Table des matières - Résolution des systèmes d`équations linéaires

Programme de TS – 2012
Plan et synthèse de cours : Dérivée – Fonctions trigonométriques
Table des matières
I – Fonction dérivée.................................................................................................................................................2
1 – Activités autour des notions de première......................................................................................................2
2 – Définition......................................................................................................................................................2
3 – Compléments................................................................................................................................................3
4 – Fonctions cosinus et sinus............................................................................................................................4
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I – Fonction dérivée
1 – Activités autour des notions de première
- Notion de tangente en a (droite qui épouse la forme de la courbe en a) ; lien entre le signe de la dérivée et le
sens de variation de f
2 – Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a un réel de I. f est dérivable en a lorsque le taux
d'accroissement entre x et a tend vers une limite finie, quand x tend vers a. Dans ce cas, cette valeur finie est
notée f '(a), nombre dérivée de f en a. Autrement dit :
lim
x→a
f(x)− f(a)
x−a=f ' (a)
Autre représentation de cette limite en posant x – a = h :
lim
h0
fah−fa
h=f ' a
On note T la droite passant par le point de la courbe de f d'abscisse a et de coefficient directeur f '(a). T est
appelée la tangente à la courbe de f en a et admet pour équation : y = f '(a)(x – a) + f(a)
Exemple 1 : f(x) = x²
Soit a un réel, x est différent de a, on recherche la limite du taux d'accroissement entre x et a
f(x)− f(a)
x−a=x2−a2 x−a=x+a
. On en déduit
lim
x→a
f(x)− f(a)
x−a=2a=f ' (a)
Exemple 2 :
f(x)= 1
x
Soit a un réel non nul, x est différent de a, on recherche la limite du taux d'accroissement entre x et a
f(x)− f(a)
x−a=
1
x−1 a
x−a=− 1 xa
. On en déduit
lim
x→a
f(x)− f(a)
x−a=− 1
a2=f ' (a)
Exemple 3 :
f(x)=
√
x
Soit a un réel strictement positif, x est différent de a et positif, on recherche la limite du taux d'accroissement
entre x et a
f(x)− f(a)
x−a=
√
x−
√
a
x−a=(
√
x−
√
a)(
√
x+
√
a)
(x−a)(
√
x+
√
a)=1
√
x+
√
a
. D'où
lim
x→a
f(x)− f(a)
x−a=1
2
√
a=f ' (a)
En a = 0, x > 0, le taux d'accroissement devient
f(x)− f(0)
x−0=
√
x
x=1
√
x
. D'où
lim
x0
fx−f0
x−0=∞
La fonction f n'est pas dérivable en 0. Graphiquement, ce résultat se traduit par une demi-tangente verticale en 0
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Exemple 4 : f(x) = x² + x + 1, on recherche la tangente en – 1
La dérivée de f est f ' : f '(x) = 2x + 1
T : y = f '(- 1)(x + 1) + f(- 1) = - (x + 1) + 1 = - x
Exemple 5 : on recherche la limite éventuelle en 1 de
x2013−1
x−1
(On obtient une forme indéterminée en 1)
Solution possible : interpréter cette expression comme le taux d'accroissement entre x et 1 de la fonction f
définie par
f(x)=x2013
Cette fonction est dérivable en 1. L'expression a donc pour limite f '(1)
f ' (x)=2013 x2012
, d'où
lim
x→a
x2013−1
x−1=2013
Cette solution met en évidence une technique de recherche de limite : interprétation de l'expression comme un
taux d'accroissement
3 – Compléments
C1 : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Que peut-on dire de la dérivabilité
de
√
u
sur I ?
