Mécanique du point : forces Newtoniennes (PCSI)

Mécanique du point : forces Newtoniennes (PCSI)
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Question de cours
→
−
→r , la trajectoire d'un corps est
On admet que, lorsqu'il est soumis à une force Newtonienne F = − rK2 −
u
1
mC 2
plane et décrite par r = K 1+e cosθ où C = r2 θ̇ est une constante du mouvement. Etablir l'expression
de l'énergie mécanique en fonction de e, K, m et C 2 .
Solution
K
Energie potentielle : Ep = − Kr = − mC
2 (1 + e cosθ)
Energie cinétique :
2
v2
2
dr
θ̇2 + r2 θ̇2
dθ
!
2
dr
C2
2
+r
dθ
r4


!2 2
2
2
2
−e sinθ
mC
1
 mC
C
+
2
4
K (1 + e cosθ)
K 1 + e cosθ
r
!
m2 C 4 e2 sin2 θ
m2 C 4
1
C 2K 4
4
+
(1 + e cosθ)
4
2
2
2
K (1 + e cosθ)
K (1 + e cosθ)
m4 C 8
K2 2
K2
2
2
e
sin
θ
+
(1
+
e
cosθ)
m2 C 2
m2 C 2
K2
e2 sin2 θ + e2 cos2 θ + 1 + 2 ecosθ
2
2
m C
K2
e2 + 1 + 2e cosθ
m2 C 2
= ṙ2 + r2 θ̇2 =
=
=
=
=
=
=
K
et Ec = 12 mv2 = 2mC
e2 + 1 + 2e cosθ
2
K2
e2 − 1
Energie mécanique : Ec + Ep = 2mC
2
2
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1
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Question de cours
→
−
−
→r . Montrez que sa trajectoire est
On considère un objet soumise à une force Newtonienne F = − rK2 u
p
régie par une équation de la forme r = 1+e cosθ .
Exercice Paramètre d'impact
−
Une météorite arrive depuis l'inni vers la Terre avec une vitesse →
v0 . On note b le paramètre d'impact
comme indiqué sur la gure ci dessous. L'objectif de ce problème est de déterminer la valeur minimale
de b pour laquelle la météorite évite la collision avec la Terre.
1. La météorite n'est soumise qu'à l'attraction gravitationnelle de la Terre. Déterminez la nature de
sa trajectoire. Montrez que le mouvement est plan et déterminez une relation entre r et θ̇.
2. On note N le point de la trajectoire auquel la distance qui sépare la météorite de la Terre est la
→θ . En déduire une relation entre
plus petite. Montrez qu'en N , la vitesse est uniquement suivant −
u
la vitesse vN au point N , la distance ON , b et v0 .
3. En utilisant la conservation de l'énergie, montrez la relation
2
0 = rmin
v02 + 2GMT rmin − v02 b2
4. En déduire l'expression minimale bc du paramètre d'impact telle que pour b < bc , la météorite
frappe la Terre et pour b > bc , la météorite évite la Terre. Interprêtez.
Solution
→
−
−
→r dont le moment par rapport à T vaut →
−
u
r ∧ F = 0 donc le TMC
Seule force considérée : →
F = −G MrT2m −
−
−
→
−
−
−
−
donne →
r ∧→
v = cste. Le fait que la direction de →
r ∧→
v soit constante implique que ces deux vecteurs sont
→
−
→
−
toujours contenus dans le même plan (car r ∧ v est othogonal au plan qui les contient
donc
tous les deux)
−
−
→r ) ∧ ṙ−
→r + rθ̇−
→θ = r2 θ̇−
→z
le mouvement est plan. D'autre part, en coordonnées polaires, →
r ∧→
v = (r−
u
u
u
u
donc r2 θ̇ = cste.
2
−
−
−
−
−
→
−
→
−
→
r0 ∧ →
v0 = m (−x0 −
u→
on peut calculer m→
r ∧→
v = mr2 θ̇ = m→
x − buy ) ∧ (v0 ux ) = mbv0 uz donc r θ̇ = v0 b
v0 b −
−
→r + rθ̇−
→θ et au point le plus proche, ṙ = 0 car r est minimal donc −
−
→
→
2. →
v = ṙ−
u
u
v→
N = rmin θ̇ uθ = rmin uθ .
