Angles orientés et repérage, cours, première S - MathsFG

Angles orientés et repérage, cours, première S
F.Gaudon
24 mai 2010
Table des matières
1 Cercle trigonométrique et radian
2
2 Angles orientés
3
3 Propriétés des mesures d'angles orientés
4
4 Cosinus et sinus d'angles orientés
5
5 Coordonnées polaires dans le plan
7
4.1 Cosinus et sinus d'un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cosinus et sinus d'un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
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Angles orientés et repérage, cours, classe de première S
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Cercle trigonométrique et radian
Dénition :
Soit (O;~i; ~j) un repère orthonormal du plan. On appelle cercle trigonométrique tout cercle dont le rayon est égal à l'unité de longueur et de
centre l'origine O du repère.
Dénition :
~ OJ)
~ , on considère le cercle trigonoDans un repère orthonormal (O; OI;
métrique de centre O et la droite D tangente en I à la droite (OI). On
~ tel que IK = 1.
considère sur cette droite un repère (I; IK)
Á tout nombre réel x on fait correspondre le point N d'abscisse x dans
~ de D. Par enroulement de la droite D autour du cercle
le repère (I; IK)
C , on obtient un point M unique du cercle trigonométrique tel que la
distance à zéro de x soit égale à la longueur de l'arc IM .
\ la distance à zéro du nombre
On appelle mesure en radian de l'angle IOM
x précédent.
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Angles orientés et repérage, cours, classe de première S
Propriété :
La mesure d'un angle en radian est proportionnelle à la mesure du même
angle en degrés.
Remarques :
• Un radian correspond à la mesure de l'angle au centre d'un cercle trigo-
nométrique intercepté par un arc de longueur d'une unité de longueur ;
• Un angle plat mesure 180 en degrés ou π en radians.
Exemple :
• π3 rad = 60◦
• 3rad = π3 × 180◦ ≈ 171◦
2
Angles orientés
Dénition :
Soit (O;~i; ~j) un repère du plan. Sur le cercle trigonométrique (cercle de
centre O et de rayon 1), deux sens de parcours sont possibles, l'un est
dit direct, l'autre indirect. Un sens de parcours direct (par convention on
prend le sens inverse des aiguilles d'une montre) étant choisi, le plan est
alors dit orienté.
Dénition :
M et N sont les points images des réels x et y sur le cercle trigonométrique
~ ; ON
~ )
de centre O. Les mesures en radians de l'angle orienté noté (OM
sont les réels y − x + 2kπ où k ∈ Z. On note plus simplement par abus
~ ; ON
~ ) = y − x.
de notation (OM
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3
Angles orientés et repérage, cours, classe de première S
Propriété et dénition :
M et N sont deux points du cercle trigonométrique de centre O. L'angle
~ ; ON
~ ) possède une mesure et une seule a dans l'intervalle
orienté (OM
] − π; π]. Cette mesure est appelée mesure principale de l'angle orienté
~ ; ON
~ ). L'angle non orienté (encore appelé géométrique M
\
(OM
ON est
égale à |a| radians.
Preuve :
Toute mesure en radians d'un angle orienté est de la forme x + 2kπ où k ∈ Z. On cherche les entiers
≤ k ≤ π−x
k tels que −π ≤ x + 2kπ ≤ π . Cela équivaut à −π − x ≤ 2kπ ≤ π − x ou encore à − pi+x
2π
2π
x
x
c'est à dire − 12 − 2π
≤ k ≤ 21 − 2π
. L'encadrement étant d'amplitude 1, il existe un uique entier k qui y
appartient ce qui signie que l'angle orienté admet une et une seule mesure entre −π et π .
Dénition :
Soient ~u et ~v deux réels non nuls. Soient M et N les points du cercle
~ est colinéaire de même sens à ~u et ON
~ est
trigonométrique tels que OM
colinéaire de même sens à ~v .
On appelle mesure de l'angle orienté (~u; ~v ) toute mesure en radian de
~ ; ON
~ ).
l'angle (OM
3
Propriétés des mesures d'angles orientés
Propriété (relation de Chasles) :
Pour tous les vecteurs non nuls ~u, ~v et w
~,
(~u; ~v ) = (~u; w)
~ + (w;
~ ~v )
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Preuve :
Admise
Propriété :
Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls.
• ~u et ~v sont colinéaires de même sens si et seulement si (~u; ~v ) = 0.
• ~u et ~v sont colinéaires de sens contraire si et seulement si (~u; ~v ) = π .
Preuve :
Conséquence directe de la dénition des angles orientés.
