Electromagnétisme Ex 1 Boule chargée en volume Ex 2 Champ

Lycée Newton - PT
EM - TD3 - Théorème de Gauss
Electromagnétisme
TD no 3 : Théorème de Gauss
Ex 1
Boule chargée en volume
Une sphère de centre O, de rayon R, est chargée avec une densité volumique uniforme ρ > 0.
1.1. Exprimer le champ électrostatique E produit en tout point de l’espace (OM = r).
1.2. Tracer le graphe E(r).
1.3. La sphère précédente noté 1 comporte une cavité sphérique, de centre O2 , de rayon R2 toute incluse dans
la sphère (O1 , R1 ). Exprimer le champ EM dans la cavité.
Ex 2
Champ disruptif
L’air claque à partir d’un champ électrique égal à environ 3000 kV · m−1 . Au palais de la découverte, des expériences
d’électrostatique sont réalisées avec une sphère chargée jusqu’au potentiel de 10 000 V. Quelle doit être le rayon
minimum d’une telle sphère pour que l’air ne claque pas ?
Ex 3
Cage de Faraday
On considère une sphère creuse chargée en surface de charge totale Q. Calculer le champ électrique à l’intérieu.
Calculer ensuite le potentiel en utilisant le fait que celui-ci est continu à la surface de la sphère.
Ex 4
Modélisation de l’atmosphère
On observe à la surface de la terre par temps clair, un champ électrostatique vertical descendant Esol de l’ordre
de 100 V · m−1 et on a mis en évidence l’existence d’une couche conductrice de l’atmosphère, l’ionosphère, à partir
d’une altitude h ' 70 km, ce qui conduit à modéliser de façon simplifiée l’état électrique de l’atmosphère par
un condensateur sphérique dont la surface de la Terre et la base de l’ionosphère, appelée électrosphère, sont les
armatures respectivement négative et positive. On suppose que la surface de la Terre et l’électrosphère sont des
surfaces sphériques portant des charges opposés uniformément réparties (respectivement −Q et Q avec Q > 0). On
donne le rayon moyen de la Terre : RT ' 6400 km et on suppose que la permittivité relative de l’air est 1.
4.1. Déterminer le champ électrique régnant en tout point de l’espace compris entre les armatures. En déduire
la valeur de Q et la densité surfacique de charge au niveau du sol terrestre.
4.2. Calculer le potentiel dans la même région. En déduire la différence de potentiel entre la surface de la Terre
et l’électrosphère.
4.3. En déduire la capacité du condensateur ainsi constitué.
4.4. On envisage désormais le cas plus réaliste où la charge de l’électrosphère est répartie entre les altitudes
h1 = 60 km et h2 = 70 km. Dans l’hypothèse d’une répartition uniforme, déterminer le champ électrique et le
potentiel à une distance r du centre de la Terre compris entre RT et R2 = RT + h2 .
Ex 5
Champ au voisinage de l’axe d’un disque chargé
On considère un disque uniformément chargé en surface σ d’axe z. On peut montrer que le champ électrostatique
créé par ce disque en un point M de l’axe (z > 0) a pour expression :
"
#
σ
z
E=
1− √
ez
2ε0
z2 + R2
On s’intéresse maintenant au champ créé par le disque au voisinage de l’axe Oz.
5.1. Que peut on dire de la composante orthoradiale du champ ? Montrer que la norme de E ne dépend que de
r et de z.
5.2. En appliquant le théorème de Gauss, établir une relation entre la composante radiale du champ Er (r, z), r et
la dérivée de E(z) par rapport à z.
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5.3. En déduire l’expression de la composante radiale du champ.
Ex 6
Potentiel de Yukawa
Le physicien japonais Hideki Yukawa (Prix Nobel 1949) a postulé une forme de potentiel pour traduire les interactions
entre particules dans le noyau atomique. On étudie ici ce potentiel comme s’il s’agissait d’un potentiel électrostatique.
