t Séance 7
........................................................................................................
Je calcule des mesures d’angles
..........................................................................
t Séance 8
J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’effectue des exercices de synthèse -fin- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t Objectifs
Ë Savoir calculer des longueurs de côtés d’un triangle rectangle.
Ë
Être capable de démontrer qu’un triangle est rectangle à l’aide d’une nouvelle propriété.
Ë Savoir déterminer une valeur approchée de la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle.
Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit
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Séquence 7
SEANCE 1
Je découvre une propriété du triangle rectangle
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°7.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.
JE REVISE LES ACQUIS DE LA 5e
1- Dans un triangle ABC, la droite passant par A
et par le milieu de [BC] est une :
2- Pour construire le cercle circonscrit à un
triangle, on trace :
 médiatrice.
 deux médianes du triangle.
 bissectrice.
 les bissectrices de deux angles du triangle.
 hauteur.
 les médiatrices de deux côtés du triangle.
 médiane.
 deux hauteurs du triangle.
3- - Observe la figure ci-dessous.
4- Observe la figure ci-dessous.
 Le cercle C 1 est circonscrit au triangle ABC.
 Le cercle C
C
1
2
est circonscrit au triangle ABC.
est le cercle inscrit dans le triangle ABC.
 L’hypoténuse du triangle ABC est [AB].
 C 2 est le cercle inscrit dans le triangle ABC.
 L’hypoténuse du triangle CBD est [CD].
 Le triangle ABC est inscrit dans le cercle C
1.
 L’hypoténuse du triangle ABC mesure 5 cm.
 Le triangle ABC est inscrit dans le cercle C
2.
 mesure :
5- Sur la figure ci-dessous, l’angle ACB
 L’hypoténuse du triangle ABC mesure 7 cm.
6- Si on a :
0,7 
 x  5  0, 7
 160°.
 70°.
 x  3,5
x
, alors :
5
 x
0,7
5
 x
5
0,7
 80°.
 On ne peut pas savoir.
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141
Séquence 7
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris :
« SEQUENCE 7 : COSINUS, CERCLE CIRCONSCRIT ».
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton livret. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te reporter
à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les
commentaires du professeur ».
EXERCICE 1
Problème : Où se trouve le point qui est à égale distance des trois sommets A, B et C d’un triangle
ABC rectangle en A ?
1- Essaie de trouver par l’expérience une réponse à ce problème. Pour cela :
 Souviens-toi du nom du seul point qui se trouve à égale distance de trois points A, B et C, puis la
façon de l’obtenir par une construction géométrique.
 Utilise si tu le souhaites les triangles construits ci-dessous pour faire des essais.
 Utilise ensuite, si tu possèdes un ordinateur, le logiciel Geocned :
ouvre la figure sequence7exercice1, essaie de représenter à l’écran le
point qui se trouve à égale distance de A, B et C puis déplace les
points A et B pour faire des constatations.
2- Tu as établi une conjecture dans la question précédente. Quelle est cette conjecture ? Essaie pendant
5 minutes (et pas plus) de la démontrer.
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Séquence 7
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 2
Sur la figure ci-contre :
 ABC est un triangle rectangle en A
 O est le milieu de [BC]
 D est le symétrique du point A par rapport au point O.
1- Montre que le quadrilatère ABDC est un rectangle.
2- Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ? Quel est son rayon ?
3- Enonce, avec tes mots, la propriété que tu viens de démontrer, en utilisant une structure « Si …
alors … » (il existe plusieurs formulations possibles).
Lis attentivement les deux formulations de la propriété directe et les illustrations ci-dessous puis
recopie-les sur ton cahier de cours. Tu reproduiras soigneusement les figures en respectant les
couleurs.
JE RETIENS
Propriété directe :
Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de
l’hypoténuse.
Autre formulation :
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale
à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
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Séquence 7
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
EXERCICE 3
ABC est un triangle rectangle en A tel que :
AC = 5 cm ; BC = 8 cm.
