Chapitre 5 Fonctions polynômes et rationnelles

Chapitre 5
Fonctions polynômes et rationnelles
5.1
Fonctions polynômes
5.1.1
Définition
Définition 5.1
La fonction définie par
f : R −→ R
x 7−→ y = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
où n ∈ N, ak ∈ R et an 6= 0, est appelée fonction polynôme de degré n ou, plus
simplement, polynôme de degré n.
Le nombre ai est appelé le coefficient de rang i de f (x) et an le coefficient dominant.
Exemples
1) La fonction définie par f (x) = 5x3 − 4x2 − 5x + 3 est une fonction polynôme de
degré 3. Le coefficient dominant est a3 = 5.
2) La fonction définie par g(x) = −6x6 − 4x5 − 2x2 + 2 est une fonction polynôme
de degré 6. Le coefficient dominant est a6 = −6.
3) La fonction définie par h(x) = 4x2 −3x+1 est une fonction polynôme de degré 2.
On l’appelle également fonction quadratique. Le coefficient dominant est a2 = 4.
4) La fonction définie par i(x) = −9x + 3 est une fonction polynôme de degré 1.
On l’appelle également fonction affine. Le coefficient dominant est a1 = −9.
5.1.2
Représentations graphiques
Degré n impair
On donne ci-dessous les représentations graphiques de deux fonctions polynômes de degré
3 avec un coefficient dominant a3 positif, à gauche, ou négatif, à droite.
La forme générale, notamment le comportement à l’infini, de la représentation graphique
d’une fonction polynôme de degré n impair ressemble à celles données en exemple cidessous.
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1ère année
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5. Fonctions polynômes et rationnelles
a3 > 0
a3 < 0
y
y
a0
x1
x2
y = a3 x3 + . . . + a0
x3
x1
x
x2
x3
x
a0
y = a3 x3 + . . . + a0
Degré n pair
On donne ci-dessous les représentations graphiques de deux fonctions polynômes de degré
4 avec un coefficient dominant a4 positif, à gauche, ou négatif, à droite.
La forme générale, notamment le comportement à l’infini, de la représentation graphique
d’une fonction polynôme de degré n pair ressemble à celles données en exemple ci-dessous.
a4 > 0
a4 < 0
y
y
a0
x1
x2
x3
y = a4 x4 + . . . + a0
x4
x1
x
x2
y = a4 x4 + . . . + a0
x3
x4
x
a0
Quelques caractéristiques de la représentation graphique
Zéro(s) de la fonction
La ou les abscisses xi (0 6 i 6 n) du ou des points d’intersection de la courbe représentant
la fonction polynôme f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 et de l’axe Ox sont les
zéros de f .
Le nombre de zéros et donc de points de coupe avec l’axe Ox est inférieur ou égal au
degré n. Pour les déterminer, on peut utiliser la méthode de résolution des équations
polynomiales étudiée précédemment dans le chapitre (??) (recherche d’un zéro par essais
successifs puis division à l’aide du schéma de Horner . . . )
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1ère année
5. Fonctions polynômes et rationnelles
Coefficient a0
Le coefficient a0 est égal à l’ordonnée du point d’intersection entre la courbe représentant
f et l’axe Oy.
Ce coefficient est également appelé l’ordonnée à l’origine.
Coefficient dominant an
Le coefficient an détermine l’orientation de la courbe représentant f . On doit différencier
ici les cas où n est pair de ceux où n est impair.
Pour un degré n impair, on observe que
– si an > 0 : la courbe représentant f est au-dessous de l’axe Ox pour des valeurs de
x suffisamment petites et au-dessus de l’axe Ox pour des valeurs de x suffisamment
grandes.
– si a < 0 : la courbe représentant f est au-dessus de l’axe Ox pour des valeurs de x
suffisamment petites et au-dessous de l’axe Ox pour des valeurs de x suffisamment
grandes.
Pour un degré n pair, on observe que
– si an > 0 : la courbe représentant f est ouverte vers le haut, c’est-à-dire que celle-ci se
trouve au-dessus de l’axe Ox pour des valeurs de x suffisamment grandes ou petites.
