Périodes de disponibilité : Noé : mardi de 12h30 à 14h00 au AA

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Noé : mardi de 12h30 à 14h00 au AA-6150
Vincent : mercredi de 11h30 à 13h00 au AA-5264
AB : lundi 11h30 à 13h, au AA-6190.
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Revenons à un exemple.
La formule
F : N → N, F (m) =
m(m + 1)(m + 5)
3
définit une fonction !
Preuve : Soit m ∈ N. D’abord : il existe un nombre naturel a tel
que
(i) m = 3a ou (ii) m = 3a + 1 ou (iii) m = 3a + 2.
Parce que si on fait une longue division par 3 on obtient un reste 0,
1 ou 2 !
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En cas (i) : on a
F (m) = F (3a) =
3a(3a + 1)(3a + 5)
= a(3a + 1)(3a + 5) ∈ N;
3
En cas (ii) on a F (m) = F (3a + 1) =
(3a + 1)(3a + 2)(3a + 6)
= (3a + 1)(3a + 2)(a + 2) ∈ N;
3
En cas (iii) on a F (m) = F (3a + 2) =
(3a + 2)(3a + 3)(3a + 7)
= (3a + 2)(a + 1)(3a + 7) ∈ N;
3
Dans tous les cas F (m) ∈ N.
Conclusion : F : N → N est une fonction.
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F : N → N, F (m) =
m(m+1)(m+5)
.
3
Surjective ? Non, parce que ...
Injective ? Oui, parce que (par Calcul) ....
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Definition
Soit F : A → B une fonction et G : B → C deux fonctions.
Alors la composition est la fonction
G ◦F :A→C
définie par
(G ◦ F )(a) = G(F (a)).
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Théorème
Soit F : A → B une fonction.
La fonction F est bijective
si et seulement si
il existe une fonction G : B → A telle que
F ◦ G = 1B et G ◦ F = 1A .
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Remarque :
Dans cette situation cette fonction G est unique, appelée "fonction
inverse de F ", et notée
G = F −1 .
Dans ce cas, si F −1 (b) = {a} (ensemble pré-image), alors
F −1 (b) = a (fonction inverse).
Une fonction inverse de F existe si et seulement si F est bijective.
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Démonstration.
(i) Supposons F : A → B est bijective.
Définition d’une fonction G : B → A : Soit b ∈ B, il existe un
unique a ∈ A tel que F (a) = b. Posons G(b) := a.
Pour chaque a ∈ A on a :
(G ◦ F )(a) = G(F (a)) = G(b) = a.
Donc G ◦ F = 1A .
Et pour chaque b ∈ B :
(F ◦ G)(b) = F (G(b)) = F (a) = b.
Donc F ◦ G = 1B .
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Démonstration.
(ii) De l’autre côté, supposons qu’il existe une fonction G : B → A
telle que F ◦ G = 1B et G ◦ F = 1A .
Soit b ∈ B. Définissons a := G(b) ∈ A. Alors
F (a) = F (G(b)) = (F ◦ G)(b) = 1B (b) = b.
Donc a est un préimage de b pour F . Nous avons montré que F
est surjective.
Supposons a1 , a2 ∈ A tels que F (a1 ) = F (a2 ). Donc
a1 = 1A (a1 ) = (G◦F )(a1 ) = G(F (a1 )) = G(F (a2 )) = (G◦F )(a2 ) = a2 .
Donc F est aussi injective.
On conclut la preuve, car une fonction surjective et injective est
automatiquement bijective.
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Preuve du commentaire après le théorème.
Supposons F : A → B est injective.
Supposons G : B → A et G 0 : B → A telles que G ◦ F = 1A et
aussi G 0 ◦ F = 1A .
Soit b ∈ B. Parce que F est bijective il existe un (unique) a ∈ A
tel que F (a) = b.
Alors
G(b) = G(F (a)) = (G◦F )(a) = 1A (a) = (G 0 ◦F )(a) = G 0 (F (a)) = G 0 (b
Donc pour chaque b ∈ B on a G(b) = G 0 (b), c.-à-d.,
G = G0
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Soit A := {a, b, c} et B := {1, 2, 3, 4}.
!
F1 : A → B définie par F1 :=
a b c
3 2 1
F2 : B → A définie par F2 :=
1 2 3 4
a b c a
est injective,
!
est surjective.
Il n’existe pas une fonction de A dans B qui est surjective.
Pourquoi ?
Il n’existe pas une fonction de B dans A qui est injective.
Pourquoi ?
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Proposition
Soient A et B deux ensembles finis.
(i) Il existe une fonction injective F : A → B si et seulement
|A| ≤ |B|.
(ii) Il existe une fonction surjective F : A → B si et seulement si
|A| ≥ |B|.
(iii) Il existe une fonction bijective F : A → B si et seulement si
|A| = |B|.
