HLMA502-exos-chap3 Fichier - Moodle UM

Université de Montpellier - Faculté des Sciences
Année Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Chapitre 3 : Connexité
Exercices
Philippe Castillon (1 )
Exercice 1. Les parties suivantes de R2 sont-elles connexes ?
1. A = {(x, y) ∈ R2 | x − E(x) ≤ 12 }
2. B = A ∪ (R × {0})
3. C le graphe de l’application x 7→
1
x
définie sur R∗
4. D = C ∪ (R × {0})
5. E = R2 \ Z2
6. F = (R \ Z)2
[
1
7. G =
Bf (0, n), , où Bf (x, r) désigne la boule euclidienne fermée de centre x et de rayon r.
2
n∈Z
Exercice 2. Soit (X, OX ) un espace topologique et A, B ∈ FX deux fermés tels que A ∩ B 6= ∅. Si
A ∪ B et A ∩ B sont connexes, montrer que A et B sont connexes. Indication : utiliser la caractérisation
des connexes par les applications continues à valeur dans un espace discret, ainsi que les résultats de
l’exercice 3 du chapitre 2..
Le résultat est-il encore vrai si on suppose A et B ouverts ? Si on ne suppose rien sur A et B ?
Exercice 3.
Soit (X, OX ) un espace topologique et A ∈ P(X). La frontière de A est définie par
Fr(A) = Ā \ Å.
1. Montrer que Fr(A) est un fermé.
2. Montrer que la famille Å, Fr(A), int(Ac ) forme une partition de X.
3. Soient x ∈ A et y ∈ Ac , montrer que tout chemin joignant x à y rencontre Fr(A).
Exercice 4. Soit U un ouvert de R.
1. Montrer que les composantes connexes de U sont des ouverts.
2. Soit V un autre ouvert de R. Si U et V ont le même nombre de composantes connexes, montrer
que U et V sont homéomorphes. On pourra commencer par montrer que deux intervalles ouverts
non vides sont homéomorphes.
Le résultat est-il encore vrai pour deux parties fermées ?
1 Département de Mathématiques, CC 051, Université de Montpellier, Pl. Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
Mèl : [email protected]
1
Exercice 5. Soit H l’ensemble des homéomorphismes de [0, 1]. On considère H comme une partie de
C 0 ([0, 1]) munie de la distance induite par la norme de la convergence uniforme : pour tout f, g ∈ H,
d(f, g) = sup{|f (t) − g(t)| | t ∈ [0, 1]}.
1. Soit f ∈ H.
(a) Montrer qu’on a f (0) = 0 ou f (0) = 1.
(b) Montrer que f est strictement monotone.
2. On note H+ ⊂ H (resp. H− ⊂ H) l’ensemble des homéomorphismes de [0, 1] strictement croissants
(resp. strictement décroissants).
(a) Montrer que H+ et H− sont connexes par arc.
(b) En déduire que H a deux composantes connexes. On rappelle que l’application J : H → R
définie par J(f ) = f (0) est continue, cf. exercice 7 du chapitre 1.
Exercice 6. On considère les parties suivantes de R2 .
– A = {(x, y) | x2 + y 2 = 1}
– B = {(x, x) | x ∈ [−1, 1]} ∪ {(x, −x) | x ∈ [−1, 1]}
– C = {(x, y) | (x − 1)2 + y 2 = 1} ∪ {(x, y) | (x + 1)2 + y 2 = 1}
– D = {(x, y) | x2 + (y + 1)2 = 1} ∪ {(x, y) | x2 − y = 0 et − 1 ≤ x ≤ 1}
Représenter chacune de ces parties et montrer qu’aucune n’est homéomorphe à une autre.
Pour s’entrainer
Exercice 7. Les parties suivantes de R2 sont-elles connexes ?
1. A = {(x, y) ∈ R2 | 1 < k(x, y)k < 2}
2. B = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 21 }
3. C = {(x, y) ∈ R2 | y > x}
4. D = A ∩ B
5. E = A ∩ C
6. F = A ∩ B ∩ C,
Exercice 8. Soit (X, OX ) un espace topologique et (An )n∈N une famille de parties connexes telle que
∀n ∈ N An ∩ An+1 6= ∅.
n
[
[
Montrer que
An est connexe. On pourra commencer par montrer que, pour tout n ∈ N, Bn =
Ai
i=0
n∈N
est connexe.
Exercice 9.
vraies ?
Soit (X, OX ) un espace topologique et A ∈ P(X). Les équivalences suivantes sont-elles
1. A est connexe si et seulement si Ā est connexe.
2. A est connexe si et seulement si Å est connexe.
2
Exercice 10. Soit (X, OX ) un espace topologique et A, B ∈ P(X) deux parties connexes telles que
Ā ∩ B 6= ∅. Montrer que A ∪ B est connexe.
Est-ce encore vrai si on suppose que Ā ∩ B̄ 6= ∅ ?
Exercice 11. Un théorème de Gaston Darboux (Mathématicien nı̂mois, 1842-1917).
Soit I un intervalle de R et f : I → R une fonction dérivable. La dérivée f 0 n’est pas forcément
continue, mais on va montrer qu’elle vérifie quand même les conclusions du théorème des valeurs intermédiaires, c’est à dire que f 0 (I) est un intervalle.
(x)
.
On considère A = {(x, y) ∈ I × I | y > x} ⊂ R2 , et g : A → R définie par g(x, y) = f (y)−f
y−x
1. Montrer que A est une partie connexe de R2 .
2. Montrer que g(A) ⊂ f 0 (I) ⊂ g(A).
3. En déduire que f 0 (I) est un intervalle.
Exercice 12. Soit U un ouvert de Rn .
1. Montrer que les boules de Rn sont connexes et que les composantes connexes de U sont des ouverts
de Rn .
2. Pour tout x ∈ U on note
Ax = {y ∈ U | il existe γ : [0, 1] → U tel que γ(0) = x et γ(1) = y}.
Montrer que pour tout x ∈ U , Ax est ouverte et fermée dans U . En déduire qu’un ouvert connexe
de Rn est également connexe par arc.
3. Soit f : U → R de classe C 1 telle que df = 0. Pour tout x ∈ U , montrer qu’il existe un voisinage
de x sur le quel f est constante. Si U est connexe, en déduire que f est constante sur U .
4. Soit H 0 (U ) = {f ∈ C 1 (U ) | df = 0}. Montrer que H 0 (U ) est un sous-espace vectoriel de C 1 (U ).
Quelle est sa dimension ?
3