Une distribution de charge à symétrie sphérique crée, à une distance r, un potentiel électrostatique de la forme :
1 Q
r
V(r) =
exp −
4πε0 r
a
Q et a étant des constantes positives.
6.1. Déterminer les unités de Q et a.
6.2. Déterminer le champ électrique correspondant.
6.3. En déduire la charge q(r) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r. Déterminer q(r) dans les deux
cas extrêmes : r tend vers zéro et r tend vers l’infini. En déduire qualitativement la nature de la distribution de
charge et donner une interprétation de a.
6.4. Déterminer la densité volumique de charge ρ(r).
Ex 7
Atome d’hydrogène
On s’intéresse au modèle de thomson de l’atome d’hydrogène. Celui-ci est constitué d’un électron supposé ponctuel,
de charge négative −e et d’une charge positive +e (représentant le proton) répartie uniformmément en volume dans
une sphère de rayon a0 . C’est le modèle « historique ». Thomson inversait le rôle du proton et celui de l’électron.
7.1. Déterminer en tout point M de l’espace le champ électrostatique E créé par le proton seul. On distinguera
les cas r < a0 et r > a0 .
7.2. Calculer le potentiel V de ce champ électrique en prenant une référence de potentiel à l’infini.
7.3. Représenter la norme du champ ainsi que le potentiel.
7.4. Calculer l’énergie potentielle Ep (r) de l’électron soumis à un tel champ.
7.5. Déterminer la position d’équilibre de l’électron et en discuter la stabilité. Le potentiel d’ionisation de
l’électron est l’énergie qu’il faut fournir pour arracher un électron à l’atome pris dans son état fondamental.
Il s’exprime en électronvolts (1 eV = 1,6 × 10−19 J) et vaut 13,6 eV. En déduire la valeur de a0 . On donne :
1
9
−19
C
4πε0 ' 9,0 × 10 SI et e ' 1,6 × 10
Ex 8
Distribution de masse inhomogène
La Terre, sphère de rayon R, de masse M, a sa masse volumique qui varie en fonction de la distance r au centre selon
la loi :
!
r2
ρ(r) = ρ0 1 − k 2
R
avec r = OP. Exprimer le champ de gravitation en tout point P extérieur ou intérieur au globe terrestre en fonction
de G, M, R, r et k.
Ex 9
Energie au repos d’un électron
En relativité, un électron immobile possède une énergie égale à me c2 , où me est la masse de l’électron et c la vitesee de la
lumière (dans le vide). On se propose dans cette exercice d’interpréter cette énergie comme l’énergie électrostatique
de l’électron que l’on modèlise comme une sphère uniformément chargée de rayon re et de charge totale −e =
−1,6 × 10−19 C (on notera ρ la densité volumique de charge associée). On rappelle que l’énergie électrostatique d’une
distribution de charge est donnée par le travail nécessaire à fournir pour construire cette distribution en amenant
progressivement les charges depuis l’infini (là où le potentiel est nul). Ici, on se propose de construire astucieusement
la boule par dépôts successifs de couches sphériques : supposons que l’on ait déjà construit une boule de rayon
r < re , on raoute alors une couronne sphérique infinitésimale d’épaisseur dr de telle sorte qu’on se retrouve avec
une boule d’épaisseur r + dr. On recommence ensuite afin de construire une boule de rayon r + 2dr et ainsi de suite
jusqu’à ce qu’on soit arrivé au rayon re .
9.1. Montrer que la charge élémentaire contenue dans la couronne sphérique d’épaisseur dr que l’on dépose
sur une boule de rayon r (0 < r < re ) s’écrit dq = 4πr2 ρdr.
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9.2. Quelle est la valeur du potentiel V(r) créé à la surface d’une boule de rayon r et de densité volumique de
charge ρ ? En déduire le travail nécessaire pour amener la charge élémentaire dq de l’infini à la surface de la
boule de rayon r.
9.3. En déduire finalement l’énergie électrostatique de l’électron comme une intégrale, que l’on calculera. En
déduire l’ordre de grandeur du rayon re de l’électron. Commenter.
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