Correction : Devoir surveillé : Probabilités. 1°S1 14/05/2012

1°S1
14/05/2012
Correction : Devoir surveillé : Probabilités.
Exercice 1 :
Une variable aléatoire X a pour espérance 2 et pour variance
.
On a : E(Y) = 3 E(X) = 6 et V(Y) = 3 × V(X) = .
2
Exercice 2 :
On s’intéresse aux familles de trois enfants.
On prend au hasard une de ces familles et on note le sexe de chaque enfant dans l’ordre décroissant
des âges. Ainsi, FFG désignera l’issue : « Les deux premiers enfants sont des filles et le dernier, un
garçon ».
On considère une loi équirépartie sur l’ensemble des issues de cette expérience aléatoire.
1) Voici l’arbre de cette expérience aléatoire :
1° enfant
2°enfant
3° enfant
F
F
G
G
F
G
F
F
G
G
F
G
F
G
2) a) La probabilité d’obtenir l’issue FFG est
×
×
= .
b) A : « il y a au moins deux filles ».
P(A) = 4 × × × = .
c) B : « il n’y a pas de garçon ».
P(B) = P(FFF) = .
C : « il y a au moins un garçon ».
P(C) = 1 – P(B) = 1 - = .
3) On considère la variable aléatoire X qui à chaque issue associe le nombre de filles dans la
famille.
La loi de probabilité de X est :
k
P(X = k)
0
1
8
1
3
8
2
3
8
3
1
8
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Correction : Devoir surveillé : Probabilités.
Exercice 3 :
Kévin possède une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d’obtenir « pile » est et celle
d’obtenir « face » est .
Kévin propose à Lucile de lancer la pièce : si Lucile obtient « face », Kévin lui donne x euros ; si
Lucile obtient « pile », elle donne y euros à Kévin (x et y sont des entiers naturels).
1) Les lois de probabilité des variables aléatoires L et K, donnant les gains de Lucile et Kévin
lors du lancer d’une pièce, sont :
k
x
-y
1
2
P(L = k)
3
3
k
P(K = k)
=∑
=x×
On a : E(L)
-x
1
3
y
2
3
( = )
–y×
=
De plus : E(K) = ∑
=-x×
( = )
+y×
=
2) Le jeu est équitable pour Kévin lorsque E(K) = 0, soit lorsque
Dans ce cas, on a : E(L) =
==
= 0, soit 2y = x.
= 0.
Le jeu est alors aussi équitable pour Lucile.
Exercice 4 :
1) Voici l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire :
1° boule
2° boule
3° boule
B
B
N
N
B
N
B
B
N
N
B
N
B
N
2) a) Voici la loi de probabilité de la variable aléatoire X :
k
0
1
P(X = k)
0,512
0,2
2
0,16
3
0,128
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Correction : Devoir surveillé : Probabilités.
b) On a :
E(K) = ∑
( = )= 0,904.
V(X) =∑
( = )– [E(X)]2 = 1,174784
σ(X) =
( ) ≈ 1,08
3) On considère que l’on perd x € (x entier naturel) si la boule noire n’est pas tirée, et on gagne
1 € si le rang de la première apparition de la boule noire est 1, 2 € si le rang de la première
apparition de la boule noire est 2, et enfin 3 € si le rang de la première apparition de la boule
noire est 3. On note G la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain de ce jeu.
a) On suppose que x = 5.
La loi de probabilité de la variable aléatoire G est :
k
P(G = k)
-x
0,512
1
0,2
2
0,16
3
0,128
On a :
E(G) = ∑
( = )= - 1,656.
Ce jeu est donc défavorable, puisque l’espérance est négative.
b) Le jeu est favorable lorsque l’espérance est positive.
Or : E(G) = ∑
( = )= 0,904 – x × 0,512.
Donc :
E(G) > 0
0,904 – x × 0,512 > 0
0,512x < 0,904
x < 1,76
x est un entier naturel.
Les valeurs possibles pour x sont donc 0 et 1.
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