Ça ne veut pas dire que si |A| ≤ |B| alors chaque fonction
F : A → B est injective. Seulement qu’il existe au moins une
fonction qui est injective.
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Avant de commencer les preuves, fixons une suite ordonnée sans
répétitions des éléments de A, disons
A = {a1 , a2 , . . . , an }
où n = |A|.
Il y a beaucoup de façons de le faire, mais fixons une manière.
Et aussi une suite ordonnée sans répétitions des éléments de B,
disons
B = {b1 , b2 , . . . , bm }
où m = |B|.
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Pour (i) il faut montrer deux choses.
Supposons il existe une fonction injective F : A → B. Nous voulons
montrer |A| ≤ |B|.
Dans la suite ordonnée (F (a1 ), F (a2 ), . . . , F (an )) il n’y a pas de
répétition.
Car sinon, il y a i 6= j tels que F (ai ) = F (aj ). Par la définition
d’injectivité il suit que ai = aj . Mais dans la suite choisie des ak ’s il
n’y a pas de répétions. Donc i = j. Une contradiction. Donc en
effet, dans la suite ordonnée (F (a1 ), F (a2 ), . . . , F (an )) il n’y a pas
de répétitions.
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(suite)
Donc le sous-ensemble
Im(F ) = {F (a1 ), F (a2 ), . . . , F (an )} ⊆ B
a exactement n = |A| éléments. Et Im(F ) ⊆ B implique
|A| = | Im(F )| ≤ |B|.
Combiné : S’il existe une fonction injective F : A → B alors on a
au moins |A| ≤ |B|.
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Deuxième partie de la preuve de (i).
Supposons |A| ≤ |B|. Il faut montrer qu’il existe au moins une
fonction injective F : A → B.
Définition d’une telle fonction, à l’aide de nos deux suites
ordonnées choisies :
F (ai ) := bi
pour chaque 1 ≤ i ≤ n = |A|.
Ça fait du sens, car n ≤ m = |B| ! Chaque élément de A a une
unique image : notre F est une fonction.
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(suite)
Une fonction injective ? Vérifions :
Soient a et a0 deux éléments de A, tels que F (a) = F (a0 ).
Il existe i, j tels que a = ai , a0 = aj . Alors F (ai ) = F (aj ), c-à-d.,
bi = bj .
Dans la liste des bi ’s il n’y a pas de répétitions. Donc bi = bj et
i = j et donc
a = ai = aj = a 0 .
Nous avons vérifié que F est injective.
Si |A| ≤ |B|, alors il existe une fonction injective F : A → B.
Et aussi la preuve de (i) est complète.
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Si on a montré (i) et (ii), alors (iii) en suit tout de suite.
La preuve de (ii) sera pour vous (dans le TP2).
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Théorème
A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n = |A|. Il existe une
fonction bijective φ : Fonctions(A, B) → B n .
Corollaire
A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n = |A|. On a
|Fonctions(A, B)| = |B n |.
Le corollaire est conséquence du théorème et de la proposition qui
dit que s’il existe une fonction bijective entre deux ensembles A et
B, alors |A| = |B|.
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Démonstration.
Fixons une liste ordonnée des éléments de A, sans répétitions,
disons A = {a1 , a2 , . . . , an }.
φ : Fonctions(A, B) → B n
φ F =
a 1 a 2 a3 . . . an
b1 b2 b3 . . . bn
!!
:= (b1 , b2 , b3 , . . . , bn ) ∈ B n .
φ a la fonction inverse ψ = φ−1 :
ψ : B n → Fonctions(A, B)
ψ((b1 , b2 , . . . , bn )) := F =
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a1 a2 a 3 . . . a n
b1 b2 b3 . . . bn
!
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Logique
Après ce petit introduction à la théorie des ensembles et fonctions
nous allons faire une introduction à la logique.
Et continuer de faire des constructions avec des ensembles !
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Une "proposition (logique)" est un énoncé qui peut être vrai ou
faux, mais non les deux à la fois.
Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps :
dans ce cas ce n’est pas considéré comme une proposition logique.
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Considérons l’énoncé : "Il fait beau".
Un problème de la vraie vie est, qui décide la vérité, et quand et
comment ?
Supposons qu’il pleut.
• Si vous avez un jardin vous dites peut-être : vrai (il fait beau
pour mes plantes).
• Si vous voulez manger dehors vous dites : faux (je ne veux pas
manger sous un parapluie).
• On pourrait faire un sondage : 33% vrai, 66% faux, 1% sans
opinion ? ? ? ?
Ce ne sont pas de problèmes de logique, mais problèmes de la vraie
vie.
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La communauté des mathématiciens décide si une preuve est
considérée convaincante, et donc si une proposition est vraie ou
fausse ou "pas montrée encore".
Mais tout ça reste du travail des humains. Une erreur dans un
argument peut être cachée.
