Alg`ebre 10 – Nombres premiers. Applications.

Algèbre 10
–
Nombres premiers. Applications.
1. Généralités
1.1. Définition.
Proposition. Pour tout n ≥ 1, ϕ est une fonction multiplicative telle que
Y
1
ϕ(n) = n
1−
p
p∈P
p|n
Définition. Un entier p ≥ 2 est dit premier si ses seuls
X
diviseurs dans N sont 1 et p.
et on a de plus n =
ϕ(d).
d|n
L’ensemble P des nombres premiers est infini. On note
aussi (pn )n≥1 la suite croissante des nombres premiers. Application (Principe du codage RSA). Soit p et q
deux nombres premiers distincts et c, d deux entiers
Proposition.
vérifiant cd ≡ 1 (mod ϕ(pq)) alors pour tout t ∈ Z,
(i) Soit p ∈ P et n ∈ Z avec p 6 |n alors p ∧ n = 1
on a tcd ≡ t (mod pq).
(ii) ∀n ≥ 2, ∃p ∈ P/p|n
Un autre exemple de fonction multiplicative est donné
(iii) p ∈ P ⇐⇒ Z/pZ corps
par la somme σ(n) des diviseurs de n.
n
Nombres de Fermat. Fn = 22 + 1
Application. On dit que n ≥ 1 est parfait si σ(n) = 2n.
Fn est premier pour 0 ≤ n ≤ 4 mais pas pour n = 5.
p−1
n
k
Si 2 + 1 est premier alors il existe k ≥ 0 tel que n = 2 . Les nombres parfaits pairs sont les 2 Mp avec Mp premier.
Nombres de Mersenne. Mp = 2p − 1 où p ∈ P
Définition. La fonction de Möbius est définie par
Si an − 1 est premier alors a = 2 et n ∈ P.
µ(1) = 1, µ(n) = 0 si n a un facteur carré, et
11
En revanche 2 − 1 n’est pas premier.
µ(q1 · · · qr ) = (−1)r si les qj sont des premiers distincts.
1.2. Recherche de nombres premiers.
Alors µ est multiplicative.
Petit théorème de Fermat. Si p est premier et si Application. La probabilité r que deux entiers de
n
a ∈ Z n’est pas divisible par p alors ap−1 ≡ 1 (mod p). {1, . . . , n} soient premiers entre eux est
La réciproque est fausse : un nombre de Carmichael (par
exemple 561) est un entier non premier n tel que pour
tout entier a premier avec n on a an−1 ≡ 1 (mod n).
Théorème de Wilson. p est premier si et seulement
si on a (p − 1)! ≡ −1 mod p.
Crible d’Eratosthène. n n’est pas premier si et seule√
ment s’il existe un premier p divisant n tel que p ≤ n
rn =
n
n 2
1 X
µ(d)E
2
n
d
d=1
et tend vers
6
π2
lorsque n tend vers l’infini.
3. Répartition de nombres premiers
Définition. Pour tout x > 0, on note π(x) le nombre
Proposition. Soit n ≥ 2 tel qu’il existe a ∈ Z avec de premiers dans [0, x].
an−1 ≡ 1 (mod n) et aq 6≡ 1 (mod n) pour tout diviProposition. Il existe des plages de nombres aussi
seur strict premier q de n − 1. Alors n est premier.
grandes que l’on veut sans nombre premier.
Postulat de Bertrand. Pour tout entier n ≥ 4, il
existe un premier p vérifiant n < p < 2n − 2.
√
Théorème. Tout entier
n ≥ 2 s’écrit de façon unique Application. Si n! est entier alors n = 0 ou 1.
Y
sous la forme n =
pvp (n) où les vp (n) ∈ N sont tous
x
Théorème des nombres premiers. π(x) ∼
p∈P
log x
nuls sauf un nombre fini.
Forme faible du théorème de Dirichlet. Pour tout
Notons que vp (n) = sup{k; pk |n}.
entier n ≥ 1, il existe une infinité de premiers congrus
X1
à 1 modulo n.
Application.
diverge
p
p∈P
En fait, pour tous m, n ≥ 1 premiers entre eux, il existe
une
infinité de premiers congrus à m modulo n.
Application (théorème des 4 carrés). Tout entier
2. Factorisation en produit de nombres
premiers
s’écrit comme somme de quatre carrés.
Exemple. Il existe une infinité de premiers de la forme
Application. Étude de l’équation de Fermat pour n = 4n + 1.
2 et 4.
Fonctions multiplicatives. Une fonction f : N∗ → C
est dite multiplicative si pour tous entiers premiers entre
eux m, n ≥ 1, on a f (mn) = f (m)f (n).
4. Quelques applications algébriques
4.1. En théorie des corps.
Définition. L’indicatrice d’Euler définie pour tout n ≥ Proposition. La caractéristique d’un corps fini est un
nombre premier p et son cardinal une puissance de p.
1 par ϕ(n) = ]U(Z/nZ).
Proposition. Une extension de degré p d’un corps est
simple.
Un entier p est premier si et seulement si p divise kp
pour tout k ∈ {1, . . . , p − 1}.
Théorèmes de Sylow. Soit G un groupe d’ordre pk m.
Proposition. Si K est un corps de caractéristique p
alors l’application K → K, x 7→ xp est un homomorphisme (appelé l’homomorphisme de Frobenius de K).
(iii) Les p-sous-groupes de Sylow de G sont
conjugués
4.2. Aux polynômes.
(i) G admet un p-sous-groupe de Sylow
(ii) Tout p-sous-groupe de G est inclus dans un psous-groupe de Sylow
(iv) Le nombre np de p-sous-groupes de Sylow de G
divise m et est congru à 1 modulo p.
Critère d’Eisenstein. Soit P = an X n + · · · + a0 ∈ Application. Classification des groupes d’ordre pq.
Z[X] et p un nombre premier. Si
(i) p ne divise pas an
(i) p divise a0 , a1 , . . . , an−1
Développements
(i) p2 ne divise pas a0
Probabilité pour que deux entiers soient preAlors P est irréductible dans Q[X].
miers entre eux.
Exemple. φp,Q est irréductible.
4.3. En théorie des groupes.
Forme faible du théorème de Dirichlet.
Classification des groupes d’ordre pq.
Proposition. Un groupe d’ordre p est cyclique.
Proposition. Un groupe d’ordre p2 est abélien.
Théorème de Cauchy. Si un premier p divise l’ordre
d’un groupe G alors G admet un élément d’ordre p.
Application. Un entier n ≥ 1 est de Carmichael si et
seulement si n = p1 · · · pk où les pi sont des premiers
distincts tels que pi − 1|n − 1 pour tout i.
Références
[1] F. Combes, Algèbre et géométrie, Bréal, 1998.
[2] S. Francinou et H. Gianella, Exercices d’algèbre 1, Masson,
1993.
[3] S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre
1, Cassini, 2001.
[4] X. Gourdon, Les maths en tête. Algèbre, Ellipses, 1994.