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ISITCOM Hammam Sousse
1 DNI
Structures algèbriques
Exercice 1 Soient les quatre fonctions de R∗ dans R∗
f1 (x) = x
f2 (x) =
1
x
f3 (x) = −x
f4 (x) = −
1
x
Montre que G = {f1 , f2 , f3 , f4 } est un groupe pour la loi ◦.
Exercice 2 Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ?
1. ] − 1, 1[ muni de la loi définie par x ? y =
x+y
1+xy
;
2. {z ∈ C : |z| = 2} pour la multiplication usuelle ;
3. R+ pour la multiplication usuelle ;
4. {x ∈ R 7→ ax + b : a ∈ R \ {0} , b ∈ R} pour la loi de composition des applications.
Exercice 3 Soit l’ensemble
J =
x x
x x
∈ M2 (R) : x ∈ R \ {0} .
Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, J est un groupe abélien.
Exercice 4 Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils
des groupes :
GL2 (R) ∩ M2 (Z), {M ∈ M2 (Z) : det M = 1} ?
Exercice 5
1. L’ensemble R \ {−1} muni de la loi ? définie par ∀a, b ∈ R, a ? b = a + b + ab
est-il un groupe ?
2. L’ensemble E = {−1, 1, i, −i} ⊆ C muni de la loi usuelle de multiplication dans C est-il
un groupe ?
3. L’ensemble E = {( a0 00 ) : a ∈ R \ {0}} muni de la loi de multiplication usuelle des matrices
de M2 (R) est-il un groupe ?
4. L’ensemble S2 (R) des matrices symétriques réelles d’ordre 2 muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de M2 (R) est-il un groupe ?
Exercice 6 Montrer que si H et K sont des sous-groupes de G alors H ∩ K est un sous-groupe
de G. Est-ce vrai pour H ∪ K ?
Exercice 7 Si G est un groupe, on appelle centre de G et on note Z(G) l’ensemble
{x ∈ G/∀y ∈ G, xy = yx}
.
1. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
2. Montrer que G est commutatif ssi Z(G) = G.
1
3. Calculer Z(σ3 ).
Exercice 8 Soit H un groupe abélien. Un élément x ∈ H est dit d’ordre fini lorsque il existe
n ∈ N tel que la somme x + ... + x (n-fois) soit égale à 0. Montrer que l’ensemble des éléments
d’ordre fini de H est un sous-groupe abélien de H.
Exercice 9 Soit G un groupe, e son élément neutre. Un élément g de G est dit d’ordre n ∈ N
si g n = e et g k 6= e pour tout entier k < n. g est dit d’ordre fini si il est d’ordre n pour un n
quelconque.
1. Montrer que Gl2 (R) contient des éléments d’ordre 2 et des éléments qui ne sont pas d’ordre
fini.
2. Soit ϕ un homomorphisme de G à valeurs dans H et g un élément de G d’ordre n. Montrer
que :
- ϕ(g) est d’ordre fini inférieur ou égal à n.
- Si ϕ est injectif, l’ordre de ϕ(g) est égal à n.
3. Montrer que si G n’a qu’un nombre fini d’éléments, tous ses éléments ont un ordre fini.
Exercice 10 Soit f : R → C∗ l’application qui à tout x ∈ R associe eix ∈ C∗ . Montrer que f
est un homomorphisme de groupes. Calculer son noyau et son image. f est-elle injective ?
Exercice 11 Soit (G, .) un groupe. On appelle conjugaison par a ∈ G, l’application fa de G
dans G définie par fa (x) = a.x.a−1 .
1. Montrer que fa est un automorphisme de G.
2. Soit Γ = {fa : a ∈ G}. Montrer que (Γ, ◦) est un groupe.
3. Soit Φ : G → Γ, a 7→ fa . Vérifier que Φ est un morphisme. Est-il injectif ? (indication :
préciser ce morphisme lorsque G est abélien).
Exercice 12 Soit (A, +, ×) un anneau.
On appelle centre de A l’ensemble C = {x ∈ A/∀y ∈ A, xy = yx}.
