Université Paris 13- Sup Galilée MACS 1 Mathématiques Année universitaire 2013-2014 Feuille d’exercices 5 Espaces de Hilbert p et de la norme ||f ||2 = hf |f i. Soit F le sous-espace vectoriel des f ∈ E telles que, pour tout x vérifiant 12 ≤ x ≤ 1, on ait f (x) = 0. 1. Montrer que F est un fermé dans E. 2. a) Quel est l’orthogonal (F ⊥ ) de F dans E ? b) Quel est l’orthogonal de F ⊥ dans E ? c) Toute f ∈ E s’écrit-elle f = g + h, où g ∈ F et h ∈ F⊥ ? 3. Soit f ∈ E. On appelle projection orthogonale de f sur F, si elle existe, une fonction g ∈ F telle que f − g appartienne à F ⊥ . a) La fonction x 7→ x − 21 a-t-elle une projection orthogonale sur F ? b) La fonction x 7→ 1 a-t-elle une projection orthogonale sur F ? c) Trouver une condition nécessaire et suffisante simple sur f ∈ E, pour que f ait une projection orthogonale sur F ? Exercice 1 Soit E = C([0, 1]; R), montrer, pour tout f de E, l’inégalité Z 1 Z 1 1 1 √ |f (t)|2 dt 2 . f (t) sin πtdt ≤ 2 0 0 Exercice 2 Soit E un espace vectoriel réel euclidien, muni d’un produit scalaire (x, y) 7→ hx|yi et de la norme || · || associée. 1) Étant donnés x, y ∈ E, montrer que y et z sont orthogonaux si et seulement si ||y|| ≤ ||y + λz|| pour tout réel λ. 2) Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E, avec F 6= {0}, et P le projecteur de E sur F parallèlement à G. Montrer que F et G sont orthogonaux si et seulement si P est continu et de norme égale à 1. Exercice 6 Soit E un espace préhilbertien complexe, et A : E → E une application linéaire. Montrer que si pour tout x l’on a ||Ax|| = ||x||, alors, pour tout x et tout y l’on a hx|yi = hAx|Ayi. Montrer que si, de plus, A est surjective, alors pour toute partie U de E l’égalité A(U ⊥ ) = (A(U ))⊥ a lieu. Exercice 3 Soient H un espace préhilbertien, f un élément de H et (fn ) une suite dans H. Montrer que, lorsque n tend vers l’infini, (fn ) converge vers f pour la norme de H si et seulement si ||fn || → ||f || et hfn |f i → ||f ||2 . Exercice 7 Dans l2 on considère l’ensemble : F = {x = (xk )k∈N ∈ l2 ; x2k = x2k+1 }. 1) Vérifier que F est un sous espace vectoriel fermé de l2 . 2) Décrire F ⊥ . 3) Décomposer x suivant F et F ⊥ . Exercice 4 Soit E = C([−1, 1]; R) muni du produit scalaire Z 1 hf |gi = f (x)g(x)dx −1 et H le sous espace vectoriel des fonctions impaires. Déterminer l’orthogonal H ⊥ de H. Exercice 8 Soit H Zl’espace L2 ([0, π]), muni du produit scalaire Exercice 5 Soit E l’espace préhilbertien sur R des fonctions x 7→ f (x) définies et continues pour 0 ≤ x ≤ 1, muni du produit scalaire Z 1 hf |gi = f (x)g(x)dx π hf |gi = f (x)g(x)dx et de la norme associée. 0 1. On note e1 et e2 les fonctions de H définies par r r 2 2 e1 (x) = cos x et e2 (x) = sin x. π π 0 1 b) Montrer que A∗ est continu. Vérifier que (e1 , e2 ) est orthonormé. 2. Soit, pour toute fonction f de H et pour tout x ∈ [0, π], Z π Af (x) = sin(x + t)f (t)dt. c) Vérifier que (A∗ )∗ = A et ||A∗ || = ||A||. d) Si H = Cn avec le produit scalaire hy|xi = 0 n X xi yi . i=1 Calculer la matrice de A∗ dans la base canonique en fonction de celle de A. Dire brièvement pourquoi on définit ainsi un opérateur linéaire continu A de H dans lui-même. Exprimer Af en fonction des produits scalaires hf |e1 i et hf |e2 i. 3) En déduire la valeur de ||A||. Exercice 11 On note Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, à coefficients réels. On se donne n + 1 nombres réels distincts a0 , · · · , an , et on pose pour f et g dans Rn [X] : Exercice 9 On considère l’espace L2 ([−1, 1]), muni du produit scalaire Z 1 f (x)g(x)dx hf |gi = −1 hf |gi = et de la norme associée. P désigne l’espace des polynômes de degré ≤ 2, pris comme sous espace de L2 ([−1, 1]). Soit, pour toute fonction f de L2 ([−1, 1]) et pour tout x ∈ [−1, 1], Z 1 Af (x) = (x2 + xy + y 2 )f (y)dy. n X f (ai )g(ai ). i=0 1) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur Rn [X]. 2) (a) Soient b0 , · · · , bn (n + 1) nombres réels ( non nécéssairement distincts), rappeler comment on peut trouver un polynôme L de Rn [X] vérifiant L(ai ) = bi pour i = 0, · · · , n; ( polynômes d’interpolation de Lagrange). (b) Montrer que pour tout k ≤ n, il existe fk ∈ Rk [X] tel que pour tout g ∈ Rk [X] l’on ait −1 1. Vérifier qu’on définit ainsi un opérateur continu A de L2 ([−1, 1]) dans lui-même, que l’image de A est contenue dans P et que Af = 0 pour toute fonction f orthogonale à P. 2. En déduire que, si f est une fonction propre de A correspondant à une valeur propre λ non-nulle, f appartient à P. Trouver toutes les valeurs propres et, pour chaque valeur propre non nulle, un vecteur propre de norme 1. Vérifier qu’on obtient ainsi un système orthonormé (e1 , e2 , e3 ). 3. Pour tout f ∈ L2 ([−1, 1]), donner l’expression de Af en fonction des produits scalaires hf |ei i. En déduire la norme de A. n n X X (fk (ai ) − bi )2 ≤ (g(ai ) − bi )2 . i=0 i=0 Exercice 12 Soit E un espace de Hilbert, B la boule fermée de centre x0 et de rayon R, F le sous espace vectoriel engendré par un système orthonormé (e1 , · · · , en ) de E. 1) Déterminer la distance d’un point x de E à B. Exercice 10 Soit H un espace de Hilbert et A un endomorphisme continu de H. a) Montrer que la forme linéaire φy : x 7→ hy|Axi est continue. En déduire qu’il existe un vecteur A∗ y tel que ∀x ∈ H, hy|Axi = hA∗ y|xi. 2) Démontrer que : d(B, F ) = max n ||x0 ||2 − n X i=1 2 |hx0 |ei i|2 21 o − R, 0 .