1.
2
−
3. Em = 12 mv02 = 12 mvN
4.
GMT m
rmin
v 2 b2
= 12 m r20
min
−
GMT m
rmin
2
donc 0 = rmin
v02 + 2GMT rmin − v02 b2
La valeur critique correspond à rmin = RT donc v0 bc =
r
RT
1+
p
RT2 v02 + 2GMT RT
T
ie bc = RT 1 + 2GM
=
RT v 2
q
0
2
vlib
v02
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2
Daniel Suchet - 2012
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Exercice Extinction des Dinausores
Il y a de cela environ 65 millions d'années, les dinosaures et de nombreuses autres espèces vivantes
ont été victimes d'une extinction massive et brutale . Parmi les diverses hypothèses proposées, la plus
communément admise est celle de l'impact d'une comète à la surface de la Terre. Cet exercice propose
d'étudier la vitesse que peut avoir une telle comète lors de son impact avec la Terre.
Un ensemble d'astéroïdes de faible dimension se trouve vraisemblablement réparti dans le système solaire
au dela de l'orbite de pluton. La masse de ces astéroïdes (nuage de Oort) représente environ le tiers de la
masse totale des 9 planètes du système solaire. Lorsqu'un de ces astéroïdes est susamment dévié de sa
trajectoire quasi-circulaire (par l'eet gravitationnel d'autres planètes ou astéroïdes), il peut s'approcher
à très courte distance du soleil et prend le nom de comète.
Nous étudions ici une comète C de masse m = 2, 5 1015 kg ayant pour trajectoire autour du soleil une
ellipse très allongée. Elle est aussi caractérisée par une distance maximale au soleil dmax = 5.104 a où a
est le rayon de la trajectoire supposée circulaire de la Terre autour du soleil. On note T0 la période du
mouvement de la Terre autour du soleil .
1. Comment appelle t-on a ? Que valent a et T0 ?
2. Déterminer numériquement la vitesse v0 de la Terre sur son orbite circulaire autour du Soleil.
3. On note G la constante de gravitation universelle et MS la masse du Soleil. Exprimer le produit
G Ms en fonction de v0 et a.
4. Les distances minimales et maximales de C au soleil sont notées dm et dM . Exprimer, en fonction
dedm , a, v0 et dM , les vitesses maximale vM et minimale vm de C sur son orbite. On utilisera les
relations de conservation.
5. Quelle relation doivent vérier dm et a pour qu'un impact de C sur la surface de la Terre puisse
être envisagé ? En déduire une évaluation numérique de la plus petite valeur possible de vM .
6. On considère dm ' a. Quelles sont les valeurs extrêmes possibles de la vitesse relative de la Terre
et de C (vitesse d'impact) au moment du choc de C sur la Terre ?
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Exercice Mise en orbite d'un satellite
Dans le référentiel géocentrique (supposé galiléen), un satellite articiel de masse m se déplace suivant
une orbite circulaire de rayon r = R + h autour du centre de la terre (h étant son altitude par rapport
à la surface terrestre).
1. Montrer que la vitesse v est constante et donner sa valeur.
2. En déduire la période T du mouvement et relier la période T à l'altitude r. Comment s'appelle
cette loi ?
3. Exprimer l'énergie cinétique et l'énergie mécanique du satellite ; quelle est la relation simple entre
les deux ? Commenter le signe de l'énergie mécanique.
4. Un satellite est dit géostationnaire s'il est immobile par rapport au référentiel terrestre. Quelle est
alors sa période ? En déduire son altitude h.
5. Un satellite est initialement immobile par rapport à la terre, sur une base de lancement située à une
latitude λ. Une fusée lui fournit un travail W pour l'amener sur son orbite avec la vitesse initiale
calculée précédemment.
(a) Quelle est l'énergie mécanique du satellite avant son lancement (on n'oubliera pas de tenir
compte de la rotation de la terre) ?
(b) Calculer le travail W que la fusée doit fournir au satellite. Où doit-on placer de préférence la
base de lancement ?
