Devoir libre n 7

MPSI A Lycée Hoche
Année scolaire 2016-2017
Devoir libre n◦7
1.
A rendre pour le mardi 06/12
a. Donner quelques exemples de fonctions multiplicatives.
b. Pour tout
n ∈ N∗ ,
La fonction
Exercice : Les nombres de Carmichael
Un entier naturel
n≥2
est appelé nombre de Carmichael si
∗
n−1
∀a ∈ N , a ∧ n = 1 =⇒ a
r(n) = |{p ∈ P | νp (n) 6= 1}| le nombre de nombres
n. On pose alors :
(−1)r(n) si ∀p ∈ P, νp (n) ≤ 1
µ(n) =
0
sinon
notons
µ
est appelée fonction de M÷bius. Montrer qu'elle est faiblement multi-
plicative, mais pas multiplicative.
n
c. Donner dans démonstration un autre exemple classique de fonction faiblement mul-
est non premier et si :
tiplicative mais non multiplicative.
≡ 1 [n].
Dans toute la suite du problème, on considère une application
n ≥ 2. On suppose qu'il
distincts p1 , ..., pr tels que :
1. Soit
(i)
(ii)
a.
r≥2
et des nombres premiers deux à deux
c. Montrer que
n
Montrer que pour tout
est un nombre de Carmichael.
561 = 3 × 11 × 17
i ∈ J1, rK, an−1 ≡ 1 [pi ].
k i ≡ 1 [m] ⇐⇒ r|i.
est l'ordre de
k
Dans toute la suite, on pose
modulo
n ∈ N∗ , f (n) > 0.
g = ln(f ).
On a pour tout
(n, m) ∈ (N∗ )2
:
n ∧ m = 1 =⇒ g(nm) = g(n) + g(m).
m ≥ 2 un entier, soit k ∈ Z. Supposons qu'il existe un entier l ≥ 1 tel que k l ≡ 1 [m].
r ∈ N∗ tel que pour tout i ∈ N :
r
faiblement multi-
f (1).
est un nombre de Carmichael.
Montrer qu'il existe
On dit que
a. Déterminer
b. Montrer que pour tout
∀i ∈ J1, rK, pi − 1|n − 1.
∗
Soit a ∈ N tel que a ∧ n = 1.
f : N∗ → R
plicative, croissante, non nulle.
2.
n = p1 ...pr
b. En déduire que
2. Soit
existe un entier
3. Soit
a ∈ N∗ , a ≥ 2.
a. Montrer que pour tout
k ∈ N, a ∧ (ak + ... + 1) = 1.
b. Montrer que pour tout
k ∈ N∗
:
m.
g(ak − (ak−1 + ... + 1)) ≤ kg(a) ≤ g(ak + ak−1 + ... + 1).
3. Soit
n≥2
un nombre de Carmichael. On souhaite montrer que
n
n'est divisible par le
carré d'aucun nombre premier. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe deux
entiers
p, q ∈ N∗
avec
p
premier tels que
a. Montrer que
an−1 ≡ 1 [n].
b. Montrer que
p
n = p2 q .
Posons
a
modulo
n.
4. Soit
a = 1 + pq .
On pourra commencer par exprimer
est l'ordre de
(1 + pq)(1 − pq).
Conclure.
a ∈ N∗ , a ≥ 2,
Problème : Un théorème d'Erdös
f : N∗ → R
une application. On dit que
f
et soit
k ∈ N∗ .
a. Montrer qu'il existe un unique entier
jk
tel que :
3jk −1 − (3jk −2 + ... + 1) ≤ ak + ... + 1 < 3jk − (3jk −1 + ... + 1).
On explicitera
Soit
pre-
miers intervenants dans la décomposition primaire de
jk
b. En déduire que
en fonction de
a
et de
k.
kg(a) ≤ jk g(3).
c. A l'aide de l'expression de
jk ,
montrer que :
est :
ln(a)
jk
−−−−−→
.
k k→+∞ ln(3)
(i) multiplicative si :
∗ 2
∀(n, m) ∈ (N ) , f (nm) = f (n)f (m)
(ii) faiblement multiplicative si :
∀(n, m) ∈ (N∗ )2 , n ∧ m = 1 =⇒ f (nm) = f (n)f (m)
d. En déduire que :
g(a) ≤
ln(a)
g(3).
ln(3)
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5. Soit
Année scolaire 2016-2017
a ∈ N∗ , a ≥ 3 ,
et soit
k ∈ N∗ .
a. Montrer qu'il existe un unique
mk ∈ N
tel que :
3mk + ... + 3 + 1 ≤ ak − (ak−1 + ... + 1) < 3mk +1 + ... + 3 + 1.
On explicitera
mk
en fonction de
a
et de
k.
b. Montrer que :
mk
ln(a)
−−−−−→
.
k k→+∞ ln(3)
c. En déduire que :
g(a) ≥
6. Montrer qu'il existe
α ∈ R∗
ln(a)
g(3).
ln(3)
tel que :
∀n ∈ N∗ , n ≥ 3 =⇒ g(n) = α ln(n).
7. Montrer que cette égalité reste vraie pour
8. Montrer que pour tout
n=1
et
n = 2.
On pourra calculer
g(6).
n ∈ N∗ , f (n) = nα .
En particulier, toute fonction faiblement multiplicative et croissante est multiplicative. Il s'agit
du théorème d'Erdös.