Inéquations

Inéquations 1er degré
Ordre et Opposés :
1º ) Inégalité et ordre
Rappels : Soit a, b et c trois nombres (non nuls)
•
•
Si a ≤ b alors a + c ≤ b + c
Exemple :
donc en ajoutant 2
3< 8
5 < 10
Si a ≤ b alors a − c ≤ b − c
Exemple :
donc en soustrayant 2
3< 8
1<6
Lorsque que l'on ajoute ou soustrait un même nombre à
chaque membre d’une inégalité, on ne change pas l'ordre
des termes.
•
•
Si c est strictement positif
si a ≤ b alors a × c ≤ b × c
Exemple : 3 < 5
6 < 10
Si c est strictement positif
a b
si a ≤ b alors ≤
c c
Exemple :
9 < 12
3< 4
Lorsque l'on multiplie ou divise par un même nombre
positif chaque membre d’une inégalité, on ne change pas
l'ordre des termes;
2<5
-2 >-5
Soit « a » et « b » deux nombres. Si a < b alors – a > – b
Deux nombres sont rangés dans l'ordre contraire de leurs opposés.
2º) Inéquation :
Multiplication (et division) par un nombre négatif :
Sur la droite graduée–ci dessous, placer en bleu :
le point A d’abscisse –3
le point B d’abscisse 4
le point C d’abscisse 5
Sur la droite graduée–ci dessous, placer en rouges les points A’;B’et C’ dont
les abscisses sont respectivement celle de A ; B et C multipliées par (–3)
Définition : Une inéquation est une inégalité contenant une
ou plusieurs inconnues
Exemple nº1 :
Parmi les nombres -3 ; –1 ; 2 ; 4
lesquels sont solution de l’ inéquation 5x² –20> 2x
Pour –3
on calcule 5x²-20 = 5*9-20= 45-20 = 25
Puis 2x = -9
Or 25> - 9 donc -3 est une solution de l’inéquation
Déterminer les nombres de la deuxième ligne puis compléter par > ou < :
–3
<
Pour –1
on calcule 5x²-20 = 5*1-20= -15
Puis 2x = -2
Or –15 < -2 donc –1 n’est pas une solution
Pour 2
on calcule 5x²-20 = 20-20= 0
Puis 2x = 4
Or 0 < 4 donc 2 n’est pas une solution
4 < 5
× (–3)
× (–3 )
+ 9 > - 12 > - 15
Soit « a » et « b » deux nombres. Et soit c un nombre négatif
Si a < b
alors a × c > b × c
Pour 4
on calcule 5x²-20 = 5*16-20= 60
Puis 2x =8
Or 60> 8 donc 4 est une solution de l’inéquation
! Lorsque l'on multiplie (ou divise) chaque membre d’une inégalité
par un même nombre Négatif
On change l'ordre des termes;
Exemple nº 2 :
– 5 x + 10 < 2
0 est–il une solution ?
5 × 0 + 10 = 10
or 10 n’est pas inférieure à 2 donc 0 n’est pas une solution
4 est–il une solution ?
–5 × (4)+10 = –10 or –10<2 donc 4 est une solution.
–3 est–il solution ?
–5 × (3)+10 = –5 or –5<2 donc 3 est une solution
Pour trouver toutes les solutions on résout l’inéquation :
– 5 x + 10 < 2
– 5x < 2 –10 « on soustrait 10 de chaque côté »
–5x <–8
« Calcul »
x > –8 / (–5) « On divise par (–5) de chaque côté donc on change le sens ».
x > 1,6
3°) Système d’inéquations
 2x − 3 < 7
Exemple résoudre : 
 −3 x + 1 < 4
on cherche l’ensemble des nombre x qui vérifient les 2 inéquations.
Les solutions sont tout les nombres strictement supérieurs à 1,6 .
On représente cela sur un axe :
Solutions
–––––––––––––|–––––|––]================>
0
Ici les solutions sont les nombres strictement compris entre –1 et 5
1,6
En ce qui concerne le sens du crochet ( voir activité 10 page 74 )
5 x − 7 ≥ 8 x − 1
Résoudre : 
 4x + 2 ≤ x −1
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à –2
 7 x − 5 > 2x + 3
Résoudre : 
−5 x + 1 > −2 x + 5
pas de solution
 2(3x − 1) < 4 x + 5
Résoudre : 
1 − (−5 x + 3) > −2( x − 1)
Ici les solutions sont les nombres strictement compris entre 4/7 et 7/2