MAT210 A-2014 Une résolution de relation de récurrence avec Nspire 1 Une résolution de relation de récurrence avec Nspire Considérons la relation de récurrence suivante. an an1 2an2 avec a0 8 et a1 7 On calcule les termes suivants ainsi, à la main ou avec Nspire : a2 a1 2a0 7 2(8) 23 a3 a2 2a1 23 2(7) 37 a4 a3 2a2 37 2(23) 83 Cette relation de récurrence est linéaire, ses coefficients sont constants et elle est homogène. Nous pouvons donc la résoudre, c’est-à-dire trouver une formule pour an qui ne dépend que de n . Utilisons la technique présentée à la section 8.2 du manuel, en remplaçant 1 et 2 par k1 et k 2 pour gagner du temps lors de l’écriture sur Nspire. 1. On calcule les racines du polynôme caractéristique : 2 et -1. 2. Le polynôme possède 2 racines distinctes. La fonction f(n) est donc de la forme f (n) k1 (r1 )n k2 (r2 ) n k1 (2) n k2 (1) n 3. On détermine les valeurs des coefficients k1 et k 2 à partir des conditions initiales. 4. Avant de donner la réponse finale, il est prudent de procéder à quelques vérifications. Par exemple, on vérifie que f(2) = 23 tel que calculé à partir de la relation de récurrence. 5. Conclusion : f (n) 5(2)n 3(1) n Geneviève Savard, Seg, ETS MAT210 A-2014 Une résolution de relation de récurrence avec Nspire Remarque technique. Nspire ne veut pas afficher la fonction f(n) en mode «Réel». Et l’affichage de f(n) en mode «Complexe rectangulaire» n’est pas du tout ce à quoi on s’attend. On aimerait voir f (n) 3(1)n 5(2)n Mais on obtient une expression contenant un sinus, un cosinus et le fameux i complexe. C’est en déclarant que n est un entier (avec @n1) qu’on obtient le résultat sous la forme souhaitée. Geneviève Savard, Seg, ETS 2 MAT210 A-2014 Une résolution de relation de récurrence avec Nspire Un exemple plus corsé Considérons la relation de récurrence suivante. an 3an1 7an2 43an3 168an4 208an5 avec a0 3 , a1 12 , a2 22 , a3 340 , a4 2030 Trouvons une formule pour an . 1. On calcule les racines du polynôme caractéristique. Remarquez que le degré du polynôme caractéristique est celui de la relation de récurrence. 2. Le polynôme possède 4 racines. Nous devons trouver la multiplicité de chacune des racines en factorisant le polynôme. En effet, le théorème fondamental de l’algèbre stipule qu’un polynôme de degré 5 possède 5 racines (possiblement complexes) si l’on tient compte des multiplicités. On voit alors que -4 est une racine de multiplicité 2, ce qui entraînera une multiplication par un polynôme de degré 1 dans f(n). 3. La fonction f(n) est donc de la forme suivante. Remarquez qu’il y a 5 constantes à déterminer, car la relation de récurrence est de degré 5. f (n) k1 (1)n (k2 k3 n)(4)n k4 (2 3i)n k5 (2 3i)n 4. On détermine les valeurs des coefficients à partir des conditions initiales. 5. On vérifie que f donne les valeurs prévues par la récurrence. Geneviève Savard, Seg, ETS 3 MAT210 A-2014 Une résolution de relation de récurrence avec Nspire 4 6. Conclusion : f (n) 2 (1 2n)(4)n i(2 3i)n i(2 3i)n Remarque sur l’utilisation du solveur : Solve VS linSolve Dans l’exemple précédant, l’utilisation de la commande Solve ne donne pas une réponse exacte. Par exemple, la valeur de k1 n’est pas exactement 1, et celel de k5 n’est pas exactement i. Pourtant, le système d’équations à résoudre est linéaire (les inconnues (k1, k2, …, k5) ne sont jamais affectées d’exposant, ni mutipliées entre elles). Par exemple, les 3 premières équations sont : Voilà pourquoi l’utilisation de la commande linSolve est appropriée. Geneviève Savard, Seg, ETS