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3
Daniel Suchet - 2012
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Exercice Orbite de transfert de Hoffman
Un satellite M de masse m est en orbite circulaire
autour de la Terre à un altitude r1 . On cherche
à le faire passer à une orbite circulaire d'altitude
r2 . Pour cela, on passe par une orbite de transfert :
lorsque le satellite atteint le point P , on active pendant un cours instant des fusées que font varier sa
vitesse de ∆vP et le font passer sur une orbite elliptique, dite orbite de Hohmann. Lorsque le satellite
arrive au point A, on réactive les fusées pour faire
varier la vitesse de ∆vA et faire passer le satellite
sur son orbite nale.
1. Etude d'un mouvement circulaire.
(a) Montrez qu'un mouvement est circulaire si et seulement si il est décrit à vitesse angulaire
constante.
(b) Déterminez la norme et la direction de la vitesse du satellite sur chacune de ses orbites circulaires.
(c) Déterminez l'expression de l'énergie mécanique sur chacune des orbites circulaires.
2. Etude de la trajectoire elliptique.
(a) Rappelez la forme générale de r(θ).
(b) Déterminez dans le cas de l'orbite de Hohmann la valeur de l'excentricité e.
(c) Déterminez l'expression de l'énergie mécanique sur l'orbite de Hohmann.
3. Etude du transfert d'orbite.
(a) Déterminez les valeurs de ∆vP et de ∆vA .
(b) Déterminez le temps nécessaire pour que le satellite passe de l'orbite r1 à l'orbite r2 .
Solution
Pour r =
p
1+e cosθ ,
Em =
Em =
.
1. Partie
K2
2
2mC 2 (e
− 1) =
K
2
2p (e
− 1).
Pour une ellipse, a =
1
2
p
1−e
+
p
1+e
=
p
1−e2
donc
K
− 2a
→r
−
Constante des aires : r2 θ̇ = cste donc si r = cste (trajectoire circulaire), θ̇ = cste. donc →
a = − vr −
u
2
−
→r = − mM2T G u
−
→r donc v 2 = MT G
(b) Pour une trajectoire circulaire, −m vr u
r
r
2
(a)
(c) Em = Ec + Ep = 12 m MTr G −
2.
MT Gm
r
TG
= − mM
2r
Partie 2
(a) r =
p
1+e cosθ
p
p
1+e
A
On veut que rmin = 1+e
= r1 et rmax = 1−e
= r2 donc 1−e
= rr21 donc e = rr22−r
+r1
Tm
(c) Sur une ellipse, Em = − GM2aT m et 2a = r1 + r2 donc Em = − GM
r1 +r2
3. Transfert
TG
(a) En A: on veut passer de l'énergie de l'orbite circulaire : − mM
àl'énergie de l'orbite de Ho 2r1
GMT m
GMT m
mMT G
1
man − r1 +r2 . On doit donc fournir l'énergie − r1 +r2 − − 2r1
= GMT m 2r11 − r1 +r
=
2
(b)
GMT m
2r1
r2 −r1
r1 +r2
, ce qui correspond à un changement de vitesse ∆v1 tel que ∆Ec = 12 m (v1 + ∆v1 )2 − v12 =
GMT m
2r1
r2 −r1
r1 +r2
q
q
= 0 avec v1 = MrT1G , on trouve ∆v1 = − MrT1G ±
q
r
q
q
MT G
MT G
r2 −r1
r2 −r1
2r2
=
1
+
−
1
=
−
1
r1 +r2
r1
r1 +r2
r1
r2 +r1
r
MT G
r1
+
GMT
r1
T
ie ∆v12 +2v1 ∆v1 − GM
r1
r2 −r1
r1 +r2
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Daniel Suchet - 2012
(b)
Tm
à l'énergie
de l'orbite cirEn B : En A: on veut passer de l'énergie de l'orbite de Homan
− GM
r1 +r
2
mMT G
mMT G
GMT m
1
culaire : − 2r2 à . On doit donc fournir l'énergie − 2r1 − − r1 +r2 = GMT m r1 +r
− 2r12 =
2
GMT m
2r2
r2 −r1
r1 +r2
GMT m
2r1
r2 −r1
r1 +r2
, ce qui correspond à un changement de vitesse ∆v2 tel que ∆Ec = 12 m v22 − (v2 − ∆v2 )2 =
etc
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Daniel Suchet - 2012