Feuille d`exercices 16 - Arithmétique

Feuille d’exercices 16 - Arithmétique - MPSI 1
Exercice 1
1. Soient a et b deux entiers. Montrer que pour tout n ∈ N, a − b divise an − bn .
2. Montrer par récurrence que ∀n ∈ N∗ , 676|27n+1 − 26n − 27.
Exercice 2
Soit p ∈ N∗ et x ∈ Z{0, 1}. On suppose que p|(x2 − x). Montrer que ∀n ∈ N, p|(xn − x).
Exercice 3
n
Pour n ∈ N on pose Fn = 22 + 1. On définit ainsi les nombres de Fermat.
1. Montrer que ∀(n, k) ∈ N × N∗ , Fn |Fn+k + 2.
2. Soit m et n deux entiers naturels distincts et d ∈ N∗ . Montrer que si d|Fn et d|Fm alors d = 1 et que donc Fn et Fm sont
premiers entre eux.
Exercice 4 (Petit théorème de Fermat)
1. Soit p un nombre premier et k ∈ [0, p − 1]. Montrer que p |
p
p
k
.
p
2. Montrer que ∀a ∈ N, p |(a + 1) − a − 1.
3. Montrer que ∀n ∈ N, p |np − n. En déduire que si p est premier avec n, p |np−1 − 1.
4. Montrer par récurrence que ∀n ∈ N∗ , 11 |210n−7 + 35n−2 − 2.
Exercice 5
Déterminer les couples d’entiers (a, b) tels que a ∧ b = 13 et a + b = 182.
Exercice 6
Pour n ∈ N calculer n ∨ (n + 2).
Exercice 7
1. Soit n =
p
Y
pνi i ∈ N∗ . Exprimer en fonction des entiers νi le nombre de diviseurs de n. On note D(n) ce nombre.
i=1
2. Montrer que
Y
d=n
D(n)
2
.
d |n
Exercice 8
1. Soit n ∈ N∗ et p premier. Montrer que νp (n) =
∞
X
k=1
E
n
.
pk
2. Déterminer le nombre de zéros à la fin de 100 !
Exercice 9
1. Montrer que si p est un nombre premier entre n + 1 et 2n, p | 2n
n .
n
2. Montrer que 2n
n ≤4 .
Y
3. Montrer par récurrence que ∀n ≥ 2,
p ≤ 4n+1 . On pourra montrer que si le résultat est vrai au rang n il est
p premier,p≤n
vrai aux rangs 2n − 1 et 2n.
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