– si a < 0 : la courbe représentant f est ouverte vers le bas, c’est-à-dire que celle-ci se
trouve au-dessous de l’axe Ox pour des valeurs de x suffisamment grandes ou petites.
Esquisse de la représentation graphique à partir de l’expression fonctionnelle
On peut suivre la méthode de représentation ”générale” étudiée au chapitre (2.3.1) pour
dessiner, dans un repère cartésien, le graphe d’une fonction polynôme.
Par contre, si on ne desire pas obtenir un dessin ”très” précis, on peut utiliser les
éléments caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction polynôme définie
par f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 (zéros, coefficient a0 et coefficient dominant)
pour l’esquisser, en s’aidant éventuellement d’un tableau donnant le signe de l’image de
chaque valeur possible de x.
Méthode
1.
2.
3.
4.
Déterminer le ou les zéros de f en résolvant l’équation f (x) = 0 −→ on obtient
les points de la forme (xi ; 0) du graphe.
Etudier le signe de la fonction dans un tableau de signes (voir le chapitre (??)
portant sur les inéquations).
Reporter, dans le repère cartésien, les points correspondant aux zéros de f et
le point (0; a0 ).
Relier les points dessinés dans le plan Oxy de sorte à respecter les informations
données par le tableau de signes : si f (x) > 0 la courbe est au-dessus de l’axe
Ox et si f (x) < 0 la courbe est au-dessous de l’axe Ox.
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1ère année
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5. Fonctions polynômes et rationnelles
Exemple
Soit la fonction polynôme de degré 3 donnée par f (x) = x3 + x2 − 4x − 4.
On détermine tout d’abord les trois zéros de f en résolvant l’équation polynomiale
x3 + x2 − 4x − 4 = 0 (voir le chapitre (??) pour la résolution complète) :
x1 = −2;
x2 = −1;
x3 = 2
On construit ensuite le tableau de signes de f en remarquant qu’on peut factoriser
l’expression fonctionnelle de f : f (x) = (x + 2)(x + 1)(x − 2).
−2
x
−1
2
x+2
−
0
+
+
+
+
+
x+1
−
−
−
0
+
+
+
x−2
−
−
−
−
−
0
+
f (x)
−
0
+
0
−
0
+
Position
en-dessous
courbe / axe
en-dessus
en-dessous
en-dessus
On reporte enfin les points (−2; 0), (−1; 0), (2; 0) et (0; −4) dans un repère cartésien
et on les relie en tenant compte de la position de la courbe par rapport à l’axe Ox
donnée dans le tableau de signes.
y
y = f (x)
(−2; 0)
b
b
(−1; 0)
b
(2; 0)
b
5.2
5.2.1
x
(0; −4)
Fonctions rationnelles
Définition
Définition 5.2
La fonction définie par
f : R \ {x ∈ R | q(x) = 0} −→ R
7−→ y =
x
p(x)
q(x)
où p(x) et q(x) sont des polynômes, est appelée fonction rationnelle.
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1ère année
5. Fonctions polynômes et rationnelles
Remarques
1. L’ensemble de définition Df d’une fonction rationnelle comprend toutes les valeurs
réelles de x sauf celles qui annulent le dénominateur q(x).
2. L’ensemble des zéros d’une fonction rationnelle est donné par l’ensemble des zéros du
polynôme p(x) qui ne sont pas des zéros de q(x) : {x ∈ R | p(x) = 0 et q(x) 6= 0}
Exemples
1
est une fonction rationnelle qui admet
x−2
comme ensemble de définition Df = R \ {2}. Cette fonction n’admet pas de zéro
(car 1 6= 0).
x3 − 8
est une fonction rationnelle qui admet
2) La fonction définie par g(x) = 2
x +4
comme ensemble √
de définition Dg = R. L’ensemble des zéros de cette fonction
est l’ensemble : { 3 8} (solution de x3 − 8 = 0).
x2
3) La fonction définie par h(x) = 2
est une fonction rationnelle qui admet
x −4
comme ensemble de définition Dh = R \ {−2; 2}. L’ensemble des zéros de cette
fonction est l’ensemble : {0} (solution de x2 = 0).
