Cours de Licence Structures Algébriques 2016/7 5. Sylow etc. Théorème 5.1. Si G agit sur un ensemble S alors CardOx = [G : Gx ] (Ox =l’orbite de x). CardG Si G est fini, alors CardOx = CardG ou (CardOx )(CardGx ) = CardG x Lemme 5.2. Soit p un nombre premier, et soit H un groupe d’ordre pn . Si H agit sur un ensemble fini S, et l’ensemble des points fixés est S0 = {x ∈ S | h · x = x ∀h ∈ H}, alors |S| = |S0 | mod p. Démonstration. L’orbite de x ∈ S est {x} ssi x ∈ S0 . Donc S = S0 ∪ x̄1 ∪ · · · ∪ x̄r . où |x̄i | > 1. Mais |x̄i | = [H : Hxi ] > 1 et divise pn , donc |S| = |S0 | mod p. Théorème 5.3. Si G est un groupe fini, et p est un nombre premier qui divise |G|, alors G contient un élément d’ordre p. Démonstration. Soit S = {(a1 , . . . , ap ) | ai ∈ G, a1 . . . ap = e} ⊂ p copies z }| { G × · · · × G. On a |S| = np−1 car ap = (a1 . . . ap−1 )−1 . Mais p | n, donc |S| = 0 mod p. Les éléments t ∈ Zp agissent sur S par t·(a1 , . . . , ap ) = (a1+t , . . . , ap , a1 . . . , at ), pour t ∈ Zp (l’image est bien dans S). On a (a1 , . . . , ap ) ∈ S0 si et seulement si a1 = a2 = · · · = ap et api = e. Mais (e, . . . , e) ∈ S0 et donc |S0 | 6= 0, et |S| = |S0 | mod p implique qu’il y a un élément a ∈ G tel que (a, . . . , a) ∈ S0 , et donc ap = e (il y en a au moins p tels éléments). On a montré alors qu’il y a un sous–groupe d’ordre p. A4 est un groupe d’ordre 12, mais il n’y a pas de sous–groupe d’ordre 6. Définition 5.4. Soit p un nombre premier: un p–groupe est un groupe où tout élément est d’ordre une puissance du nombre p. Corollaire 5.5. Un groupe fini est un p–groupe si et seulement si |G| est un puissance de p. Corollaire 5.6. G 6= {e} un p–groupe =⇒ le centre Z(G) 6= {e}. Démonstration. Avec l’action de G sur G par conjugaison, les éléments du centre Z(G) sont ceux d’orbites singletons, et le sous–groupe qui 2 P fixe un élément x est ZG (xi ). On a |G| = |Z(G)| + [G : ZG (xi )], et p divise chaque terme de la somme. (Ici S = G et S0 = Z(G).) Conclusion: p divise |Z(G)|. Lemme 5.7. Soit G un groupe fini, et H un sous–groupe qui est un p–groupe. Alors [NG (H) : H] = [G : H] mod p. Démonstration. Soit S = G/H, l’ensemble des classes latérales gauches de H dans G: |S| = [G : H]. Par multiplication gauche, H agit sur l’ensemble S. Quels sont les éléments de S0 (les classes fixées par H — les classes donc l’orbite se réduisent à des singletons)? hxH = xH ∀h ∈ H ⇐⇒ x−1 hxH = H ∀h ∈ H, et donc x ∈ NG (H). C’est à dire |S0 | est le nombre de classes xH telles que x ∈ NG (H) — il y en a [NG (H) : H]. Mais lemme 5.2 dit que |S| = |S0 | mod p donc [NG (H) : H] = |S0 | = |S| = [G : H] mod p. On a toujours que [NG (H) : H] ≥ 1, donc: Corollaire 5.8. Si H est un p–sous–groupe d’un groupe fini G, tel que p divise [G : H], alors NG (H) 6= H. On peut maintenant démontrer le premier théorème de Sylow: Théorème 5.9. Premier théorème de Sylow Soit G un groupe d’ordre pn m où p premier, p ∧ m = 1. Pour tout 1 ≤ i ≤ n il y au moins un sous–groupe de G d’ordre pi , et pour chaque sous–groupe d’ordre pi (i < n) dans G il y un sous–groupe d’ordre pi+1 dans lequel il est distingué. Démonstration. On sait que G contient un élément a d’ordre p. Par récurrence, supposons qu’il y a un sous–groupe H d’ordre pi , i < n. Alors p | [G : H], et H est distingué dans NG (H), et p divise |NG (H)/H|. Le groupe NG (H)/H contient donc un élément d’ordre p. Cet élément engendre un sous–groupe d’ordre p qui est de la forme H1 /H, où H1 est un sous–groupe de NG (H) qui contient H comme sous–groupe distingué. De plus, |H1 | = |H| |H1 /H| = pi p = pp+1 . Définition 5.10. Un sous–groupe P < G est un p–sous–groupe de Sylow, si P est un p–sous–groupe qui est maximale, c’est à dire, P < H < G, et H un p–sous–groupe, alors P = H. 3 Les p–sous–groupes de Sylow existent, et si P est un p–sous–groupe, alors il existe un p–sous–groupe de Sylow qui le contient (peut etre ils sont triviaux; et si G est infini, il faut le Lemme de Zorn). Corollaire 5.11. Soit G un groupe d’ordre pn m, avec p ∧ m = 1, et soit H un p–sous–groupe de G. 1) H est un p–sous–groupe de Sylow ssi |H| = pn . 