Réponse : analysons la limite du taux d'accroissement entre x et a
√
u(x)−
√
u(a)
x−a=(
√
u(x)−
√
u(a))(
√
u(x)+
√
u(a))
(x−a)(
√
u(x)+
√
u(a)) =u(x)−u(a)
x−a×1
√
u(x)+
√
u(a)
Par dérivabilité de u en a et continuité de u en a, on obtient :
lim
xa
ux− ua
x−a=u' a
2 ua
On en déduit la formule de dérivation :
u'=u '
2 u
Dans le cas où u(a) s'annule, que peut-on dire ? Réponse : a priori RIEN
premier cas : a = 0 et u(x) = x²
Dans ce cas
√
u(x)=
∣
x
∣
.
lim
x→0; x<0
√
u(x)−
√
u(0)
x−0=−1
et
lim
x→0; x>0
√
u(x)−
√
u(0)
x−0=+ 1
√
u
n'est pas dérivable en 0. Graphiquement cela se traduit par la présence d'une "pointe" ou point anguleux
sur la courbe de la fonction en 0
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deuxième cas : a = 0 et
u(x)=x4
Dans ce cas
√
u(x)=x2
et
√
u
est dérivable en 0
C2 : n est un entier naturel non nul et u une fonction dérivable sur un intervalle I. Que peut-on dire de la
dérivabilité de
un
sur I ?
Montrons par récurrence que
un
est dérivable et que
(un)'=n un−1u '
Etape 1 : initialisation. Cette relation est évidemment vraie pour n = 1
Etape 2 ; hérédité
On suppose :
un
est dérivable et
un'=n un−1u '
pour un entier n > 0
Montrons :
un+1
est dérivable et
(un+1)'=(n+1)unu '
Tout repose sur la remarque suivante :
un+1=un×u
On en déduit que
un+1
est dérivable comme produit de fonctions dérivables
Et :
(un+1)'=(un×u)'=n(un−1)u ' u+unu '=(n+1)unu '
Conclusion : la relation est vraie pour tout entier naturel non nul
Remarque : Cette relation reste valable pour les entiers relatifs négatifs. En effet, soit n un entier positif
u−n'= 1
un'=1
u
n
'=n1
u
n−1
1
u'=n1 u
n−1
−u '
u2=−n u−n−1u '
C3 : Soit v une fonction définie sur un intervalle I et dérivable sur I. Soit a et b deux réels, a non nul. Soit J un
intervalle tel que si x appartient à J, ax + b appartient à I. On pose f(x) = v(ax + b)
Théorème : On admet que f est dérivable sur J et f'(x) = (v(ax + b))' = a v '(ax + b)
4 – Fonctions cosinus et sinus
PENSE-BETE : On se place dans un plan muni d'un repère orhonormé
O , i , j
. On considère le cercle
trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1), soit M un point de ce cercle. On repère l'angle orienté
i, OM 
par sa mesure x. Le point M a pour coordonnées M(cos(x) ; sin(x))
Quelques applications :
A1 : La mesure
2
correspond à un tour complet, d'où :
cos x2=cos x;sinx2=sinx
Les fonction cosinus et sinus sont ainsi périodiques de période
2
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A2 : Les points repérés par les angles de mesure respective x et – x sont symétriques par rapport à l'axe
horizontale des abscisses, d'où :
cos−x=cos x;sin−x=−sin x
La fonction cosinus est ainsi paire et la fonction sinus impaire
A3 : La mesure correspond à un demi-tour, les points repérés par les angles de mesure respective x et
x
sont donc symétriques par rapport à l'origine , d'où :
cosx=−cos x;sinx=−sinx
A4 : Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, d'où :
−1≤cosx≤1;−1≤sin x≤1;cos2xsin2x=1
Théorème :
–(admis) les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur
ℝ
et (cos(x))' = - sin(x) ; (sin(x))' = cos(x)
–Soit a et b deux réels, a est non nul. Les fonctions cos(ax + b) et sin(ax + b) sont dérivables
ℝ
et
(cos(ax + b))' = - a sin(ax + b) ; (sin(ax + b))' = a cos(ax + b). Peut se démontrer en utilisant C3
–
lim
x0
sin x
x=1
. Peut se démontrer en considérant le rapport comme un taux d'accroissement
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