1) La fonction définie par f (x) =
Son graphe est représenté ci-contre.
On remarque que, quand x prend des valeurs arbitrairement grandes ou petites (on
dit que x tend vers ±∞), la courbe se rapproche de de la droite horizontale y = 1.
Cette droite est appelée asymptote horizontale (voir ci-dessous).
De manière analogue, les droites x = 2
et x = −2 sont appelées asymptotes verticales.
y
5
4
y = h(x)
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−2
−3
−4
−5
Nous étudierons plus largement les représentations graphiques de fonctions rationnelles
quelconques (voir chapitre suivant pour un cas particulier) dans le cours de deuxième
année lorsque nous aurons à disposition certains outils d’analyse : limites, dérivées, . . . De
plus, les notions d’asymptote verticale et horizontale seront introduites de manière précise
et détaillée dans ce cours. Pour l’instant, on donne uniquement ci-dessous une première
idée de définition de ces deux notions en utilisant les notations suivantes :
• x→a
(ou f (x) → a) :
x (respectivement f (x)) tend vers (s’approche
de) a,
• x → +∞
(ou f (x) → +∞) :
x (respectivement f (x)) prend des valeurs positives arbitrairement grandes,
• x → −∞ (ou f (x) → −∞) :
x (respectivement f (x)) prend des valeurs négatives arbitrairement petites.
Les symboles +∞ (plus infini) et −∞ (moins infini) ne représentent pas des nombres
réels ; ils précisent simplement certains types de comportement des variables et des fonctions.
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1ère année
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5. Fonctions polynômes et rationnelles
Définition 5.3
La droite x = a est une asymptote verticale pour la représentation graphique de la
fonction f si
f (x) → +∞ ou f (x) → −∞
lorsque x tend vers (s’approche de) a par la gauche (par des valeurs inférieures à a) ou
par la droite (par des valeurs supérieures à a).
La droite y = c est une asymptote horizontale pour la représentation graphique de la
fonction f si
f (x) → c
lorsque x → +∞ ou x → −∞.
Remarques
1. On représentera généralement les asymptotes en ”traitillés”.
2. La notation f (x) → c lorsque x → +∞ (ou x → −∞) se lie ”f (x) tend vers c lorsque
x tend vers plus l’infini” (respectivement vers moins l’infini).
3. Si a est un zéro du dénominateur d’une fonction rationnelle f , alors il est possible que
le graphique de f ait une asymptote verticale en x = a. Il y a des fonctions rationnelles
pour lesquelles ce n’est pas le cas. Si le numérateur et le dénominateur n’ont pas de
facteur commun, alors f admet une asymptote verticale en x = a.
5.2.2
Fonctions homographiques
Définition 5.4
Une fonction homographique est une fonction rationnelle dont le numérateur est une
constante ou un polynôme de degré un et le dénominateur un polynôme de degré un.
Plus précisément, une fonction homographique est définie par
f : R \ {− dc } −→ R
x
7−→ y =
ax + b
cx + d
où a, b, c et d sont des nombres réels tels que c 6= 0 et ad − bc 6= 0.
Remarques
1. La condition ad − bc 6= 0 implique, entre autres, qu’une fonction homographique est
une fonction injective.
2. Si on restreint l’ensemble d’arrivée d’une fonction homographique f à l’ensemble image
de la fonction R \ { ac }, la fonction f est alors une fonction surjective.
Exemple
4x − 5
est une fonction homographique qui admet
3x − 2
comme ensemble de définition Df = R \ { 32 }.
