CHAPITRE 5 − LES NOMBRES PREMIERS 1/ DEFINITION DEF Un nombre entier naturel n , strictement plus grand que 1 est dit premier ⇔ l'ensemble de ses diviseurs dans est { 1 , n } Remarque 0 et 1 ne sont pas premiers. Un nombre , strictement supérieur à 1 non premier est dit composé. Crible d'Eratosthène 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2/ EXISTENCE D'UNE INFINITE DE NOMBRES PREMIERS 21/ Préliminaire PROP ( * ) Tout nombre entier naturel n , strictement supérieur à 1 , admet au moins un diviseur premier. Démonstration Cas 1 Si n est premier, alors n admet 1 et n comme diviseurs, et donc en particulier n qui est premier : immédiat. Cas 2 Si n n'est pas premier, n admet des diviseurs autres que 1 et lui−même. Notons d le plus petit de ces diviseurs, autre que 1 ( * ). Montrons que d est premier. Effectuons un raisonnement par l'absurde. On suppose que d n'est pas premier ( H ). On suppose donc que d admet des diviseurs autres que 1 et lui−même, en particulier δ ( distinct donc de 1et d ). En particulier, on a : 1 < δ < d. Or, δ divise d et d divise n , donc δ divise n , est distinct de 1 et est plus petit que d. Ceci est en contradiction avec l'affirmation ( * ) . Par conséquent, l'hypothèse ( H ) est inexacte. On a donc bien d nombre premier. 22/ Infinité de nombres premiers PROP Il existe une infinité de nombres premiers. Démonstration Effectuons un raisonnement par l'absurde: Supposons qu'il existe un nombre fini s de nombres premiers distincts, notés p1 , p2 , p3 , … , ps ( H ). On considère alors le nombre entier : n = p1 × p2 × p3 × … × ps + 1. D'après la propriété ( * ) , n admet, en tant qu'entier, au moins un diviseur premier. Les nombres premiers étant en nombre fini, le diviseur cité précédemment est forcément l'un des nombres : p1 , p2 , p3 , … , ps . Notons p i ce diviseur. On a alors : p i divise … et p i divise ……………………………… Alors p i divise ……………………………………… , soit p i divise … Ce qui est impossible, car p i est un entier strictement supérieur à 1. Donc , l'hypothèse ( H ) est absurde. Il existe donc une infinité de nombres premiers. 3/ DECOMPOSITION D'UN ENTIER NATUREL EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS 31/ Existence de la décomposition PROP Tout nombre entier naturel n non nul et non premier est le produit de nombres premiers. La décomposition est unique à l'ordre près. Démonstration L'unicité de la décomposition est admise. Intéressons−nous à l'existence de cette décomposition: Algorithme de décomposition : Soit n un entier naturel non premier. D'après la propriété ( * ) , n admet au moins un diviseur premier a . Autrement dit, il existe un entier q1 tel que : n = a × q1 avec 1 < q1 < n et a premier. − Si q1 est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée. − Sinon, si q1 n'est pas premier : D'après la propriété ( * ) , q1 admet au moins un diviseur premier b . Autrement dit, il existe un entier q 2 tel que : q1 = b × q 2 avec 1 < q 2 < q1 et b premier. Ce qui se résume en : n = a × b × q 2 avec : 1 < q 2 < q1 < n et a , b premiers. − Si q 2 est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée. − Sinon, si q 2 n'est pas premier : D'après la propriété ( * ) , q 2 admet au moins un diviseur premier c . Autrement dit, il existe un entier q 3 tel que : q 2 = c × q 3 avec 1 < q 3 < q 2 et c premier. Ce qui se résume en : n = a × b × c × q 3 avec : 1 < q 3 < q 2 < q1 < n et a , b , c premiers … − Si q 3 est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée. − Sinon, on poursuit le processus : on obtient alors une suite strictement décroissante d'entiers q i , strictement plus grands que 1 : Le processus s'arrête dès qu'un quotient q i est premier . La décomposition en produit de nombres premiers est alors obtenue. 32/ Conséquences : Diviseurs et multiples d'un nombre premier Les nombres premiers obtenus ne sont pas forcément tous distincts. En regroupant ceux qui sont égaux, on obtient une expression de la forme : n = p1α1 × p2 α2 × p3 α3 × . . . . × pk αk . Tout nombre : m = p1γ1 × p2 γ 2 × p3 γ 3 × . . . . × pk γ k avec : γ 1 ≥ α1 , γ 2 ≥ α 2 , γ 3 ≥ α 3 , . . . , γ k ≥ α k , est un multiple de n . Tout nombre : d = p1β1 × p2 β2 × p3 β3 × . . . . × pk βk avec : β1 ≤ α1 , β 2 ≤ α 2 , β 3 ≤ α 3 , . . . , β k ≤ α k , est un diviseur de n . Le nombre de diviseurs de n est : (α1 + 1)× (α 2 + 1)× (α 3 + 1)× . . . . × (α k + 1) . En effet : Puissance de p1 Puissance de p2 Puissance de p3 . . . . Puissance de pk 0 1 2 0 1 0 Diviseurs de n α2 αk 0 1 1 α2 0 1 α1 α2 4/ QUELQUES PROPRIETES 41/ théorèmes de divisibilité TH p est un nombre premier et n est un entier