x +∞ x +∞ x

Mathématiques classe de Tale ES – Devoir du 07.10.16
Eléments de correction
Exercice 1.
1) On suppose que le nombre a est positif.
a. f est une fonction polynôme du 3ème degré, elle
est donc deux fois dérivable sur ℝ et on a, pour
tout réel x ,
et
f '  x   3ax ²  2bx  c
f ''  x   6 ax  2b  2  3ax  b  .
f '' est donc
une fonction affine de coefficient directeur
6a  0 , d’où son tableau de signes :
x
b
3a

f ''  x 
0

.


b 
et
3a 

convexe sur  ;    .
 3a

2) Dans le cas où a est négatif, on a 6a  0 et par
conséquent le tableau de signes :
f ''  x 
b
3a
+

f ' x
0
4
+
0
0
-2,25
f ' x
6
b) ′ est décroissante sur [0 ; 2] et croissante sur [2 ; 4]
(ou ′′( ) ≥ 0 pour ∈ [0 ; 2] et ′′( ) ≤ 0 pour
∈ [2 ; 4]), on en déduit que est concave sur [0 ; 2] et
convexe sur [2 ; 4].
2) a) D’après le tableau de variations de ′, on a
(0) = 0 et
(4) = 0. La pente est bien
horizontale au départ et à l’arrivée.
b) D’après le tableau de variation, ′ admet un
minimum en = 2, et ce minimum vaut −2,25. On
en déduit que la plus forte pente du toboggan est
atteinte pour x  2 , c’est-à-dire au point de
coordonnées (2 ; 3).
3) a) f est dérivable donc continue sur [0 ; 4], et
strictement décroissante sur  0; 4  avec f  0   6
et f  4   0 donc d’après le théorème de la
0
bijection l’équation


b 
On en déduit que f est convexe sur   ;  et
3a
 b
f ''  x 
f  x
b
donc C f
3a
b. On en déduit que f est concave sur   ;

2
0
admet un point d’inflexion, d’abscisse
x
0
+
f '' s’annule et change de signe en
 b
x


concave sur  ;    .
 3a

Exercice 2.
1) a) f est deux fois dérivable sur  0; 4  en tant que
fonction polynôme, et pour tout réel x   0; 4  ,
f '  x   0, 5625 x ²  2, 25 x  0,5625 x ( x  4) et
( ) = 1,125 − 2,25 = 1,125( − 2).
On en déduit le tableau de variations suivant :
solution unique
f  x   3,5
admet une
sur  0; 4  .
b) ≈ 1,78
c) On en déduit que la barre de renfort a une
longueur d’environ 1,78 m.