TES Ch3 Rappel Probas 1ère Loi de Bernoulli

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EPREUVES DE BERNOULLI-VARIABLES ALEATOIRES
I. Schéma de Bernoulli :
1) Répétition d'expériences identiques et indépendantes:
a) avec 3 issues ( ou plus ):
Sur un trajet , on rencontre 3 feux tricolores qui fonctionnent de manière indépendante.
Le cycle de chaque feu est de 35s pour le vert, 5s pour le orange et 20s pour le rouge.
Quelle est la probabilité de rencontrer exactement 2 feux verts sur le trajet ?
b) avec 2 issues:
On parle dans ce cas d'épreuve de Bernoulli.
Un télévendeur démarche 3 clients par téléphone.
Le comportement d'un client est indépendant de celui des autres.
La probabilité qu'un client soit interréssé est 0,2.
Calculer la probabilité qu'aucun client ne soit interressé, puis qu'au moins un client soit interressé,
puis qu'au plus 2 clients soient interressés et enfin que 2 clients exactement soient interressés.
2) Epreuve de Bernoulli :

C'est une expérience aléatoire comportant 2 issues notées S ( succès ) et S ( échec ).
P(S) est la probabilité d'un succès. On la note p.

P(S) est la probabilité d'un échec. On la note q.
On a : p + q = 1  q = 1 – p.
3) Schéma de Bernoulli , loi binomiale:
Quand on reproduit plusieures fois , de manière indépendante , des épreuves de Bernoulli ,
la probabilité d'un succès est toujours la même.
On s'interresse alors au nombre de succès obtenus à la fin de n épreuves.
L'ensemble des résultats est E = { 0 , 1 , 2 , … , n }
La loi de probabilité sur E s'appelle la loi binomiale de paramètres n et p
avec n le nombre d'épreuves et p la probabilité d'un succès dans la loi de Bernoulli.
On la note B(n ; p).
4) Les coefficients binomiaux :
On représente, à l'aide d'un arbre , un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli
identiques et indépendantes.
n
Pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté  k .
n
 k  se lit " k parmi n".Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
On peut les calculer avec la calculatrice :
7
Exemple :  4 
7 MATH PRB 3:Combinaison 4 . On trouve 35.
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II .Variables Aléatoires
1) Définition d'une variable aléatoire
Lorsque à chaque événement E d'un univers  , on associe un nombre, on dit que l'on définit une variable
aléatoire.
Une variable aléatoire est une variable qui peut prendre des valeurs numériques incertaines.
Elle sera notée X ou Y ou …
Variable discrète, variable continue
On distingue :
 Les variables aléatoires discrètes, susceptibles de prendre un nombre fini de valeurs isolées.
 Les variables aléatoires continues, susceptibles de prendre toutes les valeurs situées dans un
intervalle donné ou dans l’ensemble des nombres réels.
2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Lorsque à chaque valeur x prise par une variable aléatoire X, on associe la probabilité p i de l'événement
" X = x ", on dit que l'on définit la loi de probabilité de X.
Il est souvent commode de présenter cette loi de probabilité à l'aide d'un tableau :
X= xi
X= x1
X= x2
…
…
X= xn
Vérifier toujours que
Pi = P(X= xi)
P1
P2
i=n
Pn
 Pi = 1
i=1
i=n
Propriété :
.
 Pi = 1
La somme de toutes les probabilités est égale à 1
i=1
3) Espérance mathématique. Variance. Ecart type.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 , x2 , x3 , …… , xn
avec des probabilités p1 , p2 , p3 , ……., pn est
i=n
E(X) = x1p1 + x2p2 + x3p3 + …………..+ xnpn =  xipi
i=1
La variance de la variable aléatoire X est :
i=n
 pi [ xi – E(X) ]²
V(X) = p1 [ x1 – E(X) ]² + p2 [ x2 – E(X) ]² + . .. + pn [ xn – E(X) ]² =
i=1
ou
i=n
V(X) = p1x1² + p2x2² + … + pnxn² – [ E(X) ]² =  pixi² – [ E(X) ]²
i=1
Cette deuxième écriture est pratique pour les calculs.
V ( X )  E ( X ²)  [ E ( X )]²
Remarque :
L'Ecart type est égal à la racine carrée de la variance :
 (X) = V(X)
i=n
i=n
i=1
i=1
On peut utiliser les listes de la calculette pour obtenir  xipi ou
 pixi² .
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4) Variable aléatoire suivant une loi binomiale :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p .
n est le nombre d'épreuves de Bernoulli , k est le nombre de succès attendus , 0  k  n ,
n
Alors : P( X = k ) =  k   pk  ( 1 – p )n – k avec p la probabilité d'un succès.
Explication de la formule:
Un chemin de longueur n réalise:
~ k succès de probabilité p
~ n-k échecs de probabilité 1-p
Ce qui conduit à une issue dont la probabilité est pk(1-p)n-k
n
n
Il y a  k  chemins qui réalisent k succès d'où la formule: P(X =k) =  k  pk ×(1-p) n-k
On peut calculer cette expression avec la calculette :
2nde VARS binomFdp( n,p,k )
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre n et p.
Alors :
 Espérance: E(X) = n × p
 Variance: V(X) = n × p × ( 1 – p )
 Ecart–type :  = n × p × ( 1 – p )
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