Th 1 UN SATELLITE MALHEUREUX

36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005
R.S.E.F.
Th 1 UN SATELLITE MALHEUREUX
Les manoeuvres orbitales les plus fréquentes réalisées par les vaisseaux
spatiaux sont des variations de vitesse dans la direction du mouvement, c’est-à-dire
des accélérations permettant d’atteindre des orbites plus élevées, ou des freinages
pour initier la rentrée dans l’atmosphère. Dans ce problème, nous étudierons des
variations imposées à l’orbite produites par de fortes poussées des moteurs dans la
direction radiale. Pour effectuer les applications numériques, utiliser les données
suivantes : rayon de la Terre RT  6,37 106 m , champ de pesanteur à sa
surface g  9,81 m/s2 , et durée du jour T0  24,0 h .
Nous considérons un satellite de communications géostationnaire1 de masse
m placé sur une orbite circulaire équatoriale de rayon r0 . Ces satellites disposent
d’un “moteur d’apogée” qui fournit les poussées nécessaires pour atteindre l’orbite finale.
Image: ESA
Question 1
1.1
Calculer la valeur numérique de r0 .
1.2
Donner l’expression algébrique de la vitesse v 0 du satellite en fonction de g, RT et r0 , et calculer sa valeur
numérique.
1.3
Déterminer les expressions du moment cinétique (ou angulaire) L 0 et de l’énergie mécanique
E0 en fonction de
v 0 , m, g et RT
v0
Une fois l’orbite circulaire géostationnaire atteinte (voir Figure F-1), le satellite est
stabilisé. Les contrôleurs au sol commettent alors l’erreur de réactiver le moteur d’apogée :
m
v
r0
la poussée est dirigée vers la Terre, et une variation  v involontaire de la vitesse est
imprimée au satellite. Nous caractériserons cette poussée par le paramètre    v / v 0 . La
durée de l’allumage du moteur est négligeable par rapport aux autres durées orbitales
caractéristiques, de sorte qu’elle peut être considérée comme instantanée.
F-1
Question 2
Supposons   1 .
2.1
Déterminer les caractéristiques de la nouvelle orbite2 : le paramètre l et l’ excentricité  , en fonction de r0 et .
2.2
Calculer l’angle  entre le grand axe de la nouvelle orbite et le vecteur position au moment de l’allumage accidentel.
2.3
Donner les expressions algébriques des distances du périgée rmin et de l’apogée rmax au centre de la Terre en
fonction de r0 et  , et calculer leurs valeurs numériques pour   1 / 4 .
2.4
Déterminer la période T de la nouvelle orbite en fonction de
1
La période de révolution est
2
Voir “indices”.
T0 et  et calculer sa valeur numérique pour   1 / 4 .
T0 .
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Question 3
3.1
Calculer la valeur minimale du paramètre de poussée,  esc , pour que le satellite échappe à l’action gravitationnelle
de la Terre.
3.2
 , la distance minimale du satellite au centre de la Terre, en fonction de
Sur cette nouvelle trajectoire, déterminer rmin
r0 .
Question 4
v0
Supposons    esc .
v
4.1
Déterminer la vitesse résiduelle à l’infini, v  , en fonction de v 0 et  .
4.2
Exprimer
le
“paramètre
d’impact”
b
de
la
direction
asymptotique

r0
d’échappement en fonction de r0 et  . (Voir Figure F-2).
4.3
Déterminer l’angle  de la direction asymptotique en fonction de . Calculer la
valeur numérique pour   3  esc .
2
b
F-2
v
INDICES
m
Sous l’action de forces centrales newtoniennes en 1/r2 , les corps décrivent
des trajectoires qui peuvent être des ellipses, des paraboles ou des hyperboles.
r
Pour m << M, le centre attracteur de masse M est l’un des foyers de la trajectoire.

Si nous prenons l’origine en ce point, l’équation générale (polaire) de ces courbes
s’exprime de la façon suivante (voir Figure 3):
r   
M
l
1   cos 
où l est une quantité positive appelée le paramètre et est l’excentricité de la
F-3
courbe, avec:
l
L2
GMm 2
et

2 EL2

  1 2 2 3
 G M m





1/ 2
où G est la constante de gravitation, L est la grandeur du moment cinétique (ou angulaire) de la masse sur son orbite par
rapport à l’origine, et E est son énergie mécanique, l’origine de l’énergie potentielle étant prise à l’infini.
Les cas suivants peuvent se présenter:
i)
Si 0    1 , la courbe est une ellipse (circonférence pour   0 ).
ii)
Si   1 , la courbe est une parabole.
iii) Si   1 , la courbe est une hyperbole.
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COUNTRY CODE
STUDENT CODE
Th 1
Question
Idées et formules
fondamentales
utilisées
TOTAL No OF PAGES
FEUILLE DE RÉPONSES
Expressions algébriques
Résultats numériques
r0 
1.1
1.2
PAGE NUMBER
v0 
v0 
Barème
0.3
0.4
L0 
0.4
E0 
0.4
l
0.4

0.5
1.3
2.1

2.2
rmax 
rmax 
1.2
2.3
2.4
1.0
rmin 
rmin 
T
T
0.7
 esc 
0.5
3.1
3.2
 
rmin
1.0
4.1
v 
1.0
4.2
b
1.0
4.3


1.2
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