I est le milieu du segment [BC].
1a) Ecris la propriété qui permet de construire rapidement le cercle circonscrit au triangle ABC :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b) Construis ce cercle.
2a)
Ecris la propriété qui permet de déterminer la longueur du segment [AI] :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b)
Calcule la longueur AI en cm :
……………………………………………………………………………………………………………
Mesure AI sur la figure et compare cette mesure avec le résultat de ton calcul.
Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le.
JE COMPRENDS LA METHODE
Je démontre que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
Je rédige la démonstration de la façon suivante :
Je sais que : ABC est un triangle rectangle en A
O est le milieu de [BC]
Or, si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit
à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
J’en déduis que : O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Je démontre que : OA = OB = OC
Je rédige la démonstration de la façon suivante :
Je sais que : ABC est un triangle rectangle en A
O est le milieu de [BC]
Or, si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de
l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
J’en déduis que : OA = OB = OC
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Séquence 7
Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 4
Pour chacune des figures ci-dessus :
1- Démontre que le triangle ABC est un triangle rectangle.
2- Justifie la construction du cercle circonscrit au triangle ABC.
3- Construis le cercle circonscrit au triangle ABC.
EXERCICE 5
Pour chacune des figures ci-dessus, calcule la longueur en cm de la médiane issue de l’angle droit.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°1, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés
horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête
puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux
solutions.
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Séquence 7
SEANCE 2
Je découvre la propriété réciproque
Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 6
Voici les propriétés que l’on a démontrées dans la séance 1 :
 Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de
l’hypoténuse.
 Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit est
égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Ecris les propriétés réciproques de ces deux phrases en utilisant la structure « Si … alors … ».
EXERCICE 7
Problème : Si un point C se trouve sur le cercle de diamètre [AB], quelle est la nature du triangle
ABC.
1- Essaie de trouver par l’expérience une réponse à ce problème. Pour cela :
 Construis par exemple différentes figures (tu peux par exemple construire un cercle de diamètre
[AB] puis placer plusieurs points C, C’, C’’ sur ce cercle).
 Construis une figure dynamique.
Que remarques-tu ?
2- Essaie de démontrer la conjecture suivante :
Conjecture : « ABC est un triangle inscrit dans un cercle de centre O tel que [AB] soit un diamètre de
ce cercle. Le triangle ABC est rectangle en C. »
Au bout de 5 minutes, lis la remarque de Manon. Cherche encore 5 minutes puis lis la remarque de
Quentin.
La remarque de Manon
Si je place le point D diamétralement opposé au point C, j’obtiens une figure intéressante …
La remarque de Quentin
Le quadrilatère ACBD semble être un rectangle …
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Séquence 7
Lis attentivement le théorème et l’illustration ci-dessous puis recopie-les sur ton cahier de cours.
Tu reproduiras soigneusement les figures en respectant les couleurs.
JE RETIENS
Propriété réciproque :
Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce
triangle est rectangle. L’hypoténuse est ce diamètre.
Autre formulation :
Si dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté
correspondant, alors ce triangle est rectangle. L’hypoténuse est ce côté.
Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le.
JE COMPRENDS LA METHODE
Je démontre que le triangle ABC est rectangle en A
Je rédige la démonstration de la façon suivante :
Je sais que : ABC est un triangle inscrit dans un cercle.
[BC] est un diamètre de ce cercle.
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et si l’un de ses côtés est un diamètre
de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. L’hypoténuse est ce diamètre.
J’en déduis que : Le triangle ABC est rectangle en A.
Je démontre que le triangle ABC est rectangle en A
Je sais que : O est le milieu de [BC]
OA = OB = OC
Or, si dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur
du côté correspondant, alors ce triangle est rectangle. L’hypoténuse est ce côté.
J’en déduis que : Le triangle ABC est rectangle en A.
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147
Séquence 7
Remarques :
On utilise une des deux formulations de la propriété directe vue dans la séance 1 lorsqu’on sait que le
triangle est rectangle.
