TP cordeuse Corrige - CPGE Saint Stanislas

Sciences Industrielles de l’Ingénieur
TP 2.1
CPGE - Saint Stanislas - Nantes
Cordeuse de raquette : Fonction de transfert
Corrigé
1- Structure de l’asservissement
fC(t)
N
Adaptateur
ε(t)
uC(t)
+
V
-
V
Carte de
commande
V uR(t)
um(t)
cm(t)
Moteur
V
Potentiométre
linéaire
N.m
Réducteur
cp(t)
N.m
Pignon
chaîne
fR(t)
λ(t)
ft(t)
Chariot
N
N
Ressort
m
2- Fonction de transfert du capteur
2.1- En mesurant la pente de la droite obtenue expérimentalement on en déduit la raideur du ressort:
k = 32 N.mm−1 = 32 000 N.m−1
2.2- Le dossier technique annexe 6 donne une course électrique du potentiomètre : CE = 15 mm
On en déduit le gain du potentiomètre :
KPL =
uR uCC
5
−1
=
=
−3 = 333 V.m
λ
CE 15.10
2.3- Pour λ = 0 la force du ressort est nulle donc la force du ressort est de fR = k.λ .
On en déduit le gain du ressort :
KR =
λ
λ
1
1
=
= =
= 3,125.10−5 m.N−1
fR k.λ
λ k 32 000
D'où le gain du capteur d'effort :
KC =
uR uR λ
=
. = KPL.KR = 333 × 3,125.10−5 = 0,0104 V.N−1
fR λ fR
3- Gain du chariot
Le phénomène physique qui fait qu’en réalité ft(t)<fR(t) (soit KCh<1) est le frottement sec dans la
guidage sur chariot sur le bâti de la cordeuse
4- Gain de l’adaptateur : KA
4.1- Ecart à l'entrée du correcteur ε(t) en fonction de fC(t), ft(t), KA, KC et KCh :
ε(t) = uc(t) − uR(t) = KA.fC(t) −
KC
.f (t)
KCh t
4.2- Lorsque la consigne fC(t) et la réponse ft(t) sont égales, l’écart ε(t) doit être nul. Donc :
KC 

Si : fC(t) = ft(t) alors : ε(t) = 0 = fC(t)  KA − K 

Ch 
Soit :
KA =
KC 0,0104
=
= = 0,0104 V.N−1
KCh
1
5- Gain du réducteur
5.1- On a une rendement du réducteur de η = 50%. On en déduit donc : cP.ωP = η.cm.ωm
Soit :
TP cordeuse Corrige.doc
KRed =
cP
ω
= η m = η.Krsf = 0,5 × 50 = 25
cm
ωP
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6- Gain de la transmission Pignon Chaîne
6.1- Le rayon du pignon étant r. La distance est parcourue par le chariot pour un tour est : 2.π
π.r
6.2- Pour une vitesse de rotation du pignon de : 1tr.s−1 = 2.π rad.s−1, on a donc une vitesse du chariot
2.π
π
de : 2.π.r m.s−1. On en déduit par une règle de trois :
v = 2.π
π.r .
= r.ω
ωP
ωp
6.3- On a une rendement de la transmission pignon chaîne de. On en déduit donc : fr.v = cP.ωP
Soit :
KT =
fR ωP 1
1
=
= =
= 100 m−1
cP
v r 10.10−3
7- Fonction de transfert du moteur
7.1- Equations qui régissent le fonctionnement du moteur à courant continu :
Domaine temporel :
d i(t)
Equation du couple :
Equation électriques : um(t) = e(t) + R.i(t) + L.
dt
cm(t) − f.ω
ωm(t) = J.
Equation mécanique :
d ωm(t)
dt
cm(t) = KM.i(t)
Equation de la fcem : e(t) = KE.ω
ωm(t)
Domaine de Laplace :
Equation électriques :
Um(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p)
Equation du couple :
Equation mécanique :
Ωm(p) = J.p.Ω
Ωm(p)
Cm(p) − f.Ω
Equation de la fcem : E(p) = KE.Ω
Ωm(p)
Cm(p) = KM.I(p)
7.2- Donc pour un frottement visqueux négligeable (f≈0) on en déduit le schéma bloc ci-dessous :
Um(p)
+
1
R + L.p
-
I(p)
Cm(p)
KM
Ωm(p)
E(p)
1
J.p
KE
7.3- D'où la fonction de transfert du moteur : Hm(p) :
KM
R + L.p
C (p)
KM.J.p
Hm(p) = m =
=
Um(p)
KE.KM
KE.KM + J.R.p + J.L.p2
1+
J.p.(R + L.p)
8- Fonction de transfert du système
8.1- Le correcteur est un intégrateur de gain KI. On a donc le schéma bloc du système ci-dessous :
FC(p)
ε(p)
UC(p)
KA
+
-
KI
p
Um(p)
Cm(p)
Hm(p)
CP(p)
KRed
FR(p)
KT
Ft(p)
1
UR(p)
KC
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8.2- Ayant KA = KC , on en déduit la fonction de transfert du système H(p)
F (p)
H(p) = t
= KC .
FC(p)
H(p) =
KI.KM.J.p.KRed.KT
p.(KE.KM + J.R.p + J.L.p2)
KI.KM.J.p.KRed.KT
1 + KC .
p.(KE.KM + J.R.p + J.L.p2)
KC.KI.KM.J.KRed.KT
Ft(p)
=
FC(p) KE.KM + KC.KI.KM.J.KRed.KT + J.R.p + J.L.p2
8.3- On pose la constante A = KC.KI.KM.J.KRed.KT . On en déduit :
H(p) =
Ft(p)
A
=
FC(p) A + KE.KM + J.R.p + J.L.p2
F (p)
H(p) = t
=
FC(p)
A
KE.KM + A
1+
J.R
J.L
.p +
.p2
KE.KM + A
KE.KM + A
8.4- Cette fonction de transfert est donc :
8.5- On pose H(p) =
et de classe : 0
G
et on néglige l'inductance L On a donc :
1 + a1.p + a2.p2
Gain :
TP cordeuse Corrige.doc
d'ordre 2
G=
A
KE.KM + A
a1 =
J.R
KE.KM + A
a2 =
J.R
J.L
=
A KE.KM + A
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