2) Tout conjugué d’un p–ss–gpe de Sylow est un p–ss–gpe de Sylow. 3) Si le p–sous–groupe de Sylow est unique, alors il est distingué. Démonstration. 1) est une conséquence immédiate du résultat précédent (il existe un p–sous–groupe d’ordre pj pour tout j = 1, . . . , n. 2) est une conséquence de 1) — le conjugué d’un sous–groupe d’ordre n p est un sous–groupe d’ordre pn . 3) est une conséquence de 2). Théorème 5.12. Deuxième théorème de Sylow Soit G un groupe fini, H un p–ss–gpe, P un p–ss–gpe de Sylow de G. Alors il existe x ∈ G tel que H < xP x−1 . Si P 0 est un autre p–sous–groupe de Sylow de G, alors P et P 0 sont conjugués dans G. Démonstration. Soit S l’ensemble des classes latérales gauches de P dans G. Le groupe H agit sur S par multiplication à gauche. Le sous– ensemble S0 fixé par H satisfait [G : P ] = CardS ≡ CardS0 mod p, d’après les résultats ci–dessus, et P Sylow =⇒ [G : P ] 6= 0 mod p. Mais xP ∈ S0 ⇐⇒ hxP = xP ∀h ∈ H ⇐⇒ x−1 hx ∈ P ∀h ∈ H ⇐⇒ x−1 Hx < P ⇐⇒ H < xP x−1 . Théorème 5.13. Troisième théorème de Sylow Soit G un groupe fini, p un nombre premier. Le nombre de p–sous–groupes de Sylow de G divise CardG, et est égal á 1 mod p. Démonstration. Soit P un p–sous–groupe de Sylow. Soit S l’ensemble des p–sous–groupes de Sylow; chacun est un conjugué de P . Mais le nombre de conjugués de P est [G : NG (P )], qui divise CardG. Le groupe P agit sur S par conjugaison. Le sous–ensemble S0 des p–sous– groupes de Sylow qui sont fixés par P , sont les Q tels que xQx−1 = Q pour tout x ∈ P . Ceci veut dire P < NG (Q). Mais alors P et Q sont 4 des p–sous–groupes de Sylow de NG (Q), et donc conjugués dans NG (Q). Mais Q est distingué dans NG (Q), et donc Q = P , et S0 = {P }, et 1 = CardS0 ∼ = CardS mod p. Exemple: Si G contient 21 éléments, et donc le nombre N de 7–ss– gpes de Sylow divise 21 et est égal à 1 mod 7: comme 8 ne divise pas 21, 15 non plus, alors il n’y en a qu’un, qui est donc distingué. Le nombre M de 3–ss–gpes de Sylow doit est 1 mod 3 donc 1,4,7,10 sont possibles. Mais 4 ne divise pas 21 donc les possibilités sont 1 et 4. Dans le premier cas, G ≡ (Z/3Z) × (Z/7Z). Dans le deuxième cas, il y a un sous–groupe distingué d’ordre 7, engendré par a, et un sous groupe d’ordre 3, engendré par b. Dans ce cas on note que G = haihbi = {ai bj ki = 0, . . . , 6, j = 0 . . . 2} Définition 5.14. Soit G un groupe, H un sous–groupe distingué de G, K un sous–groupe de G t.q. H ∩ K = {e} et G = HK = {hkkh ∈ H, k ∈ K}. On dit que G est un produit semi–direct de H par K, G = H o K. Noter que K agit sur H par k · h = khk −1 . Notation: pour deux sous–groupes H, K < G, noter H ∨K = h{hk}i, le sous–groupe engendré par l’ensemble HK. Proposition 5.15. Soit G un groupe, H, K deux sous–groupes distingués de G. Si H ∩ K = {e} et G = H ∨ K, alors: • ∀h ∈ H et ∀k ∈ K, hk = kh; • G = HK ≡ H × K. Démonstration. 1) hk = kh ⇐⇒ hkh−1 k −1 = e. Mais h(kh−1 k −1 ) ∈ H car H / G et (hkh−1 )k −1 ∈ K. Mais H ∩ K = {e}. 2) Considérer φ : H × K → G t.q. φ(h, k) = hk. φ((h, k)(h0 , k 0 )) = φ(hh0 , kk 0 ) = hh0 kk 0 = hkh0 k 0 = φ(h, k)φ(h0 , k 0 ). φ est donc un homomorphisme et donc son image est un sous-groupe de G, et donc égal à H ∨ K = G, et φ est surjectif. Le noyau ker φ = {(h, k) | hk = e} = {e} et φ est injectif, donc un isomorphisme.