On utilise une des deux formulations de la propriété réciproque vue dans la séance 2 lorsqu’on veut
démontrer que le triangle est rectangle.
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 8
Trace un cercle de diamètre [AB] tel que : AB = 8 cm.
Place un point C sur ce cercle tel que : AC = 3 cm.
1- Démontre que le triangle ABC est rectangle en C.
2- Donne une valeur approchée au millimètre près de la longueur BC.
EXERCICE 9
Chacun des deux triangles tracés ci-dessous est-il un triangle rectangle ?
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°2, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés
horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête
puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux
solutions.
SEANCE 3
J’effectue des exercices de synthèse
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
* EXERCICE 10
Construis, en te servant uniquement d’une règle et d’un compas et sans effectuer de calcul, un triangle
ABC rectangle en A tel que : BC = 6 cm et AB = 2 cm.
Tu expliqueras ta construction.
L’exercice suivant n’est pas guidé.
Au bout de 5 minutes, lis la remarque d’Ali.
Cherche encore 5 minutes puis lis la remarque de Quentin et essaie de résoudre cet exercice.
Lis ensuite la remarque de Lindsay. Qu’en penses-tu ?
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Séquence 7
* EXERCICE 11
Trace un triangle ABC rectangle et isocèle en B tel que le segment [AB] mesure 4 cm.
Trace la hauteur issue de B du triangle ABC. Elle coupe le segment [AC] en D.
Détermine la longueur BD en cm.
Tu donneras une valeur approchée de ton résultat au mm près.
La remarque d’Ali
Ma figure ressemble à celle de la leçon mais je n’arrive pas à prouver que D est le milieu de [AC].
La remarque de Quentin
La hauteur [BD] est aussi une médiane du triangle ABC.
La remarque de Lindsay
J’ai réussi à trouver la longueur BD mais moi je n’ai pas utilisé la propriété de la leçon.
EXERCICE 12
Construis un triangle ABC équilatéral.
Trace une droite (d) passant par le point A non confondue ni avec (AC) ni avec (AB).
Place sur cette droite (d) un point D tel que : AD = AB.
Place le symétrique E du point D par rapport au point A.
Montre que les triangles EDB et EDC sont rectangles, respectivement en B et en C.
** EXERCICE 13
Un tourniquet est un manège formé d’un plateau circulaire posé sur un
axe autour duquel il tourne. Pierre, Jean et Louis montent sur un
tourniquet de 1 m de rayon.
Pierre et Jean se sont installés de façon à être diamétralement opposés
l’un à l’autre.
Louis s’installe à 1,50 m de Jean.
Est-il plus près de Pierre ou de Jean ?
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°3, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés
horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête
puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux
solutions.
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149
Séquence 7
SEANCE 4
J’effectue des exercices de synthèse –fin–
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
* EXERCICE 14
Sur la figure ci-contre :
ABC est un triangle rectangle en B.
ADC est un triangle rectangle en D.
Trace un cercle passant par les quatre points A, B, C et D.
Précise le centre et le rayon de ce cercle.
Justifie ta construction :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
* EXERCICE 15
Trace un cercle C 1 de diamètre [AB] tel que : AB = 8 cm.
Trace le cercle C 2 de centre B et de rayon 5 cm.
Ces deux cercles se coupent en C et D.
1- Démontre que la droite (AC) est tangente au cercle C
2.
2- Donne une valeur approchée au mm près de la longueur AC.
* EXERCICE 16
Pierre, Jean et Louis sont sur un terrain de rugby.
Pierre est à 12 m de Jean.
Louis est à 16 m de Pierre et à 20 m de Jean.
Où doit-on placer le ballon pour qu’il soit situé à la même distance des trois amis ?
Evidemment, il faudra que l’on puisse placer très facilement le ballon à l’endroit indiqué !
L’exercice suivant n’est pas guidé.