naturel non divisible par p. Alors, n et p sont premiers entre eux. Démonstration Les diviseurs positifs de p sont 1 et p car p nombre premier. Or, p n'est pas un diviseur de n par hypothèse, donc seul 1 peut être un diviseur positif commun à n et p. D'où n et p sont premiers entre eux. TH p est un nombre premier , a et b sont deux entiers naturels. Si p ab , alors p a ou p b . Démonstration Soit p un nombre premier , a et b deux entiers naturels. On suppose p ab . Deux possibilités existent : − Soit p a − Soit p ne divise pas a. Or, p un nombre premier, alors d'après TH précédent : a et p premiers entre eux. Puisque p ab , alors, d'après le théorème de Gauss : p b . Cas particulier Soit p un nombre premier , a et n sont deux entiers naturels. Si p a n , alors p a . TH p , a et b sont trois nombres premiers. Si p ab , alors p = a ou p = b . 42/ Utilisation de la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le pgcd et le ppcm. PROP Le pgcd de 2 nombres s'obtient en effectuant le produit de tous les facteurs premiers communs aux deux nombres , chacun étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions. PROP Le ppcm de 2 nombres s'obtient en effectuant le produit de tous les facteurs premiers contenus dans l'un au moins des deux nombres , chacun étant affecté du plus grand exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions. Exemple a = 540 = . . . . . . . . . . . . . . . . et b = 1008 = . . . . . . . . . . . . . . . . . Alors : Pgcd ( a , b ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . et Ppcm ( a , b ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROP Deux nombres entiers naturels non nuls sont premiers entre eux ⇔ Ils n'ont, dans leurs décompositions, aucun facteur premier commun. 43/ Petit théorème de Fermat. TH Soit p un nombre premier. Soit a un entier naturel non divisible par p. Alors a p−1 − 1 est divisible par p ( autrement dit : a p−1 ≡ 1 [p ] ) Démonstration On considère la liste des multiples de a , à partir de a jusqu'à (p −1)× a : m1 = a m 2 = 2a m 3 = 3a ... m p−1 = (p − 1)× a Notons ri le reste de la division euclidienne de m i par p. Montrons tout d'abord que ri ≠ 0 , pour tout i ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } Raisonnons par l'absurde : Supposons qu'il existe un entier k ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } , tel que rk = 0 , autrement dit : p m k , soit p ka . Or p ne divise pas a par hypothèse et p nombre premier, donc p et a premiers entre eux ( cf 1er th. du § 41 ) Alors, d'après le théorème de Gauss : p k , donc p ≤ k . Or, k ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } , donc on a : k < p. D'où absurdité. Conclusion : ri ≠ 0 , pour tout i ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } Montrons que les restes ri sont tous distincts deux à deux. Raisonnons par l'absurde : Supposons qu'il existe deux entiers k et k ' distincts, dans { 1 , 2 , … , p − 1 } , tel que rk = rk ' . Alors on en déduit : ka ≡ k ' a [ p ] , soit : ( k − k ' )a ≡ 0 [ p ] ,soit encore : p ( k − k ' )a . Or, p et a premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss : p k − k ' . Alors : p ≤ k − k ' . Or, on a : 1 ≤ k − k ' ≤ p − 2 < p. D'où absurdité. Conclusion : les restes ri sont tous distincts deux à deux Dans ce cas : r1 × r2 × r3 × . . . . . × rp−1 = 1× 2 × 3 × . . . . . × ( p − 1 ) = ( p − 1 ) ! Montrons : p divise a p−1 − 1 On a : m1 ≡ r1 [p ] , m 2 ≡ r2 [p ] , m 3 ≡ r3 [p ] , . . . . , m p −1 ≡ rp−1 [p ] , donc : m1 × m 2 × m 3 × . . . . . × m p −1 ≡ r1 × r2 × r3 × . . . . . × rp−1 [p ] , soit : a × 2a × 3a × . . . . . × ( p − 1 )a ≡ ( p − 1 ) ! [p ] soit : 1× 2 × 3 × . . . . . × ( p − 1 )× a p −1 ≡ ( p − 1 ) ! [p ] soit : ( p − 1 ) ! × a p−1 ≡ ( p − 1 ) ! [p ] [ ] soit : p divise ( p − 1 ) ! [ a soit : ( p − 1 ) ! a p −1 − 1 ≡ 0 [p ] p −1 −1 ] soit : p divise 1 ou p divise 2 ou p divise 3 ou … p divise p − 2 ou p divise p − 1 ou p divise a p−1 − 1 , car p nombre premier. Or, p > 1 , p > 2 , p > 3 … p > p− 2 et p > p − 1 donc p ne peut diviser aucun des entiers 1, 2, 3, … p − 2 et p − 1. Conclusion : p divise a p−1 − 1 . TH Corollaire du petit théorème de Fermat Soit p un nombre premier. Soit a un entier naturel. Alors a p − a est divisible par p ( autrement dit : a p ≡ a [p ] ) Démonstration ( ) a p − a = a a p −1 − 1 alors a p −1 − 1 ≡ 0 [p ] d'après le petit théorème de Fermat Si p ne divise pas a, ( ) alors a a p −1 − 1 ≡ 0 [p ] , soit a p − a ≡ 0 [p ] Si p I a, alors a ≡ 0 [p ] ( ) alors a a p −1 − 1 ≡ 0 [p ] , soit a p − a ≡ 0 [p ] Exemple 1/ Montrer que n 7 − n est divisible par 42, pour tout entier naturel n.