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Ecrit Probabilités
Capes de Mathématiques 2009
Devoir sur table.
10 décembre 2008.
Problème
I
Soit α ∈]0, 1]. Une matrice carrée (ai,j )1≤i,j≤n d’ordre n, constituée uniquement de 0 et de 1, et telle que
(ai,j = 0) =⇒ (ai,1 + · · · + ai,n + a1,j + · · · + an,j ≥ 2αn).
(1)
On veut démontrer que la somme des éléments de la matrice est au moins
égale à αn2 .
****
On pose pour 1 ≤ k ≤ n:
n
Ck =
n
1X
1X
ai,k et Lk =
ak,i .
n i=1
n i=1
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme
sur {1, . . . , n}.
1. Montrer que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, on a E[ak,Y ] = Lk et E[aX,k ] = Ck .
2. On pose Q = E[aX,Y ]. Montrer Q = E[LX ] = E[CY ].
3. Montrer que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, on a
E[1
1{X=k} LX aX,Y ] = E[1
1{X=k} (LX )2 ].
4. En déduire
E[LX aX,Y ] = E[(LX )2 ],
puis
E[LX aX,Y ] ≥ Q2 .
5. Montrer que E[CY aX,Y ] ≥ Q2 .
6. Montrer
µ
¶
LX + CY
− α (1 − aX,Y ) ≥ 0.
2
1
Ecrit Probabilités
Capes de Mathématiques 2009
7. En déduire −Q2 + (1 + α)Q − α ≥ 0, puis Q ≥ α.
8. Conclure.
II
On veut maintenant montrer que la constante α qui apparaı̂t dans la minoration établie dans la partie précédente est optimale. Plus précisément, on
veut montrer que pour tout β > α, il existe un entier n ≥ 1 et une matrice
carrée (ai,j )1≤i,j≤n d’ordre n constituée uniquement de 0 et de 1 vérifiant la
condition (1), et dont la somme des éléments ne dépasse pas βn2 .
0. Question préliminaire: expliquer pourquoi on peut supposer que β ≤ 1.
****
Soit p un réel quelconque vérifiant α < p < β ≤ 1. Pour tout n ≥ 1, on
considère une matrice carrée (Xi,j )1≤i,j≤n d’ordre n dont les entrées sont des
variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p.
On pose alors, pour 1 ≤ k ≤ n:
Hkn =
n
X
Xi,k et Vkn =
i=1
n
X
Xk,j .
j=1
On pose enfin pour i, j entre 1 et n
0
Xi,j
= max(Xi,j ,11{Vin <nα} ,11{Hjn <nα} ).
0
)1≤i,j≤n .
On note Sn0 la somme des éléments de la matrice (Xi,j
0
1. Montrer que la matrice (Xi,j
)1≤i,j≤n est une matrice constituée uniquement de 0 et de 1 vérifiant la condition (1).
2. Montrer que pour tout couple (i, j) d’entiers entre 1 et n, on a
0
E[Xi,j
] ≤ E[Xi,j ] + P(Vin < nα) + P(Hjn < nα) = p + 2P(V1n < nα).
En déduire que
E[Sn0 ] ≤ n2 (p + 2P(V1n < nα)).
3. Énoncer la loi faible des grands nombres; en déduire une majoration de
P(V1n < nα).
4. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul n tel que
E[Sn0 ] ≤ n2 (
5. Montrer que P(Sn0 ≤ βn2 ) > 0.
6. Conclure.
FIN
2
p+β
).
2