Et ça arrive, de temps en temps.
En plus : on a montré que "il existe des propositions
mathématiques vraies, mais impossible de "montrer" ".
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Exemples :
I
p1 :="Toronto est la capitale du Canada" (faux)
I
p2 := "le chat est un animal" (vrai)
I
p3 :="1 + 1 = 3" (faux)
I
p4 :="si x ∈ E et E ⊆ F alors x ∈ F " (vrai)
I
p5 :="Chaque nombre naturel n > 2 pair est la somme de
deux nombres premiers" (vrai ou faux, mais inconnu)
Pour la dernière proposition p5 on ne connais pas la réponse, mais
c’est soit vraie, soit fausse.
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Considérons l’énoncé composé :
P :=""S’il fait beau je vais patiner cet après-midi"
et "Il fait beau" et
"Je ne vais pas patiner cet après-midi"".
On dirait : P est FAUSSE (c’est impossible que les trois énoncés
sont tous vrais au même temps).
Je suis d’accord. Ça, c’est logique. Ça ne dépend pas de qui décide
la vérité de chaque proposition.
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En mathématiques on évite d’utiliser des énoncés qui ne sont pas
des propositions.
Et on essaie de formuler des propositions intéressantes et de
décider leur vérité.
On écrit :
Théorème
Une certain proposition P
si cette proposition P est (incontestablement) vraie. Ou Lemme,
Proposition, Corollaire,...
Et un argument pourquoi est donné dans la "démonstration".
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Si on a des raisons de croire qu’une proposition soit vraie, mais on
ne peut pas le montrer on dit que c’est une conjecture. Par
exemple, Goldbach semble avoir proposé :
Conjecture (Goldbach)
Chaque nombre naturel n > 2 pair est la somme de deux nombres
premiers.
Donc c’est une proposition qu’on crois d’être vraie, mais qu’on ne
peut pas démontrer.
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Le but des mathématiques :
• à partir de quelques hypothèses (des propositions logiques qu’on
suppose vraie),
• de produire d’autres propositions logiques qui sont aussi vraies
(et espérons "intéressantes"). Bâtir une théorie.
• En utilisant la logique et la théorie des ensembles.
• Et en utilisant ce qui à été montré déjà !
L’hypothèse de base la plus importante est "L’ensemble des entiers
N avec ses propriétés élémentaires EXISTE".
À suivre.
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Par définition il y a (en théorie) une fonction
vérité : {propositions} → {vrai, faux} = {V, F}
qui associe à chaque proposition sa vérité vrai ou faux.
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Par exemple
”n > 2”
n’est pas une proposition logique (car sa vérité dépend de la valeur
de n, qui n’est pas précisée).
Mais c’est presque une proposition : dès que la valeur n choisie, ça
devient une proposition logique.
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C’est une famille de propositions logiques qui dépend de la variable
n.
Posons la fonction
p : N → {propositions logiques}
où pour n ∈ N on définit :
p(n) := ”n > 2”.
p(n) est fausse si n = 0, 1 ou 2 et vraie sinon (pour n ∈ N).
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Soit U un ensemble. Une fonction
p : U → {propositions logiques}
qui associe à chaque u ∈ U la proposition logique
p(u)
s’appelle fonction propositionnelle avec U comme univers du
discours de la variable u.
Exemple :
U l’ensemble des hommes ici dans cette salle.
p(X ) := " X peut patiner".
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Soit P(u) une fonction propositionnelle avec U comme univers du
cours de la variable u.
Deux nouvelles propositions logiques, les quantifications.
"P(u) est vraie pour tout les valeurs de u", ou,
"pour chaque valeur u la proposition P(u) est vraie",
notation
∀u P(u)
(on dit : quantification universelle)
Dans l’exemple :
∀X P(X ) est une traduction logique de "Tous les hommes ici
peuvent patiner."
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"P(u) est vraie pour au moins une des valeurs de u", ou
"il existe au une valeur u telle que la proposition P(u) est vraie",
notation
∃u P(u)
(on dit : quantification existentielle)
Tout dépend de la fonction propositionnelle P et donc aussi de
l’univers du discours.
Dans l’exemple : ∃X P(X ) est une traduction logique de "Un des
hommes ici peut patiner."
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Exemple :
p(n) := ”n > 2” avec univers du discours N.
La proposition logique ”∀n n > 2” est fausse (car au moins
p(1) = ”1 > 2” n’est pas vraie) ;
et ”∃n n > 2” est vraie (car au moins p(3) = ”3 > 2” est vraie).
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∀u p(u) est vraie si p(u) est vraie pour chaque u ;
∀u p(u) est fausse s’il existe au moins un u tel que p(u) est fausse.
∃u p(u) est vraie s’il existe un u tel que p(u) est vraie ; ∃u p(u)
est fausse si pour chaque u on a que p(u) est fausse.
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