Au bout de 10 minutes, lis la remarque d’Hugo.
Cherche encore 5 minutes puis lis la remarque de Manon.
Cherche encore 5 minutes puis lis la remarque d’Ali et essaie de résoudre cet exercice.
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Séquence 7
** EXERCICE 17
Trace un segment [AB] de longueur 7 cm.
Le but de l’exercice est de placer un point M sachant que :
● M est équidistant des points A et B,
● la distance de B à la droite (AM) est égale à 6 cm.
Explique ta construction.
La remarque d’Hugo
Si M est équidistant de A et B, cela signifie qu’il est situé sur la médiatrice de [AB] mais je ne me
rappelle plus ce qu’est la distance du point B à la droite (AM)…
La remarque de Manon
Je dois tracer un triangle ABM rectangle en M tel que BM = 6 cm mais sur ma figure, le point M n’est
pas à la même distance de A et de B …
La remarque d’Ali
J’ai fait le même raisonnement que Manon mais j’ai appelé mon triangle ABH et M est alors situé sur
la droite (AH).
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°4, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés
horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête
puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux
solutions.
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151
Séquence 7
SEANCE 5
Je découvre le cosinus d’un angle
Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.
EXERCICE 18
Dans un triangle rectangle :
 le côté adjacent à un angle est le côté « en commun » avec l’angle, et
qui n’est pas l’hypoténuse,
 le côté opposé à un angle est le côté « situé en face de l’angle ».
Dans le triangle ABC rectangle en C ci-contre :
1- Quelle est l’hypoténuse de ce triangle ? ……………
2 ? ……………
Quel est le côté opposé à l’angle CAB
 ? …………..
Quel est le côté adjacent à l’angle CAB
3 ? ……………
Quel est le côté opposé à l’angle ABC
 ? …………..
Quel est le côté adjacent à l’angle ABC
EXERCICE 19
 = 30°.
1- Les figures ci-dessous sont des triangles ABC rectangles en A tels que : ABC
A ton tour, construis, dans le cadre réservé ci-dessous, un triangle ABC rectangle en A tel que :
 = 30°.
ABC
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Séquence 7
2- Pour chacune des quatre figures, mesure, le plus précisément possible, en cm, les longueurs AB et
AB
BC. Calcule ensuite, au dixième près, l’arrondi du quotient
.
BC
Tu noteras tes réponses dans le tableau ci-dessous :
figure 1
figure 2
figure 3
figure 4
AB
………
………
………
………
BC
………
………
………
………
AB
BC
………
………
………
………
3- Que remarques-tu ?
……………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
4- Si tu possèdes un ordinateur, ouvre le fichier sequence7exercice19 à
l’aide de geocned. Tu peux déplacer le point C de telle façon que la
 soit toujours égale à 40°.
mesure de l’angle ABC
Affiche les longueurs AB et BC, en cm, et le quotient
AB
.
BC
Déplace le point C.
Que remarques-tu ?
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
* EXERCICE 20
ABC est un triangle rectangle en C.
M est un point quelconque du segment [BC].
La perpendiculaire à la droite (BC) passant par le point M coupe le segment [AB] en N.
1- Démontre que les droites (MN) et (AC) sont parallèles.
2- Montre que les mesures des angles du triangle ABC sont égales aux mesures des angles du triangle
BMN. Que peut-on en déduire pour ces deux triangles ?
3- Démontre que :
BN BM

.
BA BC
4- Déduis-en que :
BM BC

.
BN BA
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153
Séquence 7
Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le sur ton cahier de cours.
JE RETIENS
COSINUS
Définition :
Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’un des angles aigus
longueur du côté adjacent à l 'angle aigu
est le rapport :
longueur de l'hypoténuse
 = AB
cos A
AC
 se note cos C
 . On a : cos C
 = BC
Le cosinus de l’angle aigu C
AC
Remarques :
● Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long, le cosinus d’un angle aigu est donc
un nombre compris entre 0 et 1.