La fonction définie par f (x) =
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5. Fonctions polynômes et rationnelles
Représentations graphiques
La représentation graphique, dans un repère cartésien, de la fonction homographique
ax+b
définie par f (x) = cx+d
est une hyperbole (équilatère) passant par le point (0; db ) (si
d 6= 0) et dont l’orientation dépend du nombre ad − bc.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de deux fonctions homographiques
avec ad − bc positif, à gauche, ou négatif, à droite.
ad − bc < 0
ad − bc > 0
y
y
x = − dc
x1
b
d
y=
x
b
y=
a
c
x = − dc
C
b
d
b
x1
C
y=
a
c
ax+b
cx+d
y=
x
ax+b
cx+d
Quelques caractéristiques de la représentation graphique
Zéro de la fonction : L’abscisse x1 du point d’intersection de l’hyperbole représentant
b
ax+b
et de l’axe Ox est le zéro de f : x1 = − si a 6= 0.
la fonction f (x) = cx+d
a
Asymptote verticale : La représentation graphique de f admet une asymptote vertid
cale d’équation x = − .
c
Asymptote horizontale : La représentation graphique de f admet une asymptote
a
horizontale d’équation y = .
c
d a
Symétrie : Le point C − ;
(le point d’intersection des deux asymptotes) est le
c c
centre de symétrie de l’hyperbole représentant la fonction f .
Représentation graphique à partir de l’expression fonctionnelle
On peut mettre en oeuvre la méthode suivante pour dessiner, dans un repère cartésien,
la représentation graphique d’une fonction homographique définie par f (x) = ax+b
.
cx+d
Méthode
1.
2.
Déterminer le zéro de f en résolvant l’équation ax + b = 0 −→ on obtient le
point (− ab ; 0) du graphe (si a 6= 0).
Déterminer les coordonnées du point d’intersection de l’hyperbole avec l’axe
Oy : (0; f (0)) = (0; db ) (si d 6= 0).
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1ère année
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3.
4.
5.
6.
7.
5. Fonctions polynômes et rationnelles
Calculer quelques couples (x; f (x)) du graphe de f en choisissant x dans le
domaine de définition : R \ {− dc }.
Déterminer l’orientation de l’hyperbole en calculant le nombre ad − bc −→
- si ad−bc > 0, la ”branche gauche” de l’hyperbole est au-dessus de l’asymptote
horizontale et la ”branche droite” au-dessous,
- si ad − bc < 0, la ”branche gauche” de l’hyperbole est au-dessous de l’asymptote horizontale et la ”branche droite” au-dessus.
Dessiner sous la forme d’un trait discontinu, dans le repère cartésien, l’asymptote horizontale d’équation y = ac et l’asymptote verticale d’équation x = − dc .
Reporter, dans le repère cartésien, les points du graphe calculés en 1, 2 et 3 et
dessiner (éventuellement) les points symétriques correspondants (par rapport
au centre de symétrie C(− dc ; ac )).
Relier les points dessinés dans le plan Oxy de sorte à obtenir une hyperbole
d’orientation déterminée en 4.
Exemple
x−3
.
Soit la fonction homographique f (x) = 2x+4
On détermine tout d’abord le zéro de f , x1 = 3 (solution de x − 3 = 0), et le point
d’intersection avec l’axe des ordonnées, (0; − 34 ).
On calcule ensuite quelques points du graphe :
(−3; f (−3)) = (−3; 3) ; (−1; f (−1)) = (−1; −2) ; (1; f (1)) = (1; − 31 ) ; . . .
Comme ad − bc = 1 · 4 − (−3) · 2 = 10 > 0, la ”branche gauche” de l’hyperbole est
au-dessus de l’asymptote horizontale et la ”branche droite” au-dessous.
L’équation de l’asymptote horizontale est y = 21 et l’équation de l’asymptote verticale x = −2.
On reporte ensuite ces informations dans un repère cartésien pour obtenir la
représentation graphique ci-dessous.
y
7
6
5
4
b
y = f (x)
3
2
b
−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
b
−2
b
1
−4
−5
−6
−7
page 76
1
2
b
2
3
(0; − 43 )
−3
x = −2
y=
(3; 0)
1
4
5
6
7
8
9 10 11
x