Fonctions d'une variable réelle (M-1.1) I. Fonctions définies par morceaux Définition des fonctions en escalier : une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles. Sa représentation graphique est constituée de segments parallèles à l'axe des abscisses. Exemples : Soit f la fonction définie sur [ 1 ;+∞ [ par : f ( t ) =−1 si 1⩽t<3 et f ( t ) =2 sinon Soit E la fonction partie entière définie sur ℝ par : pour tout n ∈ ℤ , si x ∈ [ n ; n+1 [ alors E ( x )=n On peut retenir : « E ( x ) est le plus grand entier inférieur ou égal à x . » Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x )=( −1 ) E ( x ) Remarque : les fonctions en escalier peuvent présenter des points de discontinuité aux bords des intervalles. Définition des fonctions affines par morceaux : une fonction affine par morceaux est affine par intervalles. Sa représentation graphique est constituée de segments. Exemples : Soit f la fonction définie sur [ 1 ;6 ] par : f ( t ) =−t+4 si 1⩽t⩽3 f ( t ) =2 t −5 si 3<t⩽4 1 f ( t ) =− t+3 si 4<t ⩽6 2 Remarque : la fonction f présente une discontinuité en t=… Soit g la fonction définie sur ℝ par : g ( x )= ( −1 ) E ( x ) ( x−E ( x )−0 ,5 ) Remarque : la fonction g est continue sur ℝ BTS CRSA UF3.1 II. Fonctions exponentielle et logarithme népérien Fonction exponentielle Fonction logarithme népérien La fonction exponentielle, notée exp, est l'unique solution de l'équation différentielle sur ℝ avec y' = y condition initiale : y ( 0 )=1 Conséquence pour tout réel x , exp' ( x ) =... et exp(0)=... La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction qui à tout nombre réel strictement positif x fait correspondre l'antécédent de x par la fonction exp. { Conséquence : pour tout réel x >0 : ln ( x )= y ⇔ x=e y Exponentielle d'une somme : pour tous réels a et b on a : exp(a+b)=exp(a) × exp(b) e On note le nombre d'Euler défini par : exp(1)= e Ainsi pour tout entier relatif n , exp(n)= e n En étendant cette notation : e a+b =e a ×eb Signe d'une exponentielle : pour tout réel a , e a >0 1 n×a a n e− a = a e =( e ) e ea−b = ea b e a 2 e =√ e a x x Dérivée de exp : pour tout réel x , (e )'=e Dérivée d'une fonction composée de exp : soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction x→ eu ( x ) est dérivable sur l'intervalle I et pour tout réel u (x) u( x ) x ∈ I , ( e ) ' =u' ( x )×e Exemples : ( e 2 x+3 ) ' = ( e x )' = 2 Pour tout réel x , ln (e x ) =x Pour tour réel x >0 , e ln ( x )=x En particulier, ln ( 1 )=0 et ln ( e )=1 Logarithme népérien d'un produit : pour tour réels a >0 et b>0 , ln ( a×b )=ln ( a ) +ln ( b ) ( 1a )=−ln (a ) a ln ( )=ln ( a )−ln ( b ) b ln (a n )=n ln ( a ) ln ln ( √ a ) = 1 ln ( a ) 2 1 x Dérivée d'une fonction composée de ln : soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que pour tout x ∈ I , u ( x )>0 alors la fonction x→ ln ( u ( x ) ) est u' ( x ) dérivable sur l'intervalle I et ( ln ( u ( x ) ))' = u ( x ) Dérivée de ln : pour tout réel x >0 , ln ' ( x )= Exemples : ln ( 2 x +3 ) est dérivable pour ... et ( ln ( 2 x +3 ) )' =… ln ( x 2+1 )' = La fonction exp est strictement croissante sur ℝ donc pour La fonction ln est strictement croissante sur ℝ +* donc pour tous réels a >0 et b>0 , tous réels a et b, e a =e b ⇔ a=b et e a <e b ⇔ a<b ln ( a )=ln ( b ) ⇔ a =b et ln ( a )<ln ( b ) ⇔ a <b x + x e =0 et lim e =+∞ Limites de exp : xlim →−∞ x →+∞ ln ( x ) =−∞ et lim ln ( x ) =+∞ Limites de ln : lim x →+∞ x →0 + x –∞ exp '(x) exp(x) +∞ + x 0 ln '(x) +∞ 0 ln +∞ + +∞ –∞ III. Fonctions puissances d'exposant réel n Soient a un réel strictement positif et n un entier naturel : a n=( e ln ( a ) ) =en ln ( a ) En étendant cette notation pour b un réel quelconque on a, a b =e bln (a ) Définition : soit α un nombre réel, la fonction puissance α est la fonction définie sur ℝ+ * par : x → x α 1 Exemple: la fonction puissance est la fonction ... 