● Le cosinus est un outil qui permet de calculer des angles et des longueurs. Attention ! le cosinus est
un rapport de longueurs, il ne se représente pas sur une figure et n’a pas d’unité.
 se note cos A
 . On a :
Le cosinus de l’angle aigu A
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
EXERCICE 21
On considère la figure ci-contre.
Complète les phrases ci-dessous :
1- Le triangle ABD est rectangle en ……….
 = ………….
cos ABD
 = ………….
cos ADB
2- Le triangle ACB est rectangle en ……….
 = ………….
cos CAB
 = ………….
cos CBA
3- Le triangle ACD est rectangle en ……….
 = ………….
cos CAD
 = ………….
cos CDA
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°5, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés
horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête
puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux
solutions.
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Séquence 7
SEANCE 6
Je calcule le cosinus d’un angle
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
** EXERCICE 22
Dans cet exercice tu n’utiliseras pas la calculatrice.
On considère le cercle C , sur la page suivante, de centre O et de rayon 1 dm tel que I et J soient sur le
cercle et que (OI) et (OJ) soient perpendiculaires.
On dit queC est un cercle trigonométrique.
  60 .
1- Place un point M sur le cercle C tel que : IOM
La perpendiculaire à la droite (OI) passant par M coupe la droite (OI) en H. Place le point H.
2- Démontre que : OH = cos 60°.
OH est exprimé en dm
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
3- Donne une valeur approchée au centième près de cos 60° en mesurant OH sur ta figure :
……………………………………………………………………………………………………………………..
4- Utilise une méthode analogue pour trouver une valeur approchée au centième près de cos 30° et de
cos 45°.
Tu récapituleras tes réponses dans le tableau ci-dessous :
cos 60°
…………
cos 30°
…………
cos 45°
…………
Lis le paragraphe suivant.
LE COIN DES CURIEUX
La trigonométrie est une science qui étudie notamment le cosinus.
Le mot « trigonométrie » vient du grec « trigone » qui signifie « triangle » et de « metron » qui signifie
« mesure ».
C’est donc l’étude de techniques permettant de mesurer dans un triangle.
Cette année, nous étudierons uniquement le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle.
Dans l’exercice 22, nous avons vu une méthode permettant de déterminer des valeurs approchées du
cosinus de certains angles.
Cette méthode n’est pas très précise mais rappelle qu’à l’origine, la trigonométrie n’est pas un outil du
triangle mais du cercle !
2000 ans avant J-C, ce sont les babyloniens qui, les premiers, ont utilisé la trigonométrie.
Ils s’en servaient pour étudier le monde et notamment tout ce qui était lié à l’astronomie.
Puis, les grecs ont déterminé des tables de trigonométrie que les mathématiciens ont utilisé pendant
des siècles.
Il y a 40 ans, les collégiens utilisaient encore ces tables ; depuis, la calculatrice est apparue et permet
de calculer très rapidement le cosinus d’un angle.
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155
Séquence 7
Rends-toi à la fin de ce livret, à la page calculatrice, afin de voir comment on calcule par exemple une
valeur approchée de cos 30°.
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
156 – Cned, Mathématiques 4e
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Séquence 7
EXERCICE 23
Utilise la calculatrice pour donner des valeurs approchées au centième près de :
cos 30° ≈ ……………
cos 45° ≈ ………………
cos 60° = ……………
cos 72° ≈ ………………
Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le.
JE COMPRENDS LA METHODE
Je calcule une longueur en utilisant le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle
Je rédige de la façon suivante :
ABC est un triangle rectangle en A
  AB
cos ABC
BC
5
cos 30° =
BC
5
BC =
cos30
BC ≈ 5,77 cm
← J’écris l’hypothèse qui me permet d’utiliser le cosinus
← J’écris la formule du cosinus avec les lettres
← J’écris les données de l’énoncé dans la formule
← J’utilise le produit en croix pour déterminer BC
← J’utilise la calculatrice pour obtenir une valeur approchée de BC
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercice.
