LEÇON 305: EXERCICES FAISANT INTERVENIR DES NOMBRES PREMIERS Sébastien Aubertin, séance du Lundi 26 Octobre 2009 I NOMBRES PSEUDO­PREMIERS ET NOMBRES DE CARMICHAEL Soit n et a deux entiers. Le théorème de Fermat affirme que si n est premier et a et n sont premiers entre eux, alors a n−1≡1 (mod n) . 1) Soit un entier a≥2 . Un entier n est dit pseudo­premier en base a ( pp­a ) si n n'est pas premier et si a n−1≡1 (mod n) . Si p>2 est un nombre premier ne divisant pas a(a^2­1), montrer que n=(a^{2p}­1)(a^2­1) est un nombre pp­a. En déduire qu'il existe une infinité de nombres pp­a. 2) Un entier n≥2 est appelé nombre de Carmichael si n n'est pas un nombre premier et si pour tout entier a, a n≡a mod n (En particulier, pour tout entier n premier avec a , n est pp­a) 1. Montrer que, si n= p 1 ... pk ou les pi sont des nombres premiers, et tels que pour tout i pi – 1 | n – 1 , alors n est un nombre de Carmichael. 2. Réciproquement, montrer que tout nombre de Carmichael peut se mettre sous la forme n= p 1 ... p k où les pi sont des nombres premiers, et tels que pour tout i pi – 1 | n – 1 . 3. Montrer qu'un nombre de Carmichael a au moins trois facteurs premiers. 4. Soit n= pqr un nombre de Carmichael à trois facteurs premiers. Montrer que si p est fixé, q et r sont bornés. II TEST DE PRIMALITE DE FERMAT SOUS SCILAB Écrire une fonction prim_fermat pour Scilab qui teste la « probable primalité » d'un entier. Cette fonction prend en argument un entier positif et retourne un booléen avec la valeur vrai si n est pp­a pour a ∈ { 2, 3,5, 7 } et faux si n est composé. On effectuera de préférence les calculs sur des vecteurs plutôt que des variables réelles , et on pourra écrire une fonction qui calcule les puissance modulo n des coordonnées d'un vecteur a pour éviter les grands nombres. Tester cette fonction pour quelque entiers puis vérifier que la fonction prim_fermat retourne vrai pour n=75361=11×13×17×31 . Que faut­il modifier dans l'algorithme pour qu'il détecte que 75361 est composé? III RÉPARTITION DES NOMBRES PREMIERS Soit P l'ensemble des nombres premiers. 1) Montrer que tout entier n supérieur ou égal 2 est produit d'un nombre fini d'éléments de P. 2) Prouver que P est infini. 3) On note p1 p 2... pn ... les éléments de P. Montrer que la série de terme général 1 est divergente. pn IV LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN ∞ 1 Pour tout s1 , on pose ζ s=∑ s , et on note pn n ∈N la suite des nombres premiers n=1 n rangés dans l'ordre croissant. n 1 * . Prouver que la suite un n ∈N a une limite 1) Si n ∈ N , on note u n=∏ −s k=1 1− p k réelle non nulle notée Z s . 2) Établir Z s=ζ s . * *