2 La fonction puissance 0 est ... BTS CRSA UF3.1 α α−1 Théorème : soit α ∈ ℝ alors pour tout réel x >0 , on a : ( x )' =α x Démonstration : ( x α )' =( eα ln ( x )) ' =… Corollaire : soit α ∈ ℝ et u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que pour tout réel x ∈ I , u ( x )>0 α α− 1 Alors la fonction x → ( u ( x ) )α est dérivable sur l'intervalle I et pour tout x ∈ I, on a : (( u ( x ) ) )' =α u' ( x ) ( u ( x ) ) Sens de variation et limites d'une fonction puissance : Si α<0 La fonction puissance α est strictement décroissante sur l'intervalle ℝ+ * α α + De plus : lim x =+∞ et lim x =0 x →0 + x → +∞ x 0 ( x α )' x α +∞ Si α>0 La fonction puissance α est strictement croissante sur l'intervalle ℝ+ * α + α De plus : lim x =0 et lim x =+∞ x →0 + x → +∞ x 0 ( x α )' – +∞ 0+ x +∞ + +∞ α 0+ Croissances comparées au voisinage de + ∞ : ex xα lim =+∞ lim Soit α>0 , alors x →+∞ α et x → +∞ ln ( x ) =+∞ x Remarque : on retenir "en + ∞ l'exponentielle l'emporte sur les puissances" et " en + ∞ les puissances l'emportent sur le logarithme népérien" Exemples : e x vs x 3 x0,5 vs ln ( x ) BTS CRSA UF3.1 IV. Fonctions circulaires Dans un repère orthonormé direct ( O ; ⃗i ; ⃗j ) , on considère le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 noté U et le point A(1;0). À tout réel t , on fait correspondre le point M du cercle U tel que : (⃗ OA;⃗ OM ) =t rad Alors le point M a pour coordonnées M ( cos ( t ) ; sin ( t ) ) Exemples : cos(0)=... et sin(0)=... π π cos = ... et sin =… 2 2 ( ) ( ) Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques Représentations graphiques des fonctions trigonométriques : Périodicité des fonctions trigonométriques : Les fonction sinus et cosinus sont 2 π _périodiques : pour tout réel t , cos ( t +2 π )=cos ( t ) et sin ( t +2 π )=sin ( t ) Remarque : soit φ un réel fixé, les fonctions t → cos ( t +φ ) et t → sin ( t +φ ) ont pour période ... Les fonctions t → cos ( 2 π t+φ ) et t → sin ( 2 π t+φ ) ont pour période ... 2π 2π t +φ et t → sin t+φ ont pour période ... Soit T >0 , les fonctions t → cos T T 2π =ω est appelé pulsation. Le nombre t Parité des fonctions trigonométriques : La fonction cosinus est paire : pour tout réel t , cos (−t )=cos ( t ) ( ) ( ) La représentation graphique de la fonction cosinus est donc symétrique par rapport ... La fonction sinus est impaire : pour tout réel t , sin (−t )=−sin ( t ) La représentation graphique de la fonction sinus est donc symétrique par rapport ... Dérivées et sens de variations des fonctions trigonométriques : Cosinus Pour tout réel t , cos' ( t ) =−sin ( t ) Sinus Pour tout réel t , sin ' ( t ) =cos ( t ) BTS CRSA UF3.1 ( π2 ) ( π2 ) Remarques : cos' ( t ) =cos t+ Remarques : sin ' ( t ) =sin t + Exemple pour la tangente à la courbe représentative de la fonction cosinus au point d'abscisse ... Exemple pour la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus au point d'abscisse ... Pour tout réel t , cos' ' ( t )= ( −sin ( t ) ) '=−cos ( t ) Pour tout réel t , sin ' ' ( t )=( cos ( t ) )' =−sin ( t ) t 0 cos ' ( t )=– sin ( t ) cos t – sin ' ( t )=cos ( t ) 1 –1 π 2 0 + 0 – 1 sin 0 Soient deux réels a et b alors pour tout réel t , ( cos ( at+b ) )' =−a×sin ( at+b ) 0 Soient deux réels a et b alors pour tout réel t , ( sin ( at+b ) )' =a×cos ( at +b ) La fonction tangente : sin ( t ) π Pour tout réel t≠ +k π avec k ∈ tan(−t)=−tan(t) , tan ( t )= cos ( t ) 2 La fonction tangente est π _périodique : tan ( t+π )=tan ( t ) La fonction tangente est impaire : tan (−t )=−tan ( t ) Pour tout réel t≠ 1 π =1+tan 2 ( t ) +k π avec k ∈ ℤ , tan ' ( t )= 2 cos ( t ) 2 BTS CRSA UF3.1