Tu rédigeras comme dans le paragraphe « je comprends la méthode » vu précédemment.
EXERCICE 24
Pour chacune des figures ci-dessous, calcule, en cm, la longueur x.
Tu donneras une valeur approchée au dixième de tes réponses.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°6, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés
horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête
puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux
solutions.
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157
Séquence 7
SEANCE 7
Je calcule des mesures d’angles
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 25
.
Pour chacune des figures ci-dessous, calcule le cosinus de l’angle ABC
Reporte-toi aux pages calculatrices et lis attentivement le paragraphe concernant le calcul de la
valeur approchée d’un angle à l’aide du cosinus.
Effectue ensuite l’exercice suivant directement sur ton livret.
EXERCICE 26

Utilise la calculatrice pour déterminer une valeur approchée au dixième près de l’angle ABC
.
connaissant la valeur de cos ABC
 = 0,6
cos ABC
 = 0,2
cos ABC
 = 0,37
cos ABC
 = 0,89
cos ABC
 ≈ ………………
donc ABC
 ≈ ………………
donc ABC
 ≈ ………………
donc ABC
 ≈ ………………
donc ABC
Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le.
JE COMPRENDS LA METHODE
 d’un triangle rectangle
Je calcule la mesure de l’angle aigu ACB
(j’arrondis le résultat à l’unité)
ABC est un triangle rectangle en A
  AC
cos ACB
BC
4
cos ACB
5
 ≈ 37°
ACB
← J’écris l’hypothèse indispensable pour utiliser le cosinus
← J’écris la formule du cosinus avec des lettres
← Je remplace les expressions littérales par les données
← J’utilise la calculatrice pour en déduire la valeur de l’angle 
ACB .
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Séquence 7
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Tu rédigeras comme dans le paragraphe
« je comprends la méthode » précédent.
EXERCICE 27
.
Pour chacune des figures ci-dessous, détermine une valeur approchée au degré près de l’angle ABC
* EXERCICE 28
Marc doit franchir un mur de 3 m de haut à l’aide d’une
échelle de 4 m de long. Pour qu’elle soit stable, l’échelle doit
être posée complètement en haut du mur. Quel angle, arrondi
au degré, forme alors l’échelle avec le mur pour que Marc
puisse le franchir ?
* EXERCICE 29
Sur la figure ci-contre, on a :
●
●
●
●
A, B, D et E, B, C sont alignés.
 = 90°
AEB
 = 90°
BCD
CD = 3 cm et BD = 5 cm
 . Tu donneras ta réponse arrondie au degré près.
Calcule l’angle EAB
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°7, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés
horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête
puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux
solutions.
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159
Séquence 7
SEANCE 8
J’effectue des exercices de synthèse
Effectue les exercices suivants dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 30
 = 40°
ABCD est un losange tel que : AB = 4 cm et BAD
Calcule la longueur AC en cm.
Tu donneras la réponse arrondie au centième près.
**EXERCICE 31
André observe la Lune depuis un point A. Il sait que la distance séparant la surface de la Terre à la
surface de la Lune est d’environ 370 000 km. De plus, son angle d’observation est d’environ 0,5°.
Aide André à déterminer une valeur approchée, au km près, du rayon de la lune.
** EXERCICE 32
Trace un demi-cercle de diamètre [AB] tel que : AB = 8 cm.
Place un point M sur le demi-cercle tel que : AM = 3 cm.
1- Calcule la distance en cm du point B à la droite (AM). Tu donneras ta réponse arrondie au dixième
près.
.
2- Donne une valeur approchée au degré près de l’angle MBA
3- Calcule la distance en cm du point M à la droite (AB). Tu donneras ta réponse arrondie au dixième
près.
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. Il n’est pas guidé.