Montrer que C est un sous-anneau de A.
Exercice 13 Soit Z[i] = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 }.
1. Montrer que Z[i] est un anneau commutatif pour les lois usuelles de C.
2. Déterminer les inversibles de Z[i].
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Structures algèbriques
Correction 2
1. Oui.
2. Non. Le seul élément qui peut être l’élément neutre est 1 qui n’appartient pas à l’ensemble.
3. Non. 0 n’a pas d’inverse.
4. Oui.
2 0
0 2
Correction 4 Le premier ensemble n’est pas un groupe car, par exemple, la matrice
1 0
ne peut avoir pour inverse que 2 1 qui n’appartient pas à l’ensemble.
0 2
Notons G = {M ∈ M2 (Z) : det M = 1} et montrons que G est un sous-groupe de Gl(2, R).
– la matrice identité appartient à G.
– si A, B ∈G alors
= 1, et donc AB ∈ G.
det A ×det B= 1 × 1 AB ∈ M2 (Z) et det AB =
d −b
d −b
a b
=
appartient à G et est
– Si A =
(a, b, c, d ∈ Z) alors det1 A
−c a
−c a
c d
l’inverse de A.
Correction 8 Notons G l’ensemble des éléments d’ordre fini de H. Montrons que G est un
sous-groupe de H.
– G ⊂ H et 0 ∈ G.
– Si x ∈ G alors (−x) + (−x) + · · · + (−x) = −(x + x + · · · + x) = 0. Donc −x ∈ G.
– Si x, y ∈ G alors (x + y) + · · · + (x + y) = (x + · · · + x) + (y + · · · + y) = 0 + 0 = 0. Donc
x + y ∈ G.
Nous venons de montrer que G est un sous-groupe de H. De plus comme H est commutatif
alors G l’est aussi !
0 1
1 0
Correction 9
1. La matrice
est d’ordre 2. La matrice
n’est pas d’ordre
1 0
0 2
n 1 0
1 0
1 0
fini puisque, pour tout n ∈ N :
=
6=
.
n
0 2
0 1
0 2
2. Notons eG et eH les éléments neutres respectifs de G et de H. Soit g un élément de G
d’ordre n.
- Alors ϕ(g)n = ϕ(g n ) = ϕ(eG ) = eH . Donc ϕ(g) est d’ordre inférieur ou égal à n, ordre
de g.
- Supposons ϕ injectif et ϕ(g) d’ordre strictement inférieur à n, c’est à dire qu’il existe
p < n tel que : ϕ(g)p = eH . Alors ϕ(g p ) = eH donc, puisque ϕ est injectif et ϕ(eG ) = eH ,
on a aussi : g p = eG , ce qui est impossible puisque l’ordre de g est n.
3. Raisonnons par l’absurde : Soit G un groupe fini. Supposons qu’il existe dans G un élément
g n’étant pas d’ordre fini. Comme G est un groupe, on peut considérer X = {g k k ∈ N}.
Or, pour i 6= j : g i 6= g j . En effet, supposons i < j. Si g i = g j alors g j−i = eG et g est
d’ordre inférieur ou égal à j − i, donc fini, ce qui est impossible. X est donc un ensemble
infini. G contient un ensemble infini donc est infini, ce qui est absurde, donc g ne peut
être que d’ordre fini.
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Correction 10
f : (R, +) −→ (C∗ , ×)
x 7→ eix
Vérifions que f est un morphisme de groupe. Soit x, y ∈ R, alors
f (x + y) = ei(x+y) = eix eiy = f (x) × f (y),
et
f (x−1 ) = ei(−x) =
1
= f (x)−1 .
eix
Donc f est un morphisme de groupe.
Montrons que f n’est pas injective en prouvant que le noyau n’est pas réduit à 0 :
Ker f = {x ∈ R tels que f (x) = 1} = x ∈ R tels que eix = 1 = {x = 0 + 2kπ, k ∈ Z} .
Enfin
Im f = y ∈ C∗ , y = eix
est l’ensemble des complexes de module 1, c’est-à-dire le cercle de centre 0 et de rayon 1.
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