Conséquences de la relation de Chasles :
Pour tous les vecteurs ~u et ~v non nuls,
• (~v ; ~u) = −(~u; ~v ) ;
• (~u; −~v ) = (~u; ~v ) + π ;
• (−~u; ~v ) = (~u; ~v ) + π ;
• (−~u; −~v ) = (~u; ~v ).
Preuve :
•
•
•
•
On a (~u; ~u) = 0 et d'après la relation de Chasles (~u; ~u) = (~u; ~v ) + (~v ; ~u) donc (~u; ~v ) = −(~v ; ~u) ;
(~u; −~v ) = (~u; ~v ) + (~v ; −~v ) = (~u; ~v ) + π ;
de même que précédemment ;
(−~u; −~v ) = (−~u; ~u) + (~u; ~v ) + (~v ; −~v ) = π + (~u; ~v ) + π = (~u; ~v ).
Exemple (fondamental) :
~ AC)
~ + (AC;
~ BC)
~ + (BC;
~ BA)
~ = (AB;
~ AB)
~ = 0 d'après la relation de
ABC est un triangle. On a(AB;
~ AC)
~ + (BC;
~ BA)
~ + (CA;
~ CB)
~ = (AB;
~ AC)
~ + (AC;
~ BC)
~ + (BC;
~ BA)
~ + π = π d'où la
Chasles donc (AB;
somme des angles orientés dans un triangle est égale à π radians.
4
Cosinus et sinus d'angles orientés
4.1
Cosinus et sinus d'un réel
Soit (O : ~i; ~j) un repère orthonormal et C le cercle trigonométrique de centre O.
Dénition :
Soit M le point de C image du réel x. On appelle :
• cosinus de x noté cos(x) l'abscisse du point M ;
• sinus de x noté sin(x) l'ordonnée du point M.
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Propriétés :
Pour tout réel x et tout entier relatif k :
• −1 ≤ cos(x) ≤ 1 ;
• −1 ≤ sin(x) ≤ 1 ;
• cos2 (x) + sin2 (x) = 1 ;
• cos(x + k2π) = cos(x) ;
• sin(x + k2π) = sin(x).
Preuve :
Conséquences directes de la dénition.
4.2
Cosinus et sinus d'un angle orienté
Propriété et dénition :
Le cosinus (ou le sinus) d'un angle orienté est le cosinus (ou le sinus)
d'une mesure en radians de cet angle orienté.
Preuve :
Si α et β sont deux mesures en radians de l'angle (~u; ~v ), alors il existe un entier k tel que α = β + k2π .
On a donc cos(α) = sin(β).
Propriétés :
Pour tout réel x :
•
•
•
•
•
•
•
•
cos(−x) = cos(x) ;
sin(−x) = − sin(x) ;
cos(π − x) = − cos(x) ;
sin(π − x) = sin(x) ;
cos(π + x) = − cos(x) ;
sin(π + x) = − sin(x) ;
cos( π2 − x) = sin(x) ;
sin( π2 − x) = cos(x).
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5
Coordonnées polaires dans le plan
Dénition :
Soient O et I deux points distincts tels que OI = 1. M est un point
du plan distinct de O. Tout couple (r; θ) avec r > 0 tel que OM = r
~ OM
~ ) = θ est un couple de coordonnées polaires dans le repère
et (OI;
~ .
polaire (O; OI)
Remarques :
• Si (r; θ) est un couple de coordonnées polaires d'un point M, alors tout couple (r; θ + k2π) où k
est un entier relatif est un autre couple de coordonnées polaires de M ;
• un repère polaire étant choisi, à tout couple de coordonnées polaires correspond un point et un
seul ;
• pour l'origine O, on convient que r = 0 et θ est quelconque.
Propriété :
Soit (O;~i; ~j) un repère orthonormal. Si un point M distinct de O a pour
coordonnées (x; y) dans ce repère et pour coordonnées polaires (r; θ) dans
~
le repère
p polaire (O; i), alors :
2
2
• r = x +y ;
• x = r cos(θ) ;
• y = r sin(θ).
Preuve :
~
Soit C le cercle trigonométrique de centre O. La demi-droite [OM ) coupe C en un point N. Alors OM
~ sont colinéaires de même sens. On a OM = r et ON = 1 donc OM
~ = rON
~ .
et ON
~
~
~
~
N est sur C et (i; ON ) = (i; OM ) donc les coordonnées cartésiennes de N sont (cos(θ); sin(θ)). Par
suite, les coordonnées cartésiennes de M sont (r cos(θ); r sin(θ)).
En outre OM 2 = x2 + y 2 .
Remarque :
Les règles de calcul sur les coordonnées cartésiennes ne s'appliquent pas en général aux coordonnées
polaires.
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