Université de Picardie Jules Verne 2009-2010 UFR des

Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
2009-2010
L3S6 Topologie
Feuille d’exercices 5. Compacité (un peu) et connexité (beaucoup).
Exercice 1. Le théorème de Tychonov dit que le produit quelconque d’espace compacts est compact pour la topologie
produit. Le but de cet exercice est de prouver ce résultat dans le cas d’un produit dénombrable d’espaces métriques
compacts.
1. Soient (X, dX ) et (Y, dY ) deux espaces métriques compacts. On considère X × Y que l’on munit de la métrique
d((x, y), (x0 , y 0 )) = dX (x, x0 )+dY (y, y 0 ). Dites rapidement en quoi cet métrique engendre bien la topologie produit.
2. Montrer que X × Y est compact (pour cela, on montrera par extraction successive que si ((xn , yn ))n est une suite
de X × Y , on peut extraire une sous suite qui converge).
3. En déduire qu’un produit fini d’espace métriques compacts est compact.
4. On considère maintenant le cas infini. Soit donc E = X N que l’on munit de la métrique :
dE ((xn )n , (yn )n ) =
X 1
dX (xn , yn ).
2n
n∈N
Montrer que dE engendre bien la métrique produit.
5. Montrer que si l’on considère la métrique
δE ((xn )n , (yn )n ) = sup(dX (xn , yn ))
n∈N
on engendre une topologie qui n’est pas la topologie produit (on supposera pour cela que X contient au moins
deux éléments). Que dire de cette topologie par rapport à la topologie produit ?
6. Montrer que (E, dE ) est compact. On utilisera pour cela une extraction diagonale.
Exercice 2. Montrer que E ⊂ R est connexe si et seulement si c’est un intervalle.
Exercice 3.
1. Trouver le nombre de composantes connexes des parties suivantes de R :
[0, 1], [0, 1[, [0, +1[, R\[0, 1], R\[0, 1[, [0, 1] ∪ [2, 3[, [−1, 0[∪]0, 1].
2. Montrer, à l’aide de la connexité, que [−1, 1] et [0, 1] ∪ [2, 3] ne sont pas homéomorphes ainsi que [0, 1[ et [0, 1].
Exercice 4. Montrer que R et R2 ne sont pas homéomorphes.
Exercice 5. Soit f : R → N une fonction continue. Montrer que f est constante.
Exercice 6. Soit X un ensemble muni de la topologie grossière. Qui sont les parties connexes de X ? Même question
avec la topologie discrète.
1
Exercice 7. Soient C et C 0 deux ensembles connexes de X. On suppose que C ∩ C 0 6= ∅. Montrer que C ∪ C 0 est
connexe.
Exercice 8.
1. Soient C, C 0 deux ensembles connexes dans un espace topologique X. A-t-on que C ∩ C 0 est
forcément connexe ?
2. Soit C0 ⊂ C1 ⊂ . . . une suite décroissante de connexes. Montrer que ∩n≤N Cn est connexe.
3. Donner un exemple où ∩n∈N Cn n’est pas connexe.
4. On suppose en plus que X est métrique et que chaque Cn est compact. Montrer qu’alors ∩n∈N Cn est connexe.
Exercice 9. Soient J = [−1, 1] × {0} ∪ {0} × [−1, 1] et I = [−1, 1] × 0. Montrer que I et J ne sont pas homéomorphes.
Exercice 10 (Passage des douanes). Soit C un ensemble connexe dans un espace topologique X. Soit F ⊂ X un
ensemble fermé. On suppose que C ∩ F 6= ∅ et C ∩ F c 6= ∅. Montrer que C ∩ ∂F 6= ∅.
Exercice 11. Soit (un ) une suite réelle, on note Λ l’ensemble de ses valeurs d’adhérence. Montrer que Λ est fermé. On
suppose en plus que limn→∞ un − un+1 = 0, montrer que Λ est connexe.
Exercice 12. Soit Γ = {(x, sin(1/x), x > 0}. Montrer que Γ est connexe par arcs. Montrer que Γ̄ est connexe mais
n’est pas connexe par arcs.
Exercice 13. Soit C un ensemble convexe d’un espace vectoriel normé E. Montrer que C est connexe par arcs.
Exercice 14. Soit E un espace vectoriel normé. On dit qu’une partie X de E est étoilée s’il existe un point a ∈ X tel
que, pour tout x ∈ X le segment [a, x] est inclus dans X.
1. Montrer qu’une partie convexe de E est étoilée, et trouver un contre-exemple à la réciproque.
2. Montrer qu’une partie étoilée de E est connexe par arcs, et trouver un contre-exemple à la réciproque.
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