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Séquence 7
** EXERCICE 33
Arthur se déplace à vélo sur une
route de pente 15° qu’on supposera
rectiligne. Au moment où il part, il
est à une altitude de 1 000 m. Quand
il arrive, il est à une altitude de
1 200 m. Quelle distance, en m,
a-t-il parcourue ? Tu donneras ta
réponse arrondie au mètre près.
La remarque de Quentin
« Je voudrais bien faire apparaître un triangle rectangle pour utiliser le cosinus. »
La remarque de Manon
« Il y a un dénivelé de 200 m entre le départ et l’arrivée, et la pente est toujours de 15° quel que soit
l’endroit où se trouve Arthur. »
La remarque d’Ali
« 180° – (15° + 90°) = 75° »
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°8, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés
horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête
puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux
solutions.
SEANCE 9
J’effectue des exercices de synthèse –fin–
Effectue l’ exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
La question 3 de l’exercice suivant n’est pas guidée. On te demande de trouver trois méthodes
différentes pour déterminer la mesure d’un angle.
Au bout de 10 minutes, lis la remarque d’Ali : il te donne un indice pour trouver une méthode.
Cherche encore 5 minutes puis lis la remarque d’Hugo : il te donne un indice pour une deuxième
méthode.
Cherche encore 5 minutes puis lis la remarque de Lindsay : elle te donne un indice pour une troisième
méthode.
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Séquence 7
*EXERCICE 34
Sur la figure ci-contre, les points A, B, C et E, D, C
sont alignés.
1- Montre que les droites (AE) et (BD) sont parallèles.
2a) Calcule la longueur AC en cm. Tu donneras une valeur
approchée au dixième près de ton résultat.
.
b) Déduis-en la mesure, au degré près, de l’angle EAC
 , puis calcule, au degré près,
3- Trouve trois méthodes différentes permettant de calculer l’angle DBC
cet angle.
Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche la ou
les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les
attentivement, puis entoure en rouge les bonnes réponses.
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Séquence 7
JE M’EVALUE
1- Le triangle ABC est rectangle en B. Alors :
2- Le triangle EFG est inscrit dans un cercle de
diamètre [FG]. Alors :
 On a : AC2 = AB2 + BC2
 Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC  Le triangle est rectangle en E.
est le milieu de [AC].
 Le triangle est rectangle en F.
 Les angles aigus du triangle sont
 Le triangle est rectangle en G.
complémentaires.
3- Le triangle KLM est rectangle en M,
KL = 6 cm et I est le milieu de [KL]. Alors :
4- Les triangles ABC et ADC sont rectangles
respectivement en B et D.
 on ne peut pas déterminer IM.
 IM = 6 cm.
 IM = 3 cm.
 Les points A, B, C et D sont sur un même
cercle.
 Les points A, B, C et D ne sont pas sur un
même cercle.
5- On imagine un ensemble de triangles EFG
.
rectangles en F, qui ont tous le même angle G
GF
Que peut-on dire des rapports
de chacun des
EG
triangles ?
 d’un triangle ABC
6- Le cosinus de l’angle A
rectangle en B est :
 Ils semblent être tous égaux.
 Ces rapports de longueurs ne sont pas tous
égaux.
 Ils sont tous égaux.

BC
AC

AC
BC

AB
AC

AC
AB
7- Quel est environ le cosinus de 45° (arrondi au
dixième) ?
8- Quel angle a pour cosinus 0,8 (arrondi au
dixième de degré près) ?
 0,5
 0,6
 0,7
 0,8
 20,7°
 36,8°
 36,9°
 1°
9- Donne l’arrondi au dixième de la mesure en
10- Donne l’arrondi au dixième de la mesure en

 d’un triangle FGH rectangle en
degré de l’angle R d’un triangle RST rectangle en degré de l’angle F
S tel que : RS = 5 cm et RT = 11 cm.
G tel que : GH = 4 cm et FH = 12 cm.
 63°
 62,9°
 63,3°
 35°
 21,3°
